11. 如图，$ AB // CD $，$ AC ⊥ BC $，$ ∠ BAC = 55° $，求 $ ∠ BCD $.

11. 解:因为 AC⊥BC,∠BAC=55°,
所以∠B=90°-55°=35°,
又因为 AB//CD,
所以∠BCD=∠B=35°.

【分析】
首先，由$AC⊥BC$可知$△ ABC$是直角三角形，已知$∠ BAC=55°$，根据直角三角形两锐角互余的性质，可先计算出$∠ B$的度数；再结合$AB// CD$的条件，利用平行线内错角相等的性质，就能得到$∠ BCD$的度数，因为$∠ BCD$与$∠ B$是平行线$AB$、$CD$被$BC$所截形成的内错角。
【解析】
解：因为$ AC ⊥ BC $，$ ∠BAC = 55° $，
所以$ ∠B = 90° - 55° = 35° $，
又因为$ AB // CD $，
所以$ ∠BCD = ∠B = 35° $。
【答案】
$\boldsymbol{35°}$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；平行线的性质
【点评】
本题是直角三角形性质与平行线性质的综合基础题，解题关键是准确识别角的关系，熟练运用直角三角形两锐角互余、平行线内错角相等的性质进行角度计算。
【难度系数】
0.8

12. 如图，$ AD $ 是 $ ∠ EAC $ 的平分线，$ AD // BC $，$ ∠ B = 30° $，求 $ ∠ EAD $，$ ∠ DAC $，$ ∠ C $ 的度数.

12. 解:因为 AD//BC,∠B=30°,
所以∠EAD=∠B=30°,
因为 AD 是∠EAC 的平分线,
所以∠DAC=∠EAD=30°,
又因为 AD//BC,
所以∠C=∠DAC=30°.

【分析】
首先，根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等，因为$AD// BC$，$∠ B$和$∠ EAD$是同位角，可先求出$∠ EAD$的度数；接着，利用角平分线的定义，角平分线将角分成两个相等的角，可得$∠ DAC$与$∠ EAD$相等，进而得到$∠ DAC$的度数；最后，再根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，$∠ C$和$∠ DAC$是内错角，从而求出$∠ C$的度数。
【解析】
解：因为 $ AD // BC $，$ ∠ B = 30° $，
根据“两直线平行，同位角相等”，可得 $ ∠ EAD = ∠ B = 30° $。
因为 $ AD $ 是 $ ∠ EAC $ 的平分线，
根据角平分线的定义，可得 $ ∠ DAC = ∠ EAD = 30° $。
又因为 $ AD // BC $，
根据“两直线平行，内错角相等”，可得 $ ∠ C = ∠ DAC = 30° $。
【答案】
$ ∠ EAD = 30° $，$ ∠ DAC = 30° $，$ ∠ C = 30° $
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题主要考查平行线的性质与角平分线定义的综合运用，解题关键是准确识别图中的同位角、内错角，熟练运用相关定理进行角度推导，属于基础几何题型。
【难度系数】
0.8

1. 如图，$ AB // CD $，若 $ ∠ 2 $ 是 $ ∠ 1 $ 的 $ 2 $ 倍，则 $ ∠ 2 $ 等于()


A.$ 60° $
B.$ 120° $
C.$ 90° $
D.$ 150° $

1. B

【分析】
首先，题目给出$AB // CD$，且$∠2$是$∠1$的2倍，要求$∠2$的度数。我们可以先设$∠1$的度数为未知数，再利用平行线的性质找到$∠1$和$∠2$的数量关系，最后通过列方程求解。具体思路：设$∠1=x$，则$∠2=2x$；根据$AB // CD$，可得$∠1$与$∠2$的邻补角是同位角，因此$∠1=180°-∠2$，建立方程后求解即可得到$∠2$的度数。
【解析】
设$∠1 = x$，则$∠2 = 2x$。
因为$AB // CD$，根据平行线的同位角相等性质，$∠1$与$∠2$的邻补角相等，即：
$∠1 = 180° - ∠2$
将$∠1=x$，$∠2=2x$代入上式：
$x = 180° - 2x$
移项得：$3x = 180°$
解得：$x = 60°$
因此$∠2 = 2x = 2×60° = 120°$。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合了平行线的性质与方程思想，通过设未知数将几何问题转化为代数问题求解，既考查了对平行线性质的理解，也考查了方程的运用，属于基础题型，需要熟练掌握相关知识点并学会灵活转化问题。
【难度系数】
0.8

2. 如图所示，AB//EF//CD，EG//BD，则图中与 ∠1 相等的角(∠1 除外)共有()
A.$ 6 $ 个
B.$ 5 $ 个
C.$ 4 $ 个
D.$ 3 $ 个

2. B

【分析】
要找出与∠1相等的角（∠1除外），我们可以利用平行线的性质（同位角相等、内错角相等）逐步推导：
1. 首先根据$ EG // BD $，利用“两直线平行，同位角相等”，得到∠1与∠ABD相等；
2. 接着结合$ AB // EF $，利用“两直线平行，内错角相等”，得到∠ABD与∠BFE相等，进而推出∠1=∠BFE；
3. 再根据$ AB // CD $，利用“两直线平行，内错角相等”，得到∠ABD与∠CDB相等，进而推出∠1=∠CDB；
4. 由$ EF // CD $，利用“两直线平行，内错角相等”，得到∠CDB与∠FDB相等，进而推出∠1=∠FDB；
5. 最后根据$ EG // BD $，利用“两直线平行，内错角相等”，得到∠FDB与∠GEF相等，进而推出∠1=∠GEF。
综上，可找出5个与∠1相等的角。
【解析】
根据平行线的性质，逐步推导：
1. 因为 $ EG // BD $，根据“两直线平行，同位角相等”，可得 $ ∠ 1 = ∠ ABD $；
2. 因为 $ AB // EF $，根据“两直线平行，内错角相等”，可得 $ ∠ ABD = ∠ BFE $，所以 $ ∠ 1 = ∠ BFE $；
3. 因为 $ AB // CD $，根据“两直线平行，内错角相等”，可得 $ ∠ ABD = ∠ CDB $，所以 $ ∠ 1 = ∠ CDB $；
4. 因为 $ EF // CD $，根据“两直线平行，内错角相等”，可得 $ ∠ CDB = ∠ FDB $，所以 $ ∠ 1 = ∠ FDB $；
5. 因为 $ EG // BD $，根据“两直线平行，内错角相等”，可得 $ ∠ FDB = ∠ GEF $，所以 $ ∠ 1 = ∠ GEF $。
综上，与∠1相等的角（∠1除外）有$ ∠ ABD、∠ BFE、∠ CDB、∠ FDB、∠ GEF $，共5个。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质
【点评】
本题主要考查平行线的性质的综合应用，解题的关键是准确识别图中的截线与被截线，灵活运用同位角、内错角相等的性质进行角的等量转化，注意不要遗漏相等的角。
【难度系数】
0.5

3. 家住湖边的小海帮爸爸用铁丝编织网箱，如图所示，若 $ AB // CD $，$ AC // BD $，$ ∠ 1 = α $，则①$ ∠ 3 = α $；②$ ∠ 2 = 180° - α $；③$ ∠ 4 = α $，其中正确的个数有()



A.$ 0 $ 个
B.$ 1 $ 个
C.$ 2 $ 个
D.$ 3 $ 个

3. C

【分析】
我们可以结合平行线的性质，逐个分析三个结论的正确性：
1. 分析∠3与α的关系：已知$AB // CD$，AC是截线，∠1和∠3是同位角，根据“两直线平行，同位角相等”，可推出∠3=∠1=α，故①正确；
2. 分析∠2与α的关系：已知$AC // BD$，AB是截线，∠1和∠2是同旁内角，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠1+∠2=180°，进而推出∠2=180°-α，故②正确；
3. 分析∠4与α的关系：已知$AB // CD$，BD是截线，∠2和∠4是内错角，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠4=∠2=180°-α≠α，故③错误；
综上，正确的结论有2个，应选C。
【解析】
解：根据平行线的性质对三个结论逐一判断：
① 因为$AB // CD$，AC为截线，∠1与∠3是同位角，由“两直线平行，同位角相等”可得：
$∠3=∠1=α$，故①正确；
② 因为$AC // BD$，AB为截线，∠1与∠2是同旁内角，由“两直线平行，同旁内角互补”可得：
$∠1+∠2=180°$，即$∠2=180°-α$，故②正确；
③ 因为$AB // CD$，BD为截线，∠2与∠4是内错角，由“两直线平行，内错角相等”可得：
$∠4=∠2=180°-α≠α$，故③错误；
因此正确的结论有2个，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质
【点评】
本题主要考查平行线性质的实际应用，解题关键是准确识别图中角的位置关系（同位角、同旁内角、内错角），结合平行线的性质进行角度推导，题目难度适中，侧重对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.7

4. 如图，AB//CD，则 ∠α 等于()
A.$ 50° $
B.$ 80° $
C.$ 85° $
D.$ 95° $

4. C

【分析】
本题考查平行线的性质，解题关键是通过作辅助线构造平行线，将所求角转化为两个角的和。首先观察图形，AB与CD平行但中间存在折线，因此过点E作EF//AB，利用平行公理推论可得EF//CD；再根据“两直线平行，同旁内角互补”求出∠BEF的度数，根据“两直线平行，内错角相等”求出∠CEF的度数，最后将两个角相加即可得到∠α的度数。
【解析】
过点$ E $作$ EF // AB $，如图所示：
因为$ AB // CD $，所以$ EF // CD $（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
因为$ AB // EF $，所以$ ∠ B + ∠ BEF = 180° $（两直线平行，同旁内角互补）。
已知$ ∠ B = 120° $，则$ ∠ BEF = 180° - 120° = 60° $。
因为$ EF // CD $，所以$ ∠ CEF = ∠ C = 25° $（两直线平行，内错角相等）。
因此$ ∠ α = ∠ BEF + ∠ CEF = 60° + 25° = 85° $。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论
【点评】
本题通过作辅助线将复杂的折线问题转化为平行线基本性质的应用，体现了转化思想的运用，熟练掌握平行线的性质是解题核心。
【难度系数】
0.7

5. 将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图的方式摆放，三角板的一直角边重合，含 $ 30° $ 角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含 $ 45° $ 角的直角三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则 $ ∠ 1 $ 的度数是()


A.$ 30° $
B.$ 25° $
C.$ 20° $
D.$ 15° $

5. D

【分析】
首先，我们需要结合平行线的性质和三角板的已知角度来推导∠1的度数。纸条的对边平行，根据“两直线平行，内错角相等”，可以将三角板的已知角度与∠1建立关联。观察图形可知，含45°角的三角板的一个角和含30°角的三角板的一个角，通过平行线的内错角转化后，∠1的度数就是这两个角的差值。
【解析】
因为纸条的对边互相平行，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”：
与含45°角的三角板的对应内错角为45°，与含30°角的三角板的对应内错角为30°，
因此∠1 = 45° - 30° = 15°。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质，三角板角度特征
【点评】
本题是平行线性质与三角板角度的综合应用，解题关键是结合图形，利用平行线的内错角相等，将已知三角板的角度转化为与∠1相关的角度，进而计算出∠1的度数。
【难度系数】
0.6

6. 如图，已知 $ AB // CD $，$ CE // BF $，则 $ ∠ B + ∠ C = $.

6. 180°

【分析】
要解决这个问题，我们可以借助平行线的性质，通过中间角进行等量代换，将∠B和∠C转化为同旁内角来求解。首先观察图形，已知$ AB // CD $、$ CE // BF $，先利用$ AB // CD $得到∠C与某个角相等，再结合$ CE // BF $得到这个角与∠B的互补关系，最后通过等量代换得出∠B+∠C的度数。
【解析】
设直线CE与AB交于点O。
1. 因为 $ AB // CD $（已知），根据“两直线平行，内错角相等”，可得 $ ∠ C = ∠ EOB $。
2. 又因为 $ CE // BF $（已知），根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得 $ ∠ B + ∠ EOB = 180° $。
3. 将 $ ∠ C = ∠ EOB $ 代入 $ ∠ B + ∠ EOB = 180° $，通过等量代换，得到 $ ∠ B + ∠ C = 180° $。
【答案】
$ 180° $
【知识点】
平行线的性质
【点评】
本题考查平行线性质的综合运用，解题关键是通过构造中间角建立∠B和∠C的联系，将分散的角转化为有直接关系的角，需要熟练掌握平行线的内错角相等、同旁内角互补等性质，并能灵活进行等量代换。
【难度系数】
0.7

7. 如图，已知 AB//CD，直线 EF 分别交 AB，CD 于 E，F，EG 平分 ∠BEF，若 ∠1=72°，则 ∠2=.

7. 54°

【分析】
首先，根据$AB// CD$的条件，利用平行线同旁内角互补的性质，先求出$∠ BEF$的度数；接着，由$EG$平分$∠ BEF$，可计算出$∠ BEG$的度数；最后，再根据平行线内错角相等的性质，得出$∠ 2$的度数。解题的关键是熟练运用平行线的性质和角平分线的定义来逐步推导角度。
【解析】
1. 已知 $ AB // CD $，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得：
$ ∠ 1 + ∠ BEF = 180° $
因为 $ ∠ 1 = 72° $，所以：
$ ∠ BEF = 180° - 72° = 108° $
2. 因为$EG$平分$ ∠ BEF $，根据角平分线的定义，可得：
$ ∠ BEG = \frac{1}{2}∠ BEF = \frac{1}{2} × 108° = 54° $
3. 又因为 $ AB // CD $，根据“两直线平行，内错角相等”，可得：
$ ∠ 2 = ∠ BEG = 54° $
【答案】
$ 54° $
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题主要考查平行线的性质与角平分线的定义的综合运用，属于基础几何题，解题时需准确识别角的位置关系，熟练运用相关定理进行角度计算。
【难度系数】
0.8

8. 光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图所示，水面 $ AB $ 与水杯下沿 $ CD $ 平行，光线 $ EF $ 从水中射向空气时发生折射，光线变成 $ FH $，点 $ G $ 在射线 $ EF $ 上，已知 $ ∠ HFB = 20° $，$ ∠ FED = 45° $，求 $ ∠ GFH $ 的度数.

8. 解:AB//CD,所以∠GFB=∠FED=45°
因为∠HFB=20°
所以∠GFH=∠GFB-∠HFB=25°

【分析】
首先，题目给出水面AB与水杯下沿CD平行，可利用平行线的内错角相等这一性质，找到与已知角∠FED相等的∠GFB；再观察图形可知∠GFH是∠GFB与∠HFB的差，通过角度的减法运算即可求出∠GFH的度数。
【解析】
已知AB//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠GFB = ∠FED = 45°。
又已知∠HFB = 20°，因此∠GFH = ∠GFB - ∠HFB = 45° - 20° = 25°。
【答案】
25°
【知识点】
平行线的性质，角度和差计算
【点评】
本题结合光的折射的物理背景，考查平行线性质与角度计算，解题关键是准确识别平行线对应的内错角，理清角之间的数量关系，属于基础几何计算题。
【难度系数】
0.8