6. 如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，过点 $O$ 作直线 $EF ⊥ BD$，分别交 $AD$，$BC$ 于点 $E$，$F$. 求证：四边形 $BEDF$ 是菱形.

6. 证明：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD // BC，OD = OB，
∴∠EDO = ∠FBO，∠OED = ∠OFB，
∴△OED ≌ △OFB(AAS)，
∴DE = BF. 又
∵DE // BF，
∴四边形 BEDF 是平行四边形. 又
∵EF ⊥ BD，
∴四边形 BEDF 是菱形.

7. 如图，四边形 $ABCD$ 为正方形，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$BF // AC$，四边形 $AEFC$ 是菱形，$EH ⊥ AC$，垂足为 $H$. 求证：$EH = \frac{1}{2}FC$.

7. 证明：
∵四边形 ABCD 为正方形，
∴∠BOH = 90°，BD = AC，BO = $\frac{1}{2}BD$.
∵EH ⊥ AC，BF // AC，
∴EH ⊥ BF，
∴∠HEB = ∠EHO = ∠BOH = 90°，
∴四边形 BEHO 是矩形，
∴EH = OB = $\frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}AC$.
∵四边形 AEFC 是菱形，
∴AC = FC，
∴EH = $\frac{1}{2}FC$.

8. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AD // BC$，$AD = CD$，$E$ 是对角线 $BD$ 上一点，且 $EA = EC$.
（1）求证：四边形 $ABCD$ 是菱形；
（2）已知 $BE = BC$，且 $∠ CBE:∠ BCE = 2:3$，求证：四边形 $ABCD$ 是正方形.

8. 证明：(1) 在△ADE 与△CDE 中，AD = CD，DE = DE，EA = EC，
∴△ADE ≌ △CDE(SSS)，
∴∠ADE = ∠CDE.
∵AD // BC，
∴∠ADE = ∠CBD，
∴∠CDE = ∠CBD，
∴BC = CD.
∵AD = CD，
∴BC = AD. 又 AD // BC，
∴四边形 ABCD 为平行四边形，
∵AD = CD，
∴平行四边形 ABCD 是菱形.
(2)
∵BE = BC，
∴∠BCE = ∠BEC.
∵∠CBE : ∠BCE = 2 : 3，
∴∠CBE = 180° × $\frac{2}{2 + 3 + 3} = 45°$.
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴∠ABE = 45°，
∴∠ABC = 90°，
∴菱形 ABCD 是正方形.

9. 在平面内，正方形 $ABCD$ 与正方形 $CEFH$ 如图放置，连接 $DE$，$BH$，两线交于点 $M$.
求证：（1）$BH = DE$；
（2）$BH ⊥ DE$.

9. 证明：(1) 在正方形 ABCD 与正方形 CEFH 中，BC = DC，CE = CH，∠BCD = ∠ECH = 90°，
∴∠BCD + ∠DCH = ∠ECH + ∠DCH，即∠BCH = ∠DCE. 在△BCH 和△DCE 中，BC = DC，∠BCH = ∠DCE，CH = CE，
∴△BCH ≌ △DCE(SAS)，
∴BH = DE.
(2) 设 BH 与 CD 交于点 G.
∵△BCH ≌ △DCE，
∴∠CBH = ∠CDE. 又
∵∠CGB = ∠MGD，∠CGB + ∠CBG = 90°，
∴∠DGM + ∠GDM = 90°，
∴∠DMB = 90°，
∴BH ⊥ DE.