9. 如图：∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝180°，试找出图中相互平行的直线，并说明理由.

9. 解:a//b,m//n,理由如下，图中标角.因为∠1=∠4,∠1+∠2=180°,所以∠4+∠2=180°,所以m//n.因为∠2+∠3=180°,∠5+∠3=180°,所以∠2=∠5,所以a//b.

【分析】
要找出图中平行的直线，我们可以利用平行线的判定定理，结合已知的角的互补关系，通过转化角的等量关系来推导。首先观察$∠1+∠2=180°$，可借助对顶角相等将$∠1$转化为其对顶角，得到同旁内角互补，从而判定一组直线平行；再根据$∠2+∠3=180°$，利用同角的补角相等得到同位角相等，进而判定另一组直线平行。
【解析】
如图标角：
1. 判定$ m // n $：
因为$ ∠ 1 = ∠ 4 $（对顶角相等），又$ ∠ 1 + ∠ 2 = 180° $（已知），
所以$ ∠ 4 + ∠ 2 = 180° $（等量代换），
根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得$ m // n $。
2. 判定$ a // b $：
因为$ ∠ 2 + ∠ 3 = 180° $（已知），$ ∠ 5 + ∠ 3 = 180° $（邻补角的定义），
所以$ ∠ 2 = ∠ 5 $（同角的补角相等），
根据“同位角相等，两直线平行”，可得$ a // b $。
【答案】
$ a// b $，$ m// n $，理由如下：因为$ ∠ 1=∠ 4 $，$ ∠ 1+∠ 2=180° $，所以$ ∠ 4+∠ 2=180° $，所以$ m// n $。因为$ ∠ 2+∠ 3=180° $，$ ∠ 5+∠ 3=180° $，所以$ ∠ 2=∠ 5 $，所以$ a// b $。
【知识点】
平行线的判定、对顶角相等、同角的补角相等
【点评】
本题主要考查平行线判定定理的应用，解题关键是通过对顶角、补角的性质进行角的等量转化，将已知的角的互补关系转化为平行线判定所需的角的关系，锻炼逻辑推理与知识迁移能力。
【难度系数】
0.8

10. 用尺规作平行线的方法.
已知：如图，直线 AB 及直线 AB 外一点 P.
求作：经过点 P 的直线 CD，使得 CD//AB.
尺规作图步骤：
①过点 P 作直线 AB 的相交线，与直线 AB 交于点 H；
②以点 H 为圆心，任意长为半径画弧，交直线 HP 于点 E，交直线 AB 于点 F；
③以点 P 为圆心，以线段 HF 长为半径画弧，交射线 HP 于点 M；
④以点 M 为圆心，线段长为 EF 半径画弧交前弧于点 N；
⑤过点 P，N 作直线 CD.

（1）在上述作图步骤中用到的判定 CD//AB 的依据是.
（2）如图，在三角形 ABC 中，∠B＝∠C，小明通过刚才的方法，作出了∠EAD＝∠B，可以得到 AD//BC，那么 AD 是∠EAC 的平分线吗？请说明理由.

10. 解:(1)同位角相等，两直线平行
(2)AD是∠EAC的平分线，理由如下:因为∠EAD=∠B,所以AD//BC.所以∠DAC=∠C.因为∠B=∠C,所以∠EAD=∠DAC,所以AD是∠EAC的平分线.

【分析】
（1）先回忆平行线的判定定理，观察尺规作图步骤，步骤②④构造出两组对应弧长相等，进而得到一组同位角相等，根据同位角相等的判定定理可推出CD//AB，由此确定判定依据。
（2）要判断AD是否为∠EAC的平分线，需证明∠EAD=∠DAC。已知∠EAD=∠B，先利用同位角相等推出AD//BC，再根据平行线的性质得到∠DAC=∠C，结合题目给出的∠B=∠C，通过等量代换得到∠EAD=∠DAC，从而证明AD是角平分线。
【解析】
(1) 同位角相等，两直线平行
(2) AD是∠EAC的平分线，理由如下：
因为∠EAD = ∠B，根据“同位角相等，两直线平行”，可得AD//BC。
根据“两直线平行，内错角相等”，得∠DAC = ∠C。
又因为∠B = ∠C，所以∠EAD = ∠DAC（等量代换）。
根据角平分线的定义，可知AD是∠EAC的平分线。
【答案】
(1) 同位角相等，两直线平行
(2) AD是∠EAC的平分线，理由如下:因为∠EAD=∠B,所以AD//BC.所以∠DAC=∠C.因为∠B=∠C,所以∠EAD=∠DAC,所以AD是∠EAC的平分线.
【知识点】
1. 平行线的判定与性质
2. 角平分线的判定
3. 尺规作图作平行线
【点评】
本题结合尺规作图，综合考查了平行线的判定与性质以及角平分线的判定，既要求理解作平行线的原理，又需要通过逻辑推理完成角的等量代换，有助于提升学生的几何推理能力和对基本作图的理解。
【难度系数】
0.6

1. 如图，有下列说法：①能与∠DEF 构成内错角的角有 2 个；②能与∠BFE 构成同位角的角有 2 个；③能与∠C 构成同旁内角的角有 4 个.其中正确结论的序号是.

1. ①

【分析】
要判断每个结论的正误，需先明确内错角、同位角、同旁内角的定义：
1. 内错角：两条直线被第三条直线所截，在截线两侧，且夹在两条被截直线之间的角；
2. 同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在两条被截直线同一侧的角；
3. 同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且夹在两条被截直线之间的角。
接下来逐个分析每个说法：
对于①，需观察∠DEF的两边作为截线时，对应的被截直线形成的内错角；
对于②，依据同位角定义，观察能与∠BFE构成同位角的所有角；
对于③，根据同旁内角定义，逐一排查与∠C构成同旁内角的角的数量。
【解析】
1. 分析结论①：
∠DEF的两边为DE和EF：
直线EF、DC被DE所截，∠DEF与∠EDC是内错角；
直线AB、DE被EF所截，∠DEF与∠AFE是内错角；
因此能与∠DEF构成内错角的角有2个，①正确。
2. 分析结论②：
∠BFE的两边为BF和FE：
只有直线FE、BC被AB所截时，∠BFE与∠B是同位角，仅1个，并非2个，故②错误。
3. 分析结论③：
∠C的两边为BC和AC：
与∠C构成同旁内角的角有∠A、∠B、∠EDC、∠DEC、∠FEC，共5个，并非4个，故③错误。
综上，正确结论的序号是①。
【答案】
①
【知识点】
内错角、同位角、同旁内角的定义
【点评】
本题主要考查三线八角中各类角的识别，解题关键是准确理解三类角的定义，结合图形逐一分析，注意计数时不要遗漏或重复。
【难度系数】
0.6

2. 已知直线 a，b，c，d，e，且∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，则 a 与 c 平行吗？为什么？

2. 解:平行.理由如下:因为∠1=∠2 ，所以a//b(内错角相等，两直线平行)，因为∠3+∠4=180°，所以b//c(同旁内角互补，两直线平行)，所以a//c(平行于同一直线的两直线平行)

【分析】
要判断直线a与c是否平行，可借助中间直线b推导。首先观察∠1和∠2是内错角，利用内错角相等的判定定理能得出a与b平行；再看∠3和∠4是同旁内角，根据同旁内角互补的判定定理可得出b与c平行；最后依据平行公理的推论，平行于同一直线的两条直线互相平行，就能得到a与c平行的结论。
【解析】
平行。理由如下：
1. 因为∠1＝∠2，根据“内错角相等，两直线平行”，可得 $a // b$；
2. 因为∠3＋∠4＝180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得 $b // c$；
3. 根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”，由 $a // b$ 且 $b // c$，可得 $a // c$。
【答案】
平行，理由见解析。
【知识点】
内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行公理的推论
【点评】
本题考查平行线的判定定理及平行公理的推论，解题核心是通过直线b搭建a和c的平行关系，需熟练掌握相关判定规则，逐步推导得出结论。
【难度系数】
0.8

3. 如图，BE 平分∠ABD，DE 平分∠BDC，且∠1＋∠2＝90°，那么直线 AB，CD 的位置关系如何？并说明理由.

3. 解:直线AB、CD的位置关系为AB//CD.理由如下:因为BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,所以∠ABD=2∠1,∠BDC=2∠2,因为∠1+∠2=90°,所以∠ABD+∠BDC=2(∠1+∠2)=2×90°=180°,所以AB//CD.

【分析】
要判断直线AB和CD的位置关系，首先观察已知条件：BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2=90°。首先根据角平分线的定义，可将∠ABD、∠BDC分别用∠1、∠2表示出来，再通过∠1+∠2的度数计算∠ABD+∠BDC的度数，最后根据平行线的判定定理判断两直线的位置关系。具体思路为：先利用角平分线得到∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2，再代入∠1+∠2=90°，求出∠ABD+∠BDC的和，若和为180°，则根据同旁内角互补，两直线平行可判定AB//CD。
【解析】
解：直线AB、CD的位置关系为$\boldsymbol{AB// CD}$，理由如下：
因为BE平分∠ABD，DE平分∠BDC（已知），
所以$∠ ABD=2∠ 1$，$∠ BDC=2∠ 2$（角平分线的定义）。
又因为$∠ 1+∠ 2=90°$（已知），
所以$∠ ABD+∠ BDC=2(∠ 1+∠ 2)=2×90°=180°$（等量代换）。
所以$AB// CD$（同旁内角互补，两直线平行）。
【答案】
$\boldsymbol{AB// CD}$
【知识点】
角平分线的定义；同旁内角互补，两直线平行
【点评】
本题是基础几何题，核心考查角平分线的定义和平行线的判定定理，需要熟练掌握角的倍数转化关系，以及利用同旁内角互补判定平行的方法，通过已知的角度和推导同旁内角的和，从而完成平行关系的判定，理清角之间的数量关系是解题关键。
【难度系数】
0.7