1. 如图，$DA = DC$，$BA = BC = 6$。若$∠ ABC = 60^{\circ}$，则$AO$的长为()

A.3
B.2
C.$\sqrt{3}$
D.1

A

∵BA=BC=6，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=6。∵DA=DC，BA=BC，∴点D、B均在线段AC的垂直平分线上，∴BD是AC的垂直平分线，O为AC中点，∴AO=AC/2=6/2=3。

2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B = 35^{\circ}$，$D$是$AB$的垂直平分线与$BC$的交点。若将$△ ABD$沿着$AD$翻折得到$△ AED$，则$∠ CDE$的度数是。

40°

∵D是AB垂直平分线上的点，∴DA=DB（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
∴∠BAD=∠B=35°（等边对等角）。
在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-35°-35°=110°。
由翻折性质得∠ADE=∠ADB=110°。
∵B，D，C三点共线，∴∠ADC=180°-∠ADB=180°-110°=70°。
∴∠CDE=∠ADE-∠ADC=110°-70°=40°。

3. 如图，在$△ ABC$中，直线$m$是线段$BC$的垂直平分线，$P$是直线$m$上的一个动点。若$AB = 7$，$AC = 4$，$BC = 5$，则$△ APC$周长的最小值是。

11

如图，由于$m$是线段$BC$的垂直平分线，
根据垂直平分线的性质，点$B$和点$C$关于直线$m$对称，
即$PB = PC$，
因此，$△ APC$的周长可以表示为$AP + PC + AC$，
由于$PB = PC$，所以$△ APC$的周长也可以表示为$AP + PB + AC$，
当$A$, $P$, $B$三点共线时，$AP + PB$取得最小值，即$AB$的长度，
已知$AB = 7$，$AC = 4$，
所以$△ APC$的周长的最小值为$AB + AC = 7 + 4 = 11$。

4. 已知：如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC = 2∠ C$，$BD$平分$∠ ABC$，交$AC$于点$D$。求证：点$D$在线段$BC$的垂直平分线上。

证明：
∵BD平分∠ABC，∠ABC=2∠C，
∴∠ABD=∠DBC=∠C。
在△DBC中，∠DBC=∠C，
∴DB=DC（等角对等边）。
∴点D在线段BC的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）。

5. 提升题 已知：如图，$AE ⊥ EB$，$AF ⊥ CF$，$E$，$F$分别为垂足，$BE = CF$，$∠ ABC = ∠ ACB$。
（1）求证：$AE = AF$；
（2）延长$EB$，$FC$相交于点$D$，连接$AD$，求证：$AD$垂直平分线段$BC$。

（1）∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC（等角对等边）。
∵AE⊥EB，AF⊥CF，∴∠AEB=∠AFC=90°。
在Rt△AEB和Rt△AFC中，$\{\begin{array}{l} AB=AC \\ BE=CF \end{array} $，
∴Rt△AEB≌Rt△AFC（HL），∴AE=AF。
（2）由（1）得AE=AF，∵AE⊥EB，AF⊥CF，∴∠AED=∠AFD=90°。
在Rt△AED和Rt△AFD中，$\{\begin{array}{l} AD=AD \\ AE=AF \end{array} $，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴∠ADE=∠ADF。
在△DBE和△DCF中，$\{\begin{array}{l} ∠DEB=∠DFC=90° \\ ∠BDE=∠CDF \\ BE=CF \end{array} $，
∴△DBE≌△DCF（AAS），∴DB=DC，∴点D在BC的垂直平分线上。
∵AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线上。
∵A、D两点均在BC的垂直平分线上，∴AD垂直平分线段BC。