1. 把一张长方形纸片 $ ABCD $ 沿 $ EF $ 折叠后，$ ED $ 与 $ BC $ 的交点为 $ G $，$ D $，$ C $ 分别在 $ M $，$ N $ 的位置上，若 $ ∠ EFG = 55° $，求 $ ∠ 1 $ 和 $ ∠ 2 $ 的度数.

1. 解:因为 AD//BC,
所以∠DEF=∠EFG=55°,
由折叠可知
∠GEF=∠DEF,
所以∠GEF=55°,
所以∠GED=110°,
所以∠1=180°-110°=70°,因为 AD//BC
所以∠2=∠GED=110°.

【分析】
这是一道长方形折叠后的角度计算问题，解题思路如下：
1. 先利用长方形对边平行的性质，得到$AD// BC$，根据平行线内错角相等，可推出$∠ DEF=∠ EFG$；
2. 结合折叠的性质，折叠前后对应角相等，即$∠ GEF=∠ DEF$，由此可算出$∠ GED$的度数；
3. 再根据平角的定义，$∠ 1$与$∠ GED$互补，从而求出$∠ 1$；
4. 最后再次利用平行线的性质，由$AD// BC$可得$∠ 2$与$∠ GED$相等，进而求出$∠ 2$。
【解析】
因为四边形$ABCD$是长方形，所以$AD// BC$，根据平行线的内错角相等，可得$∠ DEF=∠ EFG=55°$。
由折叠的性质可知，折叠前后对应角相等，即$∠ GEF=∠ DEF$，所以$∠ GEF=55°$。
因此$∠ GED=∠ DEF+∠ GEF=55°+55°=110°$。
根据平角的定义，$∠ 1+∠ GED=180°$，所以$∠ 1=180°-110°=70°$。
又因为$AD// BC$，根据平行线的同位角相等，可得$∠ 2=∠ GED=110°$。
【答案】
$∠ 1=70°$，$∠ 2=110°$
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质
【点评】
本题考查长方形性质、平行线性质与折叠性质的综合运用，解题关键是准确把握折叠前后对应角相等的特点，以及平行线的角度转化关系，通过逐步推导计算出目标角度。
【难度系数】
0.7

2. 如图，$ ∠ B $，$ ∠ D $ 的两边分别平行.

(1) 在图①中，$ ∠ B $ 与 $ ∠ D $ 的数量关系是什么？为什么？
(2) 在图②中，$ ∠ B $ 与 $ ∠ D $ 的数量关系是什么？为什么？
(3) 由(1)(2)可得结论.
(4) 应用：若两个角的两边两两互相平行，其中一个角比另一个角的 $ 2 $ 倍少 $ 30° $，求这两个角的度数.

2. (1)解:∠B=∠D,理由如下:
图中标∠1,
因为 AB//CD,

所以∠B=∠1,
又因为 BE//DF,
所以∠1=∠D,
所以∠B=∠D.
(2)解:∠B+∠D=180°,理由如下:
因为 AB//CD,

所以∠B=∠1.
因为 BE//DF,
所以∠1+∠D=180°,
所以∠B+∠D=180°.
(3)若两个角的两边两两互相平行,则这两个角相等或互补
(4)解:设一个角为 x°,则另一个角为(2x-30)°,
若相等:x=2x-30,
解得:x=30,则这两个角分别为 30°,30°.
若互补,则
x+2x-30=180,
解得 x=70,
则这两个角分别为 70°,110°.
答:这两个角的度数分别为 30°,30°或 70°,110°.

【分析】
1. 对于(1)，可借助平行线的性质，引入中间角$∠1$建立$∠B$与$∠D$的联系：先由$AB// CD$得到同位角相等$∠B=∠1$，再由$BE// DF$得到同位角相等$∠1=∠D$，进而推出$∠B=∠D$；
2. 对于(2)，同样利用平行线性质，先由$AB// CD$得$∠B=∠1$，再由$BE// DF$得同旁内角互补$∠1+∠D=180°$，从而得到$∠B+∠D=180°$；
3. 对于(3)，结合(1)(2)的结果，总结出两边分别平行的两个角的数量关系；
4. 对于(4)，根据(3)的结论，分两个角相等和互补两种情况设未知数，列一元一次方程求解，注意不要遗漏情况。
【解析】
(1) 解：$\boldsymbol{∠B=∠D}$，理由如下：
在图中标注$∠1$，
因为 $AB// CD$，

所以$∠B=∠1$（两直线平行，同位角相等），
又因为 $BE// DF$，
所以$∠1=∠D$（两直线平行，同位角相等），
所以$∠B=∠D$。
(2) 解：$\boldsymbol{∠B+∠D=180°}$，理由如下：
在图中标注$∠1$，
因为 $AB// CD$，

所以$∠B=∠1$（两直线平行，同位角相等）。
因为 $BE// DF$，
所以$∠1+∠D=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
所以$∠B+∠D=180°$。
(3) 解：由(1)(2)可得结论：$\boldsymbol{若两个角的两边两两互相平行，则这两个角相等或互补}$。
(4) 解：设一个角为 $x°$，则另一个角为$(2x-30)°$，
① 若两个角相等：
$x=2x-30$，
解得：$x=30$，则这两个角分别为 $30°$，$30°$。
② 若两个角互补：
$x+2x-30=180$，
解得 $x=70$，
则$2x-30=2×70-30=110$，这两个角分别为 $70°$，$110°$。
答：这两个角的度数分别为$30°$，$30°$或$70°$，$110°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠B=∠D}$，理由见解析；
(2) $\boldsymbol{∠B+∠D=180°}$，理由见解析；
(3) $\boldsymbol{若两个角的两边两两互相平行，则这两个角相等或互补}$；
(4) 这两个角的度数分别为$\boldsymbol{30°，30°}$或$\boldsymbol{70°，110°}$。
【知识点】
平行线的性质、角的相等与互补、一元一次方程的应用
【点评】
本题主要考查平行线的性质的应用，同时涉及分类讨论思想，需要注意当两个角的两边分别平行时，这两个角存在相等和互补两种情况，解题时要全面考虑，避免漏解，培养严谨的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6