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1. 如图，若 $ m // n $，$ ∠ 1 = 105° $，则 $ ∠ 2 = $(
A.$ 55° $
B.$ 60° $
C.$ 65° $
D.$ 75° $
D
)A.$ 55° $
B.$ 60° $
C.$ 65° $
D.$ 75° $
答案
1. D
解析
【分析】
首先观察图形，∠1和∠2是直线m、n被左侧斜线所截形成的同旁内角。已知$ m // n $，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，即∠1与∠2的和为180°。已知∠1=105°，只需用180°减去∠1的度数，即可求出∠2的度数，进而选出正确选项。
【解析】
已知 $ m // n $，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得：
$ ∠1 + ∠2 = 180° $
因为 $ ∠1 = 105° $，所以：
$ ∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 105° = 75° $
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质（同旁内角互补）
【点评】
本题考查平行线性质的基础应用，难度较低，解题的关键是准确识别同旁内角，并熟练运用“两直线平行，同旁内角互补”的性质进行角度计算。
【难度系数】
0.9
首先观察图形，∠1和∠2是直线m、n被左侧斜线所截形成的同旁内角。已知$ m // n $，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，即∠1与∠2的和为180°。已知∠1=105°，只需用180°减去∠1的度数，即可求出∠2的度数，进而选出正确选项。
【解析】
已知 $ m // n $，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得：
$ ∠1 + ∠2 = 180° $
因为 $ ∠1 = 105° $，所以：
$ ∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 105° = 75° $
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质（同旁内角互补）
【点评】
本题考查平行线性质的基础应用，难度较低，解题的关键是准确识别同旁内角，并熟练运用“两直线平行，同旁内角互补”的性质进行角度计算。
【难度系数】
0.9
2. 如图，，则与 相等的角( 除外)共有(
A.$ 5 $ 个
B.$ 4 $ 个
C.$ 3 $ 个
D.$ 2 $ 个
C
)A.$ 5 $ 个
B.$ 4 $ 个
C.$ 3 $ 个
D.$ 2 $ 个
答案
2. C
解析
【分析】
要找出与∠1相等的角（∠1除外），可结合对顶角性质与平行线的性质逐步分析：
1. 首先根据对顶角相等，∠1的对顶角与∠1相等；
2. 因为AB//CD，根据“两直线平行，同位角相等”，∠1的同位角与∠1相等；
3. 该同位角的对顶角也与∠1相等（对顶角相等）；
将这些角统计，即可得到符合条件的角的个数。
【解析】
设∠1的对顶角为∠α，根据对顶角的性质，可得∠α=∠1；
因为AB//CD，根据“两直线平行，同位角相等”，∠1的同位角∠β=∠1；
设∠β的对顶角为∠γ，由对顶角相等可知∠γ=∠β=∠1。
综上，与∠1相等的角（∠1除外）有∠α、∠β、∠γ，共3个。
【答案】
C
【知识点】
对顶角相等；平行线的同位角相等
【点评】
本题考查对顶角性质与平行线性质的综合应用，解题关键是准确识别对顶角、同位角，利用性质推导角的等量关系，需注意仔细统计符合条件的角，避免遗漏或重复。
【难度系数】
0.8
要找出与∠1相等的角（∠1除外），可结合对顶角性质与平行线的性质逐步分析：
1. 首先根据对顶角相等，∠1的对顶角与∠1相等；
2. 因为AB//CD，根据“两直线平行，同位角相等”，∠1的同位角与∠1相等；
3. 该同位角的对顶角也与∠1相等（对顶角相等）；
将这些角统计，即可得到符合条件的角的个数。
【解析】
设∠1的对顶角为∠α，根据对顶角的性质，可得∠α=∠1；
因为AB//CD，根据“两直线平行，同位角相等”，∠1的同位角∠β=∠1；
设∠β的对顶角为∠γ，由对顶角相等可知∠γ=∠β=∠1。
综上，与∠1相等的角（∠1除外）有∠α、∠β、∠γ，共3个。
【答案】
C
【知识点】
对顶角相等；平行线的同位角相等
【点评】
本题考查对顶角性质与平行线性质的综合应用，解题关键是准确识别对顶角、同位角，利用性质推导角的等量关系，需注意仔细统计符合条件的角，避免遗漏或重复。
【难度系数】
0.8
3. 如图所示，$ DA ⊥ AB $，$ CD ⊥ DA $，$ ∠ B = 56° $，则 $ ∠ C $ 的度数是(
A.$ 154° $
B.$ 144° $
C.$ 134° $
D.$ 124° $
D
)A.$ 154° $
B.$ 144° $
C.$ 134° $
D.$ 124° $
答案
3. D
解析
【分析】
首先观察图形，已知$DA⊥AB$，$CD⊥DA$，根据垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可推出$CD// AB$。再根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”，可知$∠C$与$∠B$的和为$180°$，已知$∠B=56°$，代入计算即可求出$∠C$的度数。
【解析】
已知$ DA ⊥ AB $，$ CD ⊥ DA $，
根据垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可得$ CD // AB $，
根据两直线平行，同旁内角互补，可得$ ∠C + ∠B = 180° $，
又因为$ ∠B = 56° $，
所以$ ∠C = 180° - 56° = 124° $。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合运用，解题关键是先通过垂直关系判定直线平行，再利用平行线的性质计算角度，需要熟练掌握相关定理并灵活应用。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，已知$DA⊥AB$，$CD⊥DA$，根据垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可推出$CD// AB$。再根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”，可知$∠C$与$∠B$的和为$180°$，已知$∠B=56°$，代入计算即可求出$∠C$的度数。
【解析】
已知$ DA ⊥ AB $，$ CD ⊥ DA $，
根据垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可得$ CD // AB $，
根据两直线平行，同旁内角互补，可得$ ∠C + ∠B = 180° $，
又因为$ ∠B = 56° $，
所以$ ∠C = 180° - 56° = 124° $。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合运用，解题关键是先通过垂直关系判定直线平行，再利用平行线的性质计算角度，需要熟练掌握相关定理并灵活应用。
【难度系数】
0.7
4. 如图，已知 $ DE // BC $，$ CD $ 是 $ ∠ ACB $ 的平分线，$ ∠ B = 72° $，$ ∠ ACB = 40° $，那么 $ ∠ BDC $ 等于(
A.$ 78° $
B.$ 90° $
C.$ 88° $
D.$ 92° $
C
)A.$ 78° $
B.$ 90° $
C.$ 88° $
D.$ 92° $
答案
4. C
解析
【分析】
要计算$∠BDC$的度数，可借助三角形内角和定理求解。首先根据角平分线的定义求出$∠BCD$的度数，再结合三角形内角和为$180°$，用$180°$减去$∠B$和$∠BCD$的度数，即可得到$∠BDC$的度数。
【解析】
1. 已知CD是$∠ACB$的平分线，$∠ACB=40°$，根据角平分线的定义，可得：
$∠BCD=\frac{1}{2}∠ACB=\frac{1}{2}×40°=20°$
2. 在$△ BDC$中，根据三角形内角和定理（三角形内角和为$180°$），已知$∠B=72°$，$∠BCD=20°$，则：
$∠BDC=180°-∠B-∠BCD=180°-72°-20°=88°$
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义、三角形内角和定理
【点评】
本题主要考查角平分线定义与三角形内角和定理的基础应用，解题思路清晰，只需先利用角平分线求出相关角的度数，再结合三角形内角和计算目标角，属于基础几何题型。
【难度系数】
0.8
要计算$∠BDC$的度数，可借助三角形内角和定理求解。首先根据角平分线的定义求出$∠BCD$的度数，再结合三角形内角和为$180°$，用$180°$减去$∠B$和$∠BCD$的度数，即可得到$∠BDC$的度数。
【解析】
1. 已知CD是$∠ACB$的平分线，$∠ACB=40°$，根据角平分线的定义，可得：
$∠BCD=\frac{1}{2}∠ACB=\frac{1}{2}×40°=20°$
2. 在$△ BDC$中，根据三角形内角和定理（三角形内角和为$180°$），已知$∠B=72°$，$∠BCD=20°$，则：
$∠BDC=180°-∠B-∠BCD=180°-72°-20°=88°$
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义、三角形内角和定理
【点评】
本题主要考查角平分线定义与三角形内角和定理的基础应用，解题思路清晰，只需先利用角平分线求出相关角的度数，再结合三角形内角和计算目标角，属于基础几何题型。
【难度系数】
0.8
5. 如图，$ CD // AB $，$ OE $ 平分 $ ∠ AOD $，$ OF ⊥ OE $，$ ∠ D = 50° $，则 $ ∠ BOF $ 为(
A.$ 35° $
B.$ 30° $
C.$ 25° $
D.$ 20° $
C
)A.$ 35° $
B.$ 30° $
C.$ 25° $
D.$ 20° $
答案
5. C
解析
【分析】
首先，根据平行线的性质，由$CD// AB$和$∠ D=50°$，可求出$∠ AOD$的度数；接着利用角平分线的定义得到$∠ AOE$的度数；再结合$OF⊥ OE$可知$∠ EOF=90°$，最后根据平角的定义，通过角的和差计算出$∠ BOF$的度数。
【解析】
1. 由$CD// AB$，根据平行线的同旁内角互补，可得：
$∠ AOD + ∠ D = 180°$
已知$∠ D = 50°$，代入得：
$∠ AOD = 180° - 50° = 130°$
2. 因为$OE$平分$∠ AOD$，根据角平分线的定义：
$∠ AOE = \frac{1}{2}∠ AOD = \frac{1}{2} × 130° = 65°$
3. 由于$OF⊥ OE$，所以$∠ EOF = 90°$，又因为$∠ AOE + ∠ EOF + ∠ BOF = 180°$（平角的定义），因此：
$∠ BOF = 180° - ∠ AOE - ∠ EOF = 180° - 65° - 90° = 25°$
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；垂线的性质
【点评】
本题考查平行线、角平分线及垂线的综合应用，解题关键是熟练掌握相关几何性质，准确梳理角之间的数量关系。
【难度系数】
0.6
首先，根据平行线的性质，由$CD// AB$和$∠ D=50°$，可求出$∠ AOD$的度数；接着利用角平分线的定义得到$∠ AOE$的度数；再结合$OF⊥ OE$可知$∠ EOF=90°$，最后根据平角的定义，通过角的和差计算出$∠ BOF$的度数。
【解析】
1. 由$CD// AB$，根据平行线的同旁内角互补，可得：
$∠ AOD + ∠ D = 180°$
已知$∠ D = 50°$，代入得：
$∠ AOD = 180° - 50° = 130°$
2. 因为$OE$平分$∠ AOD$，根据角平分线的定义：
$∠ AOE = \frac{1}{2}∠ AOD = \frac{1}{2} × 130° = 65°$
3. 由于$OF⊥ OE$，所以$∠ EOF = 90°$，又因为$∠ AOE + ∠ EOF + ∠ BOF = 180°$（平角的定义），因此：
$∠ BOF = 180° - ∠ AOE - ∠ EOF = 180° - 65° - 90° = 25°$
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；垂线的性质
【点评】
本题考查平行线、角平分线及垂线的综合应用，解题关键是熟练掌握相关几何性质，准确梳理角之间的数量关系。
【难度系数】
0.6
6. 如图，已知 $ ∠ 1 = 105° $，$ a // b $，则 $ ∠ 2 = $
75°
度.答案
6. 75°
解析
【分析】
首先要明确∠1和∠2的角度关联：已知$a// b$，可利用平行线的性质转化角度；同时∠1和它的邻补角互补，先算出这个邻补角的度数，再结合平行线的同位角相等的性质，就能得到∠2的度数。具体思考步骤：先通过邻补角的定义求出与∠1互补的角，再根据平行线的性质，确定该角与∠2是同位角，进而得出∠2的度数。
【解析】
设∠1的邻补角为∠3，
1. 因为∠1与∠3互为邻补角，根据邻补角的定义，有$∠ 1 + ∠ 3 = 180°$；
2. 已知$∠ 1 = 105°$，代入得$∠ 3 = 180° - 105° = 75°$；
3. 又因为$a// b$，∠2与∠3是同位角，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ 2 = ∠ 3 = 75°$。
【答案】
75°
【知识点】
平行线的性质，邻补角定义
【点评】
本题是基础的平行线角度计算问题，解题关键是准确识别图中角的位置关系，结合邻补角定义和平行线的性质完成角度转化与计算，考查对基础几何性质的理解与运用。
【难度系数】
0.8
首先要明确∠1和∠2的角度关联：已知$a// b$，可利用平行线的性质转化角度；同时∠1和它的邻补角互补，先算出这个邻补角的度数，再结合平行线的同位角相等的性质，就能得到∠2的度数。具体思考步骤：先通过邻补角的定义求出与∠1互补的角，再根据平行线的性质，确定该角与∠2是同位角，进而得出∠2的度数。
【解析】
设∠1的邻补角为∠3，
1. 因为∠1与∠3互为邻补角，根据邻补角的定义，有$∠ 1 + ∠ 3 = 180°$；
2. 已知$∠ 1 = 105°$，代入得$∠ 3 = 180° - 105° = 75°$；
3. 又因为$a// b$，∠2与∠3是同位角，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ 2 = ∠ 3 = 75°$。
【答案】
75°
【知识点】
平行线的性质，邻补角定义
【点评】
本题是基础的平行线角度计算问题，解题关键是准确识别图中角的位置关系，结合邻补角定义和平行线的性质完成角度转化与计算，考查对基础几何性质的理解与运用。
【难度系数】
0.8
7. 如图，，，，则 
60°
，40°
.答案
7. 60°,40°
解析
【分析】
首先根据平行线的同旁内角互补性质，由AB//CD和∠D=80°，求出∠BAD的度数；再根据∠CAD与∠BAC的比例关系，设未知数求出∠CAD的度数；最后利用平行线的内错角相等性质，求出∠ACD的度数。
【解析】
1. 因为$AB// CD$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得$∠ BAD + ∠ D = 180°$。
已知$∠ D=80°$，所以$∠ BAD = 180° - 80° = 100°$。
2. 设$∠ CAD=3x$，$∠ BAC=2x$（因为$∠ CAD:∠ BAC=3:2$），则$3x + 2x = ∠ BAD=100°$，
即$5x=100°$，解得$x=20°$，所以$∠ CAD=3x=3×20°=60°$。
3. 因为$AB// CD$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ ACD=∠ BAC=2x=2×20°=40°$。
【答案】
60°，40°
【知识点】
平行线的性质，角的比例计算
【点评】
本题主要考查平行线性质的应用，通过设未知数结合角的比例关系求解角度，需要熟练掌握平行线的同旁内角互补、内错角相等的性质，理清角之间的数量关系是解题关键。
【难度系数】
0.7
首先根据平行线的同旁内角互补性质，由AB//CD和∠D=80°，求出∠BAD的度数；再根据∠CAD与∠BAC的比例关系，设未知数求出∠CAD的度数；最后利用平行线的内错角相等性质，求出∠ACD的度数。
【解析】
1. 因为$AB// CD$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得$∠ BAD + ∠ D = 180°$。
已知$∠ D=80°$，所以$∠ BAD = 180° - 80° = 100°$。
2. 设$∠ CAD=3x$，$∠ BAC=2x$（因为$∠ CAD:∠ BAC=3:2$），则$3x + 2x = ∠ BAD=100°$，
即$5x=100°$，解得$x=20°$，所以$∠ CAD=3x=3×20°=60°$。
3. 因为$AB// CD$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ ACD=∠ BAC=2x=2×20°=40°$。
【答案】
60°，40°
【知识点】
平行线的性质，角的比例计算
【点评】
本题主要考查平行线性质的应用，通过设未知数结合角的比例关系求解角度，需要熟练掌握平行线的同旁内角互补、内错角相等的性质，理清角之间的数量关系是解题关键。
【难度系数】
0.7
8. 如图，$ AB // CD $，$ ∠ 1 = ∠ 2 $，若 $ ∠ 3 = 60° $，则 $ ∠ 1 = $
60°
.答案
8. 60°
解析
【分析】
要解决这个问题，可按以下思路思考：
1. 首先根据已知条件$AB// CD$，回忆平行线的性质，内错角相等，可得到$∠2$与$∠3$的等量关系；
2. 结合题目给出的$∠1=∠2$，通过等量代换，就能求出$∠1$的度数。
【解析】
已知$AB// CD$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ 2=∠ 3$。
因为$∠ 3=60{}^{\circ }$，所以$∠ 2=60{}^{\circ }$。
又因为$∠ 1=∠ 2$，通过等量代换可得$∠ 1=60{}^{\circ }$。
【答案】
$60°$
【知识点】
平行线的性质，等量代换
【点评】
本题主要考查平行线性质的基础应用，解题关键是准确识别图中的内错角，利用平行线性质建立角的等量关系，再结合已知条件完成等量代换求解，侧重对基础知识点的巩固。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，可按以下思路思考：
1. 首先根据已知条件$AB// CD$，回忆平行线的性质，内错角相等，可得到$∠2$与$∠3$的等量关系；
2. 结合题目给出的$∠1=∠2$，通过等量代换，就能求出$∠1$的度数。
【解析】
已知$AB// CD$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ 2=∠ 3$。
因为$∠ 3=60{}^{\circ }$，所以$∠ 2=60{}^{\circ }$。
又因为$∠ 1=∠ 2$，通过等量代换可得$∠ 1=60{}^{\circ }$。
【答案】
$60°$
【知识点】
平行线的性质，等量代换
【点评】
本题主要考查平行线性质的基础应用，解题关键是准确识别图中的内错角，利用平行线性质建立角的等量关系，再结合已知条件完成等量代换求解，侧重对基础知识点的巩固。
【难度系数】
0.8
9. 如图，$ AD // BC $，$ ∠ 1 = 78° $，$ ∠ 2 = 40° $，求 $ ∠ ADC $.
答案
9. 解:因为 AD//BC,
所以∠ADB=∠2=40°,
所以∠ADC=∠ADB+∠1=40°+78°=118°.
所以∠ADB=∠2=40°,
所以∠ADC=∠ADB+∠1=40°+78°=118°.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以分两步思考：首先，根据平行线的性质，当$AD// BC$时，内错角$∠ ADB$和$∠ 2$相等，由此可求出$∠ ADB$的度数；其次，观察图形可知$∠ ADC$是$∠ ADB$与$∠ 1$的和，将两个角的度数相加就能得到$∠ ADC$的度数。
【解析】
解：因为$AD // BC$，
根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ ADB = ∠ 2 = 40°$。
又因为$∠ ADC = ∠ ADB + ∠ 1$，
所以$∠ ADC = 40° + 78° = 118°$。
【答案】
$\boxed{118°}$
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 角的和差计算
【点评】
本题是基础几何题，主要考查平行线性质的应用，需要准确识别图中的内错角，结合角的和差关系求解，整体难度较低，有助于巩固平行线相关的基础知识点。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以分两步思考：首先，根据平行线的性质，当$AD// BC$时，内错角$∠ ADB$和$∠ 2$相等，由此可求出$∠ ADB$的度数；其次，观察图形可知$∠ ADC$是$∠ ADB$与$∠ 1$的和，将两个角的度数相加就能得到$∠ ADC$的度数。
【解析】
解：因为$AD // BC$，
根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ ADB = ∠ 2 = 40°$。
又因为$∠ ADC = ∠ ADB + ∠ 1$，
所以$∠ ADC = 40° + 78° = 118°$。
【答案】
$\boxed{118°}$
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 角的和差计算
【点评】
本题是基础几何题，主要考查平行线性质的应用，需要准确识别图中的内错角，结合角的和差关系求解，整体难度较低，有助于巩固平行线相关的基础知识点。
【难度系数】
0.8
10. 已知：直线 $ a // b $，直线 $ c // d $，$ ∠ 1 = 105° $，求 $ ∠ 2 $，$ ∠ 3 $ 的度数.
答案
10. 解:因为 a//b,
所以∠1=∠3
因为 c//d,
所以∠3=∠2,
所以∠2=∠3=105°.
所以∠1=∠3
因为 c//d,
所以∠3=∠2,
所以∠2=∠3=105°.
解析
【分析】
首先，我们需要利用平行线的性质来求解角度。已知直线$a // b$，直线$c // d$，$∠1 = 105°$。第一步，观察$∠1$和$∠3$的位置关系：因为$a // b$，直线$d$是截线，所以$∠1$和$∠3$是同位角，根据“两直线平行，同位角相等”，可得出$∠1 = ∠3$；第二步，观察$∠3$和$∠2$的位置关系：因为$c // d$，直线$b$是截线，所以$∠3$和$∠2$是同位角，同样根据“两直线平行，同位角相等”，可得出$∠3 = ∠2$；最后通过等量代换，就能得到$∠2$和$∠3$的度数。
【解析】
解：因为$a // b$，根据“两直线平行，同位角相等”，所以$∠1 = ∠3$。
又因为$∠1 = 105°$，所以$∠3 = 105°$。
因为$c // d$，根据“两直线平行，同位角相等”，所以$∠3 = ∠2$。
因此$∠2 = ∠3 = 105°$。
【答案】
$∠2 = 105°$，$∠3 = 105°$
【知识点】
平行线的性质（同位角相等）
【点评】
本题是基础几何题，主要考查平行线性质的直接应用，解题关键是准确识别同位角，利用平行线的性质进行角度的等量转化，难度较低，适合巩固平行线性质的基础知识点。
【难度系数】
0.8
首先，我们需要利用平行线的性质来求解角度。已知直线$a // b$，直线$c // d$，$∠1 = 105°$。第一步，观察$∠1$和$∠3$的位置关系：因为$a // b$，直线$d$是截线，所以$∠1$和$∠3$是同位角，根据“两直线平行，同位角相等”，可得出$∠1 = ∠3$；第二步，观察$∠3$和$∠2$的位置关系：因为$c // d$，直线$b$是截线，所以$∠3$和$∠2$是同位角，同样根据“两直线平行，同位角相等”，可得出$∠3 = ∠2$；最后通过等量代换，就能得到$∠2$和$∠3$的度数。
【解析】
解：因为$a // b$，根据“两直线平行，同位角相等”，所以$∠1 = ∠3$。
又因为$∠1 = 105°$，所以$∠3 = 105°$。
因为$c // d$，根据“两直线平行，同位角相等”，所以$∠3 = ∠2$。
因此$∠2 = ∠3 = 105°$。
【答案】
$∠2 = 105°$，$∠3 = 105°$
【知识点】
平行线的性质（同位角相等）
【点评】
本题是基础几何题，主要考查平行线性质的直接应用，解题关键是准确识别同位角，利用平行线的性质进行角度的等量转化，难度较低，适合巩固平行线性质的基础知识点。
【难度系数】
0.8
