1. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，点$E$在边$AB$上，$DE=CD$，$DF⊥ AC$于点$F$，$BE=CF$。若$AB=12$，$BD=4$，$△ ABC$的面积是$54$，则线段$AC$的长为()

A.$13$
B.$15$
C.$16$
D.$18$

B

在$Rt \bigtriangleup ABC$中，已知$AB = 12$，$S_{\bigtriangleup ABC} = 54$。
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}AB· BC$（因为$∠ B = 90^{\circ}$，$AB$、$BC$为两直角边），可得$54=\frac{1}{2}×12× BC$。
解得$BC = 9$。
再根据勾股定理$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$，已知$AB = 12$，$BC = 9$，则$AC=\sqrt{12^{2}+9^{2}}=\sqrt{144 + 81}=\sqrt{225}=15$。

2. 如图，$AC=BC$，$AE=CD$，$AE⊥ CE$于点$E$，$BD⊥ CD$于点$D$，$AE=7$，$BD=2$，则$DE$的长是。

【解析】：
由于 $AC = BC$，故 $∠ CAC'（即∠ CAB） = ∠ CBC'（即∠ CBA）$。
在直角三角形 $ △ AEC$ 和 $ △ CDB$ 中：
$AC = BC$，
$AE = CD$（已知），
且 $∠ AEC = ∠ CDB = 90°$。
因此，$△ AEC ≌ △ CDB$（HL）。
根据全等三角形的对应边相等，有：
$CE = BD = 2$，
$DE = CE - BD$ 的计算（修正为）：
$DE = CD - CE = AE - BD = 7 - 2 = 5$。
所以 $DE$ 的长度为 $5$。
【答案】：
5

3. 学习了角平分线的知识和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行了交流。现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空。

第一步：构造角平分线。
小红在$∠ AOB$的边$OA$上任取一点$E$，并过点$E$作$OA$的垂线（如图）。请你利用尺规作图，在$OB$边上截取$OF=OE$。过点$F$作$OB$的垂线，与小红所作的垂线交于点$P$，作射线$OP$，$OP$即为$∠ AOB$的平分线（不写作法，保留作图痕迹）。
第二步：利用三角形全等证明小红的猜想。
证明：$\because PE⊥ OA$，$PF⊥ OB$，
$\therefore ∠ OEP=∠ OFP=90°$。
$\because \begin{cases} \_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_, \_\_\_\_\_\_ \\ \_\_\_\_\_\_,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OEP≌\mathrm{Rt}△ OFP(\mathrm{HL})$。
$\therefore \_\_\_\_\_\_$。
$\therefore OP$平分$∠ AOB$。

OE=OF；OP=OP；∠EOP=∠FOP。

第一步：作图痕迹

第二步：证明
$\because PE⊥ OA$，$PF⊥ OB$，
$\therefore ∠ OEP=∠ OFP=90°$。
$\because \begin{cases} OE=OF, \\ OP=OP, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OEP≌\mathrm{Rt}△ OFP(\mathrm{HL})$。
$\therefore ∠ EOP=∠ FOP$。
$\therefore OP$平分$∠ AOB$。

4. 提升题 如图，$AD$，$BC$相交于点$O$，$AD=BC$，$∠ C=∠ D=90°$，$∠ ABC=35°$，求$∠ CAD$的度数。

在Rt△ACB和Rt△BDA中，
∵AD=BC（已知），AB=BA（公共边），∠C=∠D=90°，
∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL）。
∴∠BAD=∠ABC=35°（全等三角形对应角相等）。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=35°，
∴∠BAC=90°-∠ABC=90°-35°=55°。
∵∠BAC=∠BAO=∠BAD+∠CAD，
∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=55°-35°=20°。
20°