4. 如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180 n mile(1 n mile = 1852 m)的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处.
(1) 求渔船从A处到B处的航行过程中与小岛M之间的最短距离(用根号表示).
(2) 若渔船以20 n mile/h的速度从B处沿BM方向行驶，求渔船从B处到达小岛M的航行时间. (结果精确到0.1 h；参考数据：$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{3}$≈1.73，$\sqrt{6}$≈2.45)

解：​(1)​过点​M​作​MD⊥AB ，​垂足为点​D​
$​MD= AM · cos 45°= 90\sqrt{2}(​$海里)
答：渔船从​A​处到​B​处的航行过程中与小岛之间的最小距离是$​90\sqrt{2}​$海里。
​(2)​因为$​MD= 90\sqrt{2}​$海里
则$​MB=\frac {MD}{cos 30°}= 60\sqrt{6}​$
$​60\sqrt{6}÷20=3\sqrt{6}≈7.4(​$时)
答：渔船从​B​处到达小岛​M​的航行时间约为​7.4​时。

1. 如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC = θ(θ是锐角)，则△ABC的面积的最大值为().

A.cos θ(1 + cos θ)
B.cos θ(1 + sin θ)
C.sin θ(1 + sin θ)
D.sin θ(1 + cos θ)

D

2. 如图①，我国传统建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额. 如图②，线段BC是悬挂在墙壁AM上的某块匾额. 已知BC = 1 m，∠MBC = 37°. 从水平地面点D处看点C的仰角∠ADC = 45°，从点E处看点B的仰角∠AEB = 53°，且DE = 2.4 m. (参考数据：sin 37°≈$\frac{3}{5}$，cos 37°≈$\frac{4}{5}$，tan 37°≈$\frac{3}{4}$)
(1) 求点C到墙壁AM的距离；
(2) 求匾额悬挂的高度AB.

3. 如图，信号塔PQ坐落在坡度i为1 : 2的山坡上，其正前方直立着一警示牌. 当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为2$\sqrt{5}$ m，落在警示牌上的影子MN长为3 m，求信号塔PQ的高. (结果保留根号)

解：​ (1)​过点​C​作​CF⊥AM，​垂足为点​F​
∴​CF=sin∠FBC×BC≈0.6m​
答：点​C​到墙壁​AM​的距离为​0.6m。​
​(2)​过点​C​作​CG⊥AD，​垂足为点​G​
设​AB=xm​
由​(1)​知，​BF=cos 37°×BC≈0.8m​
∵​∠AEB= 53°​
∴​∠ABE=90°-53°= 37°​
∴$​AE= tan 37°×AB=\frac {3}{4}x​$
$​DG= AE+ DE- CF=\frac {3}{4}x+ 1.8​$
∵​∠ADC=45°​
∴​CG= DG​
∵​CG=AB+ BF​
∴$​x+0.8=\frac {3}{4}x+1.8​$
答：匾额悬挂高度​AB​为​4m。​