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1. 判断。(对的打“√”，错的打“×”)
(1) 侧面积相等的两个圆柱的表面积一定相等。 (
(2) 圆柱的底面直径是$d$，高是$π d$，那么把它的侧面展开一定是正方形。 (
(3) 一个圆柱的底面直径是$10$ cm，若高增加$2$ cm，则表面积增加$62.8$ cm²。 (
(1) 侧面积相等的两个圆柱的表面积一定相等。 (
×
)(2) 圆柱的底面直径是$d$，高是$π d$，那么把它的侧面展开一定是正方形。 (
√
)(3) 一个圆柱的底面直径是$10$ cm，若高增加$2$ cm，则表面积增加$62.8$ cm²。 (
√
)答案
1. (1)× (2)√ (3)√
解析
【分析】
我们逐个分析这三个判断题：
1. 对于第(1)题：圆柱的表面积=侧面积+2个底面积，侧面积公式为$S_{侧}=2π rh$，侧面积相等只能说明$2π rh$的值相等，但两个圆柱的底面半径$r$和高$h$的组合可能不同，底面积$2π r^2$不一定相等，因此表面积不一定相等。
2. 对于第(2)题：圆柱侧面沿高展开是长方形，长方形的长等于底面周长，底面直径为$d$，则底面周长$C=π d$，题目中高为$π d$，即底面周长与高相等，此时沿高展开的图形是正方形，符合题意，所以该说法正确。
3. 对于第(3)题：圆柱高增加时，底面积不变，表面积增加的部分是新增的侧面积。新增侧面积=底面周长×增加的高，底面直径10cm，底面周长为$π×10=10π$cm，增加的高是2cm，计算得新增侧面积为$10π×2=20π≈62.8$cm²，所以该说法正确。
【解析】
(1) 圆柱表面积=侧面积+2×底面积，侧面积相等仅说明$2π rh$相等，若两个圆柱的底面半径不同，底面积就不同，表面积也就不同，所以该说法错误，打“×”。
(2) 圆柱底面周长$C=π d$，已知高为$π d$，即底面周长与高相等，沿高展开侧面得到的图形是正方形，所以该说法正确，打“√”。
(3) 高增加2cm，表面积增加的部分是侧面积的增量：
底面周长：$C=π×10=10π$（cm）
新增侧面积：$10π×2=20π≈62.8$（cm²）
所以该说法正确，打“√”。
【答案】
(1)× (2)√ (3)√
【知识点】
圆柱的侧面积、圆柱的表面积
【点评】
本题主要考查圆柱侧面积和表面积的相关知识，需要明确侧面积与表面积的区别，以及侧面展开图的特征，通过公式推导和计算判断说法的正误，培养对圆柱几何特征的理解和应用能力。
【难度系数】
0.6
我们逐个分析这三个判断题：
1. 对于第(1)题：圆柱的表面积=侧面积+2个底面积，侧面积公式为$S_{侧}=2π rh$，侧面积相等只能说明$2π rh$的值相等，但两个圆柱的底面半径$r$和高$h$的组合可能不同，底面积$2π r^2$不一定相等，因此表面积不一定相等。
2. 对于第(2)题：圆柱侧面沿高展开是长方形，长方形的长等于底面周长，底面直径为$d$，则底面周长$C=π d$，题目中高为$π d$，即底面周长与高相等，此时沿高展开的图形是正方形，符合题意，所以该说法正确。
3. 对于第(3)题：圆柱高增加时，底面积不变，表面积增加的部分是新增的侧面积。新增侧面积=底面周长×增加的高，底面直径10cm，底面周长为$π×10=10π$cm，增加的高是2cm，计算得新增侧面积为$10π×2=20π≈62.8$cm²，所以该说法正确。
【解析】
(1) 圆柱表面积=侧面积+2×底面积，侧面积相等仅说明$2π rh$相等，若两个圆柱的底面半径不同，底面积就不同，表面积也就不同，所以该说法错误，打“×”。
(2) 圆柱底面周长$C=π d$，已知高为$π d$，即底面周长与高相等，沿高展开侧面得到的图形是正方形，所以该说法正确，打“√”。
(3) 高增加2cm，表面积增加的部分是侧面积的增量：
底面周长：$C=π×10=10π$（cm）
新增侧面积：$10π×2=20π≈62.8$（cm²）
所以该说法正确，打“√”。
【答案】
(1)× (2)√ (3)√
【知识点】
圆柱的侧面积、圆柱的表面积
【点评】
本题主要考查圆柱侧面积和表面积的相关知识，需要明确侧面积与表面积的区别，以及侧面展开图的特征，通过公式推导和计算判断说法的正误，培养对圆柱几何特征的理解和应用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 已知圆柱的底面周长是$12.56$ m，高是$3$ m，圆柱的表面积是(
A.$37.68$
B.$62.8$
C.$138.16$
B
)m²。A.$37.68$
B.$62.8$
C.$138.16$
答案
2. (1)B
解析
【分析】
要计算圆柱的表面积，需明确圆柱表面积由两个底面的面积和侧面的面积组成。首先，已知底面周长，可利用圆的周长公式求出底面半径；接着根据圆的面积公式计算出两个底面的总面积；再用底面周长乘高得到侧面积；最后将两个底面积与侧面积相加，得到圆柱的表面积，再与选项对比即可得出答案。
【解析】
1. 求底面半径：
根据圆的周长公式$C = 2π r$，可得底面半径$r = C÷(2π)$，代入$C=12.56$m，$π=3.14$，
$r = 12.56÷(2×3.14) = 2$m。
2. 计算两个底面的面积：
根据圆的面积公式$S_{底}=π r^2$，一个底面积为$3.14×2^2 = 12.56$m²，
两个底面积为$12.56×2 = 25.12$m²。
3. 计算侧面积：
圆柱侧面积公式为$S_{侧}=C× h$，代入$C=12.56$m，$h=3$m，
$S_{侧}=12.56×3 = 37.68$m²。
4. 计算圆柱表面积：
$S_{表}=S_{底总}+S_{侧}=25.12 + 37.68 = 62.8$m²，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
圆柱表面积计算、圆的周长公式、圆的面积公式
【点评】
本题考查圆柱表面积的基础计算，核心是掌握圆柱表面积的组成，以及圆的周长、面积公式的灵活运用。解题时需注意步骤的完整性，避免遗漏底面积的个数或计算错误，属于常规基础题型，有助于巩固立体图形的面积计算知识。
【难度系数】
0.7
要计算圆柱的表面积，需明确圆柱表面积由两个底面的面积和侧面的面积组成。首先，已知底面周长，可利用圆的周长公式求出底面半径；接着根据圆的面积公式计算出两个底面的总面积；再用底面周长乘高得到侧面积；最后将两个底面积与侧面积相加，得到圆柱的表面积，再与选项对比即可得出答案。
【解析】
1. 求底面半径：
根据圆的周长公式$C = 2π r$，可得底面半径$r = C÷(2π)$，代入$C=12.56$m，$π=3.14$，
$r = 12.56÷(2×3.14) = 2$m。
2. 计算两个底面的面积：
根据圆的面积公式$S_{底}=π r^2$，一个底面积为$3.14×2^2 = 12.56$m²，
两个底面积为$12.56×2 = 25.12$m²。
3. 计算侧面积：
圆柱侧面积公式为$S_{侧}=C× h$，代入$C=12.56$m，$h=3$m，
$S_{侧}=12.56×3 = 37.68$m²。
4. 计算圆柱表面积：
$S_{表}=S_{底总}+S_{侧}=25.12 + 37.68 = 62.8$m²，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
圆柱表面积计算、圆的周长公式、圆的面积公式
【点评】
本题考查圆柱表面积的基础计算，核心是掌握圆柱表面积的组成，以及圆的周长、面积公式的灵活运用。解题时需注意步骤的完整性，避免遗漏底面积的个数或计算错误，属于常规基础题型，有助于巩固立体图形的面积计算知识。
【难度系数】
0.7
(2) 将圆柱的侧面展开成一个平行四边形与展开成一个长方形相比较(
A.面积小一些，周长大一些
B.面积相等，周长大一些
C.面积相等，周长小一些
B
)。A.面积小一些，周长大一些
B.面积相等，周长大一些
C.面积相等，周长小一些
答案
2. (2)B
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以从面积和周长两个维度分别分析：
1. 面积方面：圆柱的侧面积是固定的，等于底面周长乘高。不管把侧面展开成长方形还是平行四边形，展开后的图形都是圆柱侧面的平铺，所以面积都等于圆柱的侧面积，二者面积相等。
2. 周长方面：展开成长方形时，长方形的长是圆柱底面周长，宽是圆柱的高，周长为2×(底面周长+高)；展开成平行四边形时，平行四边形的一组对边是底面周长，另一组对边是圆柱侧面的母线（斜边），斜边长度大于圆柱的高，因此平行四边形的周长为2×(底面周长+斜边长度)，比长方形周长大。
综上可知，二者面积相等，平行四边形周长大一些。
【解析】
1. 面积对比：
圆柱的侧面积公式为$S = C × h$（其中$C$是底面周长，$h$是圆柱的高）。
无论侧面展开成长方形还是平行四边形，展开图形的面积都等于圆柱的侧面积，因此二者面积相等。
2. 周长对比：
长方形的周长：$C_{长}=2×(C + h)$，其中长为底面周长$C$，宽为圆柱的高$h$。
平行四边形的周长：$C_{平}=2×(C + l)$，其中一组对边为底面周长$C$，另一组对边为圆柱侧面的母线长$l$，由于母线是斜边，$l ＞ h$，所以$C_{平} ＞ C_{长}$。
因此，将圆柱侧面展开成平行四边形与长方形相比，面积相等，周长大一些，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
圆柱侧面积计算，侧面展开图特征
【点评】
本题聚焦圆柱侧面展开图的核心性质，需要学生清晰区分展开图形的面积与周长的变化逻辑：面积始终等于侧面积，而周长会因展开图形的边长差异（斜边与高的区别）发生变化，考查学生对圆柱侧面展开图本质的理解，避免混淆面积和周长的变化规律。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以从面积和周长两个维度分别分析：
1. 面积方面：圆柱的侧面积是固定的，等于底面周长乘高。不管把侧面展开成长方形还是平行四边形，展开后的图形都是圆柱侧面的平铺，所以面积都等于圆柱的侧面积，二者面积相等。
2. 周长方面：展开成长方形时，长方形的长是圆柱底面周长，宽是圆柱的高，周长为2×(底面周长+高)；展开成平行四边形时，平行四边形的一组对边是底面周长，另一组对边是圆柱侧面的母线（斜边），斜边长度大于圆柱的高，因此平行四边形的周长为2×(底面周长+斜边长度)，比长方形周长大。
综上可知，二者面积相等，平行四边形周长大一些。
【解析】
1. 面积对比：
圆柱的侧面积公式为$S = C × h$（其中$C$是底面周长，$h$是圆柱的高）。
无论侧面展开成长方形还是平行四边形，展开图形的面积都等于圆柱的侧面积，因此二者面积相等。
2. 周长对比：
长方形的周长：$C_{长}=2×(C + h)$，其中长为底面周长$C$，宽为圆柱的高$h$。
平行四边形的周长：$C_{平}=2×(C + l)$，其中一组对边为底面周长$C$，另一组对边为圆柱侧面的母线长$l$，由于母线是斜边，$l ＞ h$，所以$C_{平} ＞ C_{长}$。
因此，将圆柱侧面展开成平行四边形与长方形相比，面积相等，周长大一些，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
圆柱侧面积计算，侧面展开图特征
【点评】
本题聚焦圆柱侧面展开图的核心性质，需要学生清晰区分展开图形的面积与周长的变化逻辑：面积始终等于侧面积，而周长会因展开图形的边长差异（斜边与高的区别）发生变化，考查学生对圆柱侧面展开图本质的理解，避免混淆面积和周长的变化规律。
【难度系数】
0.7
3. 一个圆柱形水桶，高$62.8$ cm，它的侧面展开是一个正方形，做这样的无盖水桶至少需要多大面积的铁皮？
答案
3. 62.8÷2÷3.14=10(cm)
62.8×62.8+3.14×10²=4257.84(cm²)
62.8×62.8+3.14×10²=4257.84(cm²)
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确无盖水桶所需铁皮面积是圆柱的侧面积加上一个底面积。题目中提到侧面展开是正方形，这是关键隐含条件：圆柱的底面周长等于高，均为62.8cm。接下来我们需要先通过底面周长求出底面半径，再分别计算侧面积和底面积，最后将两者相加得到总面积。具体步骤为：①利用圆的周长公式$C=2π r$推导得出半径$r=C÷2π$，代入数值求出半径；②侧面积就是正方形的面积，即边长×边长（边长等于高62.8cm）；③根据圆的面积公式$S=π r^2$计算底面积；④将侧面积与底面积相加得到所需铁皮面积。
【解析】
1. 求圆柱底面半径：
因为侧面展开是正方形，所以底面周长=高=62.8cm，根据圆的周长公式$C=2π r$，可得半径：
$62.8÷2÷3.14=10(\mathrm{cm})$
2. 计算圆柱侧面积：
侧面积为正方形的面积：
$62.8×62.8=3943.84(\mathrm{cm}^2)$
3. 计算圆柱底面积：
根据圆的面积公式$S=π r^2$：
$3.14×10^2=314(\mathrm{cm}^2)$
4. 计算无盖水桶所需铁皮总面积：
$3943.84+314=4257.84(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$4257.84\mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 无盖圆柱表面积计算
2. 圆的周长公式应用
3. 圆的面积公式应用
【点评】
本题核心是抓住“侧面展开为正方形”这一关键条件，明确圆柱底面周长与高相等的关系，需要灵活运用圆的周长、面积公式以及圆柱侧面积公式，考察学生对几何图形特征的理解和公式的综合运用能力，容易出错的点是忘记无盖水桶只需计算一个底面积。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先明确无盖水桶所需铁皮面积是圆柱的侧面积加上一个底面积。题目中提到侧面展开是正方形，这是关键隐含条件：圆柱的底面周长等于高，均为62.8cm。接下来我们需要先通过底面周长求出底面半径，再分别计算侧面积和底面积，最后将两者相加得到总面积。具体步骤为：①利用圆的周长公式$C=2π r$推导得出半径$r=C÷2π$，代入数值求出半径；②侧面积就是正方形的面积，即边长×边长（边长等于高62.8cm）；③根据圆的面积公式$S=π r^2$计算底面积；④将侧面积与底面积相加得到所需铁皮面积。
【解析】
1. 求圆柱底面半径：
因为侧面展开是正方形，所以底面周长=高=62.8cm，根据圆的周长公式$C=2π r$，可得半径：
$62.8÷2÷3.14=10(\mathrm{cm})$
2. 计算圆柱侧面积：
侧面积为正方形的面积：
$62.8×62.8=3943.84(\mathrm{cm}^2)$
3. 计算圆柱底面积：
根据圆的面积公式$S=π r^2$：
$3.14×10^2=314(\mathrm{cm}^2)$
4. 计算无盖水桶所需铁皮总面积：
$3943.84+314=4257.84(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$4257.84\mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 无盖圆柱表面积计算
2. 圆的周长公式应用
3. 圆的面积公式应用
【点评】
本题核心是抓住“侧面展开为正方形”这一关键条件，明确圆柱底面周长与高相等的关系，需要灵活运用圆的周长、面积公式以及圆柱侧面积公式，考察学生对几何图形特征的理解和公式的综合运用能力，容易出错的点是忘记无盖水桶只需计算一个底面积。
【难度系数】
0.6
4. 一个圆柱体，底面半径是$7$ cm，表面积是$1406.72$ cm²。这个圆柱的高是多少厘米？
答案
4. 1406.72−3.14×7²×2=1099(cm²)
3.14×2×7=43.96(cm)
1099÷43.96=25(cm)
3.14×2×7=43.96(cm)
1099÷43.96=25(cm)
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确圆柱的表面积由两个底面积和一个侧面积组成，公式为：圆柱表面积=2×底面积+侧面积。我们的目标是求圆柱的高，所以可以先通过底面半径算出两个底面积的总和，用总表面积减去这个总和得到侧面积；再根据底面半径算出底面周长，因为侧面积=底面周长×高，所以用侧面积除以底面周长就能求出圆柱的高。
【解析】
1. 计算两个底面积的和：
底面积公式为$S_{底}=π r^2$，则两个底面积和为：
$2×3.14×7^2=2×3.14×49=307.72$（$cm^2$）
2. 计算圆柱的侧面积：
用总表面积减去两个底面积的和，即：
$1406.72 - 307.72=1099$（$cm^2$）
3. 计算底面周长：
底面周长公式为$C=2π r$，则：
$2×3.14×7=43.96$（$cm$）
4. 计算圆柱的高：
由侧面积公式$S_{侧}=C× h$，可得$h=S_{侧}÷ C$，即：
$1099÷43.96=25$（$cm$）
【答案】
25厘米
【知识点】
圆柱表面积公式、圆柱侧面积公式
【点评】
本题考查圆柱表面积和侧面积公式的灵活运用，需要学生理解圆柱表面积的组成，通过逆推的方式，从已知的表面积和底面半径求出高，考验对公式的掌握程度和计算能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先要明确圆柱的表面积由两个底面积和一个侧面积组成，公式为：圆柱表面积=2×底面积+侧面积。我们的目标是求圆柱的高，所以可以先通过底面半径算出两个底面积的总和，用总表面积减去这个总和得到侧面积；再根据底面半径算出底面周长，因为侧面积=底面周长×高，所以用侧面积除以底面周长就能求出圆柱的高。
【解析】
1. 计算两个底面积的和：
底面积公式为$S_{底}=π r^2$，则两个底面积和为：
$2×3.14×7^2=2×3.14×49=307.72$（$cm^2$）
2. 计算圆柱的侧面积：
用总表面积减去两个底面积的和，即：
$1406.72 - 307.72=1099$（$cm^2$）
3. 计算底面周长：
底面周长公式为$C=2π r$，则：
$2×3.14×7=43.96$（$cm$）
4. 计算圆柱的高：
由侧面积公式$S_{侧}=C× h$，可得$h=S_{侧}÷ C$，即：
$1099÷43.96=25$（$cm$）
【答案】
25厘米
【知识点】
圆柱表面积公式、圆柱侧面积公式
【点评】
本题考查圆柱表面积和侧面积公式的灵活运用，需要学生理解圆柱表面积的组成，通过逆推的方式，从已知的表面积和底面半径求出高，考验对公式的掌握程度和计算能力。
【难度系数】
0.6
5. 一个圆柱的高是$9$ cm，如果把它的高截短$3$ cm，它的表面积就减少$94.2$ cm²，这个圆柱的表面积是多少平方厘米？
答案
5. C:94.2÷3=31.4(cm)
r:31.4÷2÷3.14=5(cm)
$S_{侧}:31.4×9=282.6(cm²)$
$S_{底}:3.14×5²=78.5(cm²)$
$S_{表}:282.6+78.5×2=439.6(cm²)$
r:31.4÷2÷3.14=5(cm)
$S_{侧}:31.4×9=282.6(cm²)$
$S_{底}:3.14×5²=78.5(cm²)$
$S_{表}:282.6+78.5×2=439.6(cm²)$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确：把圆柱的高截短3cm后，表面积减少的部分其实是截去的小圆柱的侧面积（上下底面积并未减少，只是侧面积减少了）。解题思路如下：
1. 用减少的表面积除以截短的高，得到圆柱的底面周长；
2. 根据圆的周长公式求出底面半径；
3. 利用底面周长和原圆柱的高计算出原圆柱的侧面积；
4. 根据半径计算出一个底面积，再乘2得到两个底面积；
5. 最后将侧面积与两个底面积相加，得到圆柱的表面积。
【解析】
1. 计算圆柱底面周长：
因为截短高后减少的表面积是截去部分的侧面积，由侧面积公式$S_{侧}=C× h$（$C$为底面周长，$h$为截去的高），可得底面周长$C = 94.2÷3 = 31.4(\mathrm{cm})$。
2. 计算底面半径：
根据圆的周长公式$C=2π r$，可得底面半径$r = 31.4÷2÷3.14 = 5(\mathrm{cm})$。
3. 计算原圆柱的侧面积：
$S_{侧}=C× H = 31.4×9 = 282.6(\mathrm{cm}^2)$（$H$为原圆柱的高）。
4. 计算圆柱的底面积：
根据圆的面积公式$S_{底}=π r^2$，可得$S_{底}=3.14×5^2 = 78.5(\mathrm{cm}^2)$。
5. 计算圆柱的表面积：
圆柱表面积=侧面积+2个底面积，即$S_{表}=282.6 + 78.5×2 = 439.6(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$\boldsymbol{439.6}$平方厘米
【知识点】
圆柱侧面积与表面积计算、圆的周长公式、圆的面积公式
【点评】
本题的核心是理解“截短圆柱高后表面积减少的部分为截去小圆柱的侧面积”，考查了对圆柱表面积组成的掌握以及圆的周长、面积公式的灵活运用，需要学生具备一定的空间想象能力和公式应用能力。
【难度系数】
0.4
要解决这个问题，首先需要明确：把圆柱的高截短3cm后，表面积减少的部分其实是截去的小圆柱的侧面积（上下底面积并未减少，只是侧面积减少了）。解题思路如下：
1. 用减少的表面积除以截短的高，得到圆柱的底面周长；
2. 根据圆的周长公式求出底面半径；
3. 利用底面周长和原圆柱的高计算出原圆柱的侧面积；
4. 根据半径计算出一个底面积，再乘2得到两个底面积；
5. 最后将侧面积与两个底面积相加，得到圆柱的表面积。
【解析】
1. 计算圆柱底面周长：
因为截短高后减少的表面积是截去部分的侧面积，由侧面积公式$S_{侧}=C× h$（$C$为底面周长，$h$为截去的高），可得底面周长$C = 94.2÷3 = 31.4(\mathrm{cm})$。
2. 计算底面半径：
根据圆的周长公式$C=2π r$，可得底面半径$r = 31.4÷2÷3.14 = 5(\mathrm{cm})$。
3. 计算原圆柱的侧面积：
$S_{侧}=C× H = 31.4×9 = 282.6(\mathrm{cm}^2)$（$H$为原圆柱的高）。
4. 计算圆柱的底面积：
根据圆的面积公式$S_{底}=π r^2$，可得$S_{底}=3.14×5^2 = 78.5(\mathrm{cm}^2)$。
5. 计算圆柱的表面积：
圆柱表面积=侧面积+2个底面积，即$S_{表}=282.6 + 78.5×2 = 439.6(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
$\boldsymbol{439.6}$平方厘米
【知识点】
圆柱侧面积与表面积计算、圆的周长公式、圆的面积公式
【点评】
本题的核心是理解“截短圆柱高后表面积减少的部分为截去小圆柱的侧面积”，考查了对圆柱表面积组成的掌握以及圆的周长、面积公式的灵活运用，需要学生具备一定的空间想象能力和公式应用能力。
【难度系数】
0.4
