1. 如图，将矩形纸片 $ABCD$ 折叠，使点 $D$ 与点 $B$ 重合，点 $C$ 落在点 $C'$ 处，折痕为 $EF$，若 $AB = 1$，$BC = 2$，则 $△ ABE$ 和 $△ BC'F$ 的周长之和为()

A.$3$
B.$4$
C.$6$
D.$8$

1. C

3. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$∠ ABC = 60°$，$E$ 是 $CD$ 边上一点，作等边三角形 $BEF$，连接 $AF$.
（1）求证：$CE = AF$；
（2）$EF$ 与 $AD$ 交于点 $P$，$∠ DPE = 42°$，求 $∠ CBE$ 的度数.

3. (1) 证明：
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB = BC.
∵△BEF 是等边三角形，
∴BE = BF，∠FBE = 60°.
∴∠ABC = ∠EBF，
∴∠ABF = ∠CBE，又
∵AB = CB，BF = BE，
∴△ABF ≌ △CBE(SAS)，
∴CE = AF.
(2) 解：
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴∠C + ∠D = 180°.
∵∠BEF = 60°，
∴∠DEP + ∠BEC = 120°.
∵∠DPE + ∠D + ∠DEP = 180°，∠C + ∠CBE + ∠BEC = 180°，
∴∠DPE + ∠D + ∠DEP + ∠C + ∠CBE + ∠BEC = 360°，
∴∠CBE = 60° - ∠DPE = 18°.

4. 如图，四边形 $ABCD$ 是正方形，$△ EBC$ 是等边三角形.
（1）求证：$△ ABE≌ △ DCE$；
（2）求 $∠ AED$ 的度数.

4. (1) 证明：
∵四边形 ABCD 是正方形，△EBC 是等边三角形，
∴BA = BC = CD = BE = CE，∠ABC = ∠BCD = 90°，∠EBC = ∠ECB = 60°，
∴∠ABE = ∠ECD = 30°，在△ABE 和△DCE 中，
∵AB = DC，∠ABE = ∠DCE，BE = CE，
∴△ABE ≌ △DCE(SAS).
(2) 解：
∵BA = BE，∠ABE = 30°，
∴∠BAE = $\frac{1}{2}(180° - 30°) = 75°$，
∵∠BAD = 90°，
∴∠EAD = 90° - 75° = 15°，同理可得∠ADE = 15°，
∴∠AED = 180° - 15° - 15° = 150°.

5. 在矩形 $ABCD$ 中，$E$、$F$ 分别是 $AD$，$BC$ 的中点，$CE$，$AF$ 分别交 $BD$ 于点 $G$，$H$.
求证：（1）四边形 $AFCE$ 是平行四边形；
（2）$EG = FH$.

5. 证明：(1)
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD // BC，AD = BC.
∵E，F 分别是 AD，BC 的中点，
∴AE = $\frac{1}{2}AD$，CF = $\frac{1}{2}BC$，
∴AE = CF，
∴四边形 AFCE 是平行四边形.
(2)
∵四边形 AFCE 是平行四边形，
∴CE // AF，
∴∠DGE = ∠AHD = ∠BHF.
∵AD // CB，
∴∠EDG = ∠FBH. 在△DEG 和△BFH 中，∠DGE = ∠BHF，∠EDG = ∠FBH，DE = BF，
∴△DEG ≌ △BFH(AAS)，
∴EG = FH.