1. 有下列事件：① 9月份有31天；② 正数大于负数；③ 在一副象棋中摸出棋子“炮”；④ 清明时节雨纷纷；⑤ 五边形的外角和等于540°；⑥ 三角形任意两边之和大于第三边；⑦ 在纸上画两条直线，这两条直线平行；⑧ 直角三角形的两个锐角互余. 其中属于必然事件的有()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

C

【分析】
要解决本题，首先需明确必然事件的定义：在一定条件下，必然会发生的事件。接下来我们逐个分析每个事件：先结合生活常识判断生活类事件，再结合数学定理判断数学相关事件，最后统计必然事件的数量，对应选项得出答案。
【解析】
根据必然事件的定义，对每个事件逐一判断：
① 9月份是小月，只有30天，因此“9月份有31天”是不可能事件，不属于必然事件；
② 正数都大于0，负数都小于0，因此正数一定大于负数，这是必然会发生的事件，属于必然事件；
③ 在一副象棋中摸棋子，可能摸到“炮”也可能摸到其他棋子，结果不确定，属于随机事件，不是必然事件；
④ 清明时节可能下雨也可能不下雨，结果具有不确定性，属于随机事件，不是必然事件；
⑤ 任意多边形的外角和都是360°，因此“五边形的外角和等于540°”是不可能事件，不属于必然事件；
⑥ “三角形任意两边之和大于第三边”是三角形的基本性质，必然成立，属于必然事件；
⑦ 在纸上画两条直线，可能平行也可能相交，结果不确定，属于随机事件，不是必然事件；
⑧ 直角三角形内角和为180°，直角为90°，因此两个锐角和为90°，即互余，必然成立，属于必然事件。
综上，必然事件有②、⑥、⑧，共3个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
必然事件的判定，三角形基本性质，有理数大小比较
【点评】
本题考查必然事件的识别，需结合生活常识、数学基本定理区分必然事件、随机事件、不可能事件，解题关键是准确理解各类事件的定义，细心判断每个事件的性质。
【难度系数】
0.6

2. 投掷一枚质地均匀的骰子，可能性最小的是朝上一面出现()

A.大于3的点数
B.小于3的点数
C.大于5的点数
D.小于5的点数

C

【分析】
要解决这道题，我们需要先明确质地均匀的骰子朝上一面的点数有1、2、3、4、5、6，共6种等可能结果。接下来分别分析每个选项包含的点数情况，计算出对应事件的概率，再比较概率大小，概率最小的即为可能性最小的事件。具体思路如下：
1. 确定每个选项对应的点数集合；
2. 计算每个选项包含的点数个数（即基本事件数）；
3. 根据“等可能事件概率=事件包含的基本事件数÷总基本事件数”计算各选项的概率；
4. 比较概率大小，找到最小的那个选项。
【解析】
投掷质地均匀的骰子，总共有6种等可能的结果（点数1-6）。
选项A：大于3的点数为4、5、6，共3种结果，概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$；
选项B：小于3的点数为1、2，共2种结果，概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$；
选项C：大于5的点数只有6，共1种结果，概率为$\frac{1}{6}$；
选项D：小于5的点数为1、2、3、4，共4种结果，概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
比较各选项概率大小：$\frac{1}{6} ＜ \frac{1}{3} ＜ \frac{1}{2} ＜ \frac{2}{3}$，因此可能性最小的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
等可能事件概率计算、古典概型
【点评】
本题考查古典概型的概率应用，属于基础题型。解题关键是准确找出每个事件包含的基本事件数，通过计算概率比较事件发生的可能性大小，帮助学生理解概率与事件可能性的关系。
【难度系数】
0.85

3. 某数学兴趣小组在做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的频率折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是()

A.抛一枚硬币，出现正面朝上
B.任意投掷一枚图钉，针尖着地
C.投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为3
D.在“石头剪刀布”的游戏中，小红随机出的是“剪刀”

C

【分析】
首先观察频率折线统计图，可知该结果出现的频率稳定在0.15左右，根据“用频率估计概率”的原理，该事件发生的概率约为0.15（接近$\frac{1}{6}$）。接下来需要逐一分析每个选项中事件的概率，找到与该概率最接近的选项：
1. 回忆各选项对应的随机事件的概率计算方法；
2. 分别计算每个选项的概率，再与0.15对比，选出匹配的选项。
【解析】
从频率折线统计图可知，试验结果的频率稳定在0.15附近，说明该事件发生的概率约为$\frac{1}{6}$（$\frac{1}{6}\approx0.167$，与0.15接近）。
选项A：抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为$\frac{1}{2}=0.5$，与0.15差距较大，不符合；
选项B：任意投掷一枚图钉，由于图钉的结构特点，针尖着地的概率远小于$\frac{1}{6}$，不符合；
选项C：投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为3的概率为$\frac{1}{6}\approx0.167$，与频率稳定值0.15接近，符合；
选项D：在“石头剪刀布”游戏中，随机出“剪刀”的概率为$\frac{1}{3}\approx0.333$，与0.15差距较大，不符合。
因此符合这一结果的试验最有可能的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
用频率估计概率、概率的计算
【点评】
本题考查用频率估计概率的应用以及常见随机事件的概率计算，解题关键是先根据折线图确定概率的近似值，再结合各选项事件的实际概率进行对比判断，需要学生掌握基本随机事件的概率计算方法，同时结合生活常识分析特殊事件的概率特点。
【难度系数】
0.7

4. 从3名男生(含小强)和5名女生中选4名学生参加辩论比赛，规定女生选n名. 如果小强参加辩论比赛是随机事件，那么n的值为.

2或3

【分析】
首先需明确随机事件的定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。题目要求小强参加辩论比赛是随机事件，即小强既有可能被选入4名学生中，也有可能不被选入。
根据题意，女生选n名，则男生需选(4-n)名。我们需要结合男生总人数（3名，含小强）、女生总人数（5名）分析男生选取人数的范围：
1. 若要小强有可能被选入，男生选取人数至少为1（如果男生选0名，小强必然不参加，属于不可能事件，不符合要求）；
2. 若要小强有可能不被选入，男生选取人数最多为2（如果男生选3名，必须选全部男生，小强必然参加，属于必然事件，不符合要求）。
由此确定男生选取人数只能是1或2，对应计算女生选取人数n的值即可。
【解析】
步骤1：明确随机事件的核心特征：事件可能发生，也可能不发生。
步骤2：根据题意，女生选$ n $名，则男生选$ 4-n $名，记男生选取人数为$ k=4-n $。
步骤3：分析小强参加为随机事件的条件：
存在选法让小强入选：$ k ≥ 1 $（至少选1名男生，才有可能选到小强）；
存在选法让小强不入选：$ k ≤ 2 $（若$ k=3 $，需选全部3名男生，小强必然入选，为必然事件，不符合要求；$ k＞3 $时男生人数不足，无法实现）。
步骤4：结合男女生总人数，确定$ k $的取值为1或2：
当$ k=1 $时，$ n=4-1=3 $，此时选3名女生、1名男生，男生可选小强或另外2名男生，小强可能参加也可能不参加，符合随机事件；
当$ k=2 $时，$ n=4-2=2 $，此时选2名女生、2名男生，男生可选小强+另1名男生，或另外2名男生，小强可能参加也可能不参加，符合随机事件。
步骤5：综上，$ n $的值为2或3。
【答案】
2或3
【知识点】
1. 随机事件的定义
2. 分类讨论思想
【点评】
本题以选取参赛学生为背景，考查随机事件的定义，解题关键是准确把握随机事件“可能发生也可能不发生”的本质，同时需结合男女生总人数限制进行合理分析，培养学生的逻辑推理与分类讨论能力。
【难度系数】
0.6

5. 如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”. 数学小组为了探究随机投放一个点到网格内时，恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，数据如下：


由已知数据，可得随机投放一点落在“心形线”内部的概率估计值为.(精确到0.01)

0.50

【分析】
这道题是用频率估计概率的实际应用问题。解题思路是：根据概率的统计定义，当试验次数足够多时，随机事件发生的频率会逐渐稳定在该事件发生的概率附近。我们需要依托模拟试验的频率数据，找到其稳定的数值，以此作为概率的估计值，最后按要求精确到0.01即可。
【解析】
根据大量重复试验中频率趋近于概率的统计原理，观察计算机模拟试验的各组数据，计算每次试验中点落在“心形线”内部的频率，发现随着试验次数增加，频率逐渐稳定在0.50附近，因此随机投放一点落在“心形线”内部的概率估计值为0.50。
【答案】
0.50
【知识点】
用频率估计概率
【点评】
本题考查用频率估计概率的实际应用，核心是理解“试验次数足够多时，频率稳定在概率附近”这一统计规律，通过模拟试验的频率数据估计事件发生的概率，属于基础应用题型。
【难度系数】
0.8