1. 能说明 $ AB // DE $ 的有()
① $ ∠ 1 = ∠ D $；② $ ∠ CFB + ∠ D = 180° $；③ $ ∠ B = ∠ D $；④ $ ∠ BFD = ∠ D $。


A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

1. C

【分析】
要判断哪些条件能说明$AB// DE$，需结合平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行），逐个分析每个条件：
1. 对于$∠1=∠D$：$∠1$与$∠D$是同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可直接判定$AB// DE$；
2. 对于$∠CFB+∠D=180°$：因为$∠CFB$与$∠1$是邻补角，即$∠CFB+∠1=180°$，结合已知$∠CFB+∠D=180°$，可推出$∠1=∠D$，再根据同位角相等判定$AB// DE$；
3. 对于$∠B=∠D$：$∠B$与$∠D$既不是同位角、内错角，也不是同旁内角，没有直接的位置关联，无法判定$AB// DE$；
4. 对于$∠BFD=∠D$：$∠BFD$与$∠D$是内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定$AB// DE$。
综上，①②④能判定$AB// DE$，共3个。
【解析】
逐个分析各条件：
① 若$∠1=∠D$，$∠1$与$∠D$是同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可得$AB// DE$；
② 若$∠CFB + ∠D = 180°$，因为$∠CFB + ∠1 = 180°$（邻补角定义），所以$∠1 = ∠D$（同角的补角相等），再由同位角相等，两直线平行，可得$AB// DE$；
③ $∠B = ∠D$，$∠B$与$∠D$无直接的同位角、内错角或同旁内角关系，无法判定$AB// DE$；
④ 若$∠BFD = ∠D$，$∠BFD$与$∠D$是内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可得$AB// DE$。
因此能说明$AB// DE$的有①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
平行线的判定、邻补角性质、同角的补角相等
【点评】
本题主要考查平行线的判定定理的应用，解题关键是准确识别同位角、内错角、同旁内角，结合角的等量关系进行推导，注意区分能判定平行的角的位置关系，避免混淆。
【难度系数】
0.6

2. 如图，下列说法中正确的是()

A.因为 $ ∠ 2 = ∠ 4 $，所以 $ AD // BC $
B.因为 $ ∠ BAD + ∠ D = 180° $，所以 $ AD // BC $
C.因为 $ ∠ 1 = ∠ 3 $，所以 $ AD // BC $
D.因为 $ ∠ BAD + ∠ B = 180° $，所以 $ AB // CD $

2. C

【分析】
要判断每个选项是否正确，需根据平行线的判定定理（内错角相等、同旁内角互补，两直线平行），结合图中角的位置关系，分析每个选项中角对应的平行直线是否正确：
1. 分析选项A：∠2和∠4是AB、CD被AC所截形成的内错角，若∠2=∠4，应推出AB//CD，而非AD//BC，故A错误；
2. 分析选项B：∠BAD和∠D是AB、CD被AD所截形成的同旁内角，若∠BAD+∠D=180°，应推出AB//CD，而非AD//BC，故B错误；
3. 分析选项C：∠1和∠3是AD、BC被AC所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，∠1=∠3可推出AD//BC，故C正确；
4. 分析选项D：∠BAD和∠B是AD、BC被AB所截形成的同旁内角，若∠BAD+∠B=180°，应推出AD//BC，而非AB//CD，故D错误。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：∠2与∠4是AB、CD被AC截得的内错角，由∠2=∠4可得$\boldsymbol{AB// CD}$，不是$AD// BC$，故A错误；
选项B：∠BAD与∠D是AB、CD被AD截得的同旁内角，由∠BAD+∠D=180°可得$\boldsymbol{AB// CD}$，不是$AD// BC$，故B错误；
选项C：∠1与∠3是AD、BC被AC截得的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，由∠1=∠3可得$\boldsymbol{AD// BC}$，故C正确；
选项D：∠BAD与∠B是AD、BC被AB截得的同旁内角，由∠BAD+∠B=180°可得$\boldsymbol{AD// BC}$，不是$AB// CD$，故D错误。
综上，正确答案是C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的判定
【点评】
本题主要考查平行线的判定定理的应用，解题关键是准确识别角的位置关系，明确不同位置的角对应的平行直线，避免混淆。
【难度系数】
0.7

3. 推理填空，如图：（1）$∠ 1 = ∠ 2$，则 $//$ （）
若 $∠ DAB + ∠ ABC = 180°$，则 $//$ 。（）。
（2）当 $//$ 时，$∠ C + ∠ ABC = 180°$。（）。
当 $//$ 时，$∠ 3 = ∠ C$（）。

3. (1)AB//CD，内错角相等，两直线平行，AD//BC，同旁内角互补，两直线平行
(2)AB//DC，两直线平行，同旁内角互补，AD//BC，两直线平行，内错角相等

【分析】
要解决这道题，需先理清平行线的判定定理与性质定理的区别：判定是由角的数量关系推导直线平行，性质是由直线平行推导角的数量关系。
1. 对于（1）的第一个空，观察∠1与∠2是直线AB、CD被BD所截形成的内错角，根据内错角相等的条件，可依据判定定理得出平行直线；
2. 第二个空，∠DAB与∠ABC是直线AD、BC被AB所截形成的同旁内角，根据同旁内角互补的条件，依据判定定理得出平行直线；
3. 对于（2）的第一个空，∠C与∠ABC互补，依据平行线的性质定理，可反推对应的平行直线；
4. 第二个空，∠3与∠C是直线AD、BC被CD所截形成的内错角，依据平行线的性质定理，反推对应的平行直线。
【解析】
(1) 已知∠1=∠2，∠1和∠2是直线$AB$、$CD$被$BD$所截的内错角，根据内错角相等，两直线平行，可得$\boldsymbol{AB// CD}$；
已知∠DAB+∠ABC=180°，∠DAB和∠ABC是直线$AD$、$BC$被$AB$所截的同旁内角，根据同旁内角互补，两直线平行，可得$\boldsymbol{AD// BC}$；
(2) 若∠C+∠ABC=180°，根据两直线平行，同旁内角互补，可知此时$\boldsymbol{AB// DC}$；
若∠3=∠C，∠3和∠C是直线$AD$、$BC$被$CD$所截的内错角，根据两直线平行，内错角相等，可知此时$\boldsymbol{AD// BC}$；
【答案】
(1) $\boldsymbol{AB// CD}$，内错角相等，两直线平行；$\boldsymbol{AD// BC}$，同旁内角互补，两直线平行
(2) $\boldsymbol{AB// DC}$，两直线平行，同旁内角互补；$\boldsymbol{AD// BC}$，两直线平行，内错角相等
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质
【点评】
本题核心考查平行线的判定与性质的应用，解题关键是准确识别角的位置关系（内错角、同旁内角），明确判定与性质的逻辑方向：判定是由角推线，性质是由线推角，避免混淆。
【难度系数】
0.8

4. 如图，用吸管吮吸易拉罐内的饮料时，吸管与易拉罐上部夹角 $ ∠ 1 = 74° $，那么吸管与易拉罐下部夹角 $ ∠ 2 = $。

4. 74°

【分析】
首先观察图形可知，易拉罐的上下两条边是平行的，∠1与∠2是同位角。根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，所以∠2的度数等于∠1的度数，代入∠1的度数即可求出∠2。
【解析】
由图可知，易拉罐的上下两边互相平行，∠1和∠2是同位角。
根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠2=∠1=74°。
【答案】
74°
【知识点】
平行线的性质
【点评】
本题主要考查平行线的性质的应用，解题关键是准确识别出∠1与∠2是同位角，结合平行线的性质进行求解，题目较为基础，容易掌握。
【难度系数】
0.8

5. 已知：如图 $a ⊥ c$，$b ⊥ c$，$∠ 1 = 80°$，$∠ 2 =$。

5. 80°

【分析】
首先，根据已知的垂直条件，思考垂直于同一直线的两条直线的位置关系，可得出直线a与b平行；接着观察∠1和∠2的位置，它们是同位角，结合平行线的性质，同位角相等，就能推出∠2与∠1的度数相等，代入∠1的度数即可得到∠2的度数。
【解析】
已知$a ⊥ c$，$b ⊥ c$，根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可得$a // b$。
因为$a // b$，根据“两直线平行，同位角相等”，所以$∠ 2 = ∠ 1$。
又因为$∠ 1 = 80°$，所以$∠ 2 = 80°$。
【答案】
$\boldsymbol{80°}$
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合运用，解题的关键是先通过垂直关系判定两直线平行，再利用平行线的性质实现角的等量转化，整体逻辑清晰，属于基础几何题型。
【难度系数】
0.8

6. 已知，如图 $ ∠ 1 + ∠ 2 = 180° $，因为 $ ∠ 1 + ∠ 2 = 180° $()
又 $ ∠ 2 = ∠ 3 $()
所以 $ ∠ 1 + ∠ 3 = 180° $
所以()。
]

6. a//b，同旁内角互补，两直线平行

【分析】
首先，题目明确给出∠1+∠2=180°，这是已知条件；接着观察∠2和∠3的位置，二者是对顶角，根据对顶角相等的性质可得到∠2=∠3；将∠2替换为∠3后，可推出∠1+∠3=180°，而∠1与∠3是直线a、b被直线c所截形成的同旁内角，根据同旁内角互补，两直线平行的判定定理，就能得出直线a与b平行的结论，我们需要依次补全每一步的依据和最终结论。
【解析】
已知∠1 + ∠2 = 180°（已知），
又∠2 = ∠3（对顶角相等），
所以∠1 + ∠3 = 180°，
所以a//b（同旁内角互补，两直线平行）。
【答案】
a//b，同旁内角互补，两直线平行
【知识点】
1. 对顶角相等
2. 平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何题，考查了对顶角的性质与平行线的判定定理，需要熟练掌握基本的角的性质和平行线判定方法，通过角的数量关系推导直线的位置关系，锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8

7. 已知：如图，$ AB // CD $，$ ∠ 1 = ∠ 3 $。说明 $ AC // BD $。

7. 因为AB//CD 所以∠1=∠2(两直线平行内错角相等) 又因为∠1=∠3 所以∠2=∠3
所以AC//BD(同位角相等两直线平行)

【分析】
要证明$AC // BD$，需借助平行线的判定定理，先从已知的平行线关系入手推导角的等量关系。已知$AB // CD$，根据平行线的性质可得到一组内错角相等；再结合题目给出的$∠1=∠3$，通过等量代换得到能判定$AC // BD$的角的关系，最后利用平行线判定定理完成证明。
【解析】
因为$AB // CD$（已知），
所以$∠1=∠2$（两直线平行，内错角相等）。
又因为$∠1=∠3$（已知），
所以$∠2=∠3$（等量代换）。
所以$AC // BD$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
$AC // BD$，证明过程见上述解析。
【知识点】
平行线的性质、平行线的判定、等量代换
【点评】
本题考查平行线性质与判定的综合运用，解题核心是通过平行线的性质建立角的等量关系，再结合已知条件进行等量代换，找到符合平行线判定的角的关系，需要熟练掌握平行线的性质和判定定理，理清角之间的逻辑联系。
【难度系数】
0.8

8. 如图，$ D $ 是 $ AB $ 上一点，$ E $ 是 $ AC $ 上一点，$ ∠ ADE = 60° $，$ ∠ B = 60° $，$ ∠ AED = 40° $。
（1）$ DE $ 和 $ BC $ 平行吗？为什么？
（2）$ ∠ C $ 是多少度？为什么？

8. 解：(1)DE//BC.理由如下：
因为∠ADE=60°，∠B=60°，
所以∠ADE=∠B，
所以DE//BC(同位角相等，两直线平行)
(2)∠C=40°
因为DE//BC
所以∠C=∠AED=40°

【分析】
（1）要判断$DE$和$BC$是否平行，可通过寻找角的关系来推导。已知$∠ ADE$和$∠ B$的度数均为$60°$，这两个角是同位角，根据平行线的判定定理，同位角相等则两直线平行，即可得出结论。
（2）在确定$DE// BC$后，根据平行线的性质，两直线平行时同位角相等，$∠ C$与$∠ AED$是同位角，结合已知$∠ AED$的度数，就能求出$∠ C$的度数。
【解析】
(1) $DE// BC$，理由如下：
因为$∠ ADE = 60°$，$∠ B = 60°$，
所以$∠ ADE = ∠ B$，
根据“同位角相等，两直线平行”，可得$DE// BC$。
(2) $∠ C = 40°$，理由如下：
因为$DE// BC$，
根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ C = ∠ AED = 40°$。
【答案】
(1) $DE// BC$，理由见解析；
(2) $∠ C = 40°$，理由见解析。
【知识点】
同位角判定平行线、平行线的性质
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合运用，解题核心是准确识别同位角，熟练运用平行线的判定和性质定理进行推理，属于基础几何题型，有助于巩固平行线相关的基础知识点。
【难度系数】
0.8

9. 如图，$ ∠ 1 = 72° $，$ ∠ 2 = 72° $，$ ∠ 3 = 60° $，求 $ ∠ 4 $ 的度数。

9. 解：因为∠1=72°，∠2=72°，
所以∠1=∠2，
所以a//b，
所以∠3+∠4=180°.
因为∠3=60°，
所以∠4=120°.

【分析】
首先观察已知条件，∠1和∠2度数相等，根据同位角相等可判定直线a与b平行；再根据平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，可知∠3与∠4的和为180°，最后代入∠3的度数即可求出∠4的度数。
【解析】
解：因为∠1=72°，∠2=72°，
所以∠1=∠2，
所以$a// b$（同位角相等，两直线平行），
所以∠3+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
因为∠3=60°，
所以∠4=180°-60°=120°。
【答案】
$\boldsymbol{∠4=120°}$
【知识点】
同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合应用，解题关键是先通过同位角相等判定两直线平行，再利用平行线的性质建立角之间的数量关系，进而求解角度，逻辑清晰是解题的核心。
【难度系数】
0.8

1. 若两条平行线被第三条直线所截，则一组同位角的平分线互相()

A.垂直
B.平行
C.重合
D.相交

1. B

【分析】
首先回忆平行线的核心性质：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。接着结合角平分线的定义，角平分线会将原角分成两个相等的小角，那么一组同位角被各自平分线平分后，得到的小角也相等，这两个小角构成新的同位角。最后根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”，即可判断出这组同位角的平分线互相平行。
【解析】
设两条平行线为$a// b$，第三条截线为$c$，截得的一组同位角为$∠ 1$和$∠ 2$。
根据平行线的性质，可得$∠ 1=∠ 2$。
设$AD$平分$∠ 1$，$BE$平分$∠ 2$，根据角平分线的定义：
$∠ 3=\frac{1}{2}∠ 1$，$∠ 4=\frac{1}{2}∠ 2$。
因为$∠ 1=∠ 2$，所以$\frac{1}{2}∠ 1=\frac{1}{2}∠ 2$，即$∠ 3=∠ 4$。
根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”，可得$AD// BE$，即一组同位角的平分线互相平行。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质、平行线的判定、角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题型，考查平行线的性质与判定定理、角平分线定义的综合应用，需要熟练掌握相关定理内容，理清角之间的等量关系是解题关键。
【难度系数】
0.8