例2 如图，铁路上 $ A $，$ B $ 两地相距 $ 23 \mathrm{ km} $，$ C $，$ D $ 为两村庄，$ DA ⊥ AB $，$ CB ⊥ AB $. 已知 $ DA = 15 \mathrm{ km} $，$ CB = 8 \mathrm{ km} $，现在要在铁路 $ AB $ 上建一个土特产品收购站 $ E $，使得 $ C $，$ D $ 两村到 $ E $ 的距离相等.
(1) 收购站应建在离 $ A $ 地多少千米处？
(2) 判断三角形 $ DEC $ 的形状.

(1) 设 $ AE = x \, \mathrm{km} $，则 $ EB = (23 - x) \, \mathrm{km} $。
因为 $ DA ⊥ AB $，$ CB ⊥ AB $，所以 $ △ DAE $ 和 $ △ EBC $ 均为直角三角形。
由 $ DE = CE $，根据勾股定理得：
$ DA^2 + AE^2 = CB^2 + EB^2 $
即 $ 15^2 + x^2 = 8^2 + (23 - x)^2 $
展开得 $ 225 + x^2 = 64 + 529 - 46x + x^2 $
化简得 $ 225 = 593 - 46x $
解得 $ 46x = 368 $，$ x = 8 $。
故收购站应建在离 $ A $ 地 $ 8 \, \mathrm{km} $ 处。
(2) 由 (1) 知 $ AE = 8 \, \mathrm{km} $，$ EB = 15 \, \mathrm{km} $。
因为 $ DA = 15 \, \mathrm{km} $，$ CB = 8 \, \mathrm{km} $，且 $ ∠ DAE = ∠ EBC = 90° $，
所以 $ △ DAE ≌ △ EBC (\mathrm{SAS}) $，则 $ ∠ ADE = ∠ BEC $。
因为 $ ∠ ADE + ∠ AED = 90° $，所以 $ ∠ BEC + ∠ AED = 90° $，
故 $ ∠ DEC = 180° - 90° = 90° $。
又 $ DE = CE $，所以 $ △ DEC $ 是等腰直角三角形。
(1) $ 8 \, \mathrm{km} $
(2) 等腰直角三角形

变式训练 如图，每个小正方形的边长均为 $ 1 $，$ A $，$ B $，$ C $ 是小正方形的顶点，则 $ ∠ ABC $ 的度数为.

45°

连接AC，设每个小正方形边长为1。
由勾股定理得：
AC²=1²+2²=5，
BC²=2²+1²=5，
AB²=3²+1²=10。
∵AC²+BC²=5+5=10=AB²，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°。
又∵AC=BC=√5，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°。

1. 如图，在海军某次海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口 $ O $ 同时出发，$ 1 $ 号舰沿南偏东 $ 30^{\circ} $ 方向以 $ 12 $ 节($ 1 $ 节 $ = 1 $ 海里/时)的速度航行，$ 2 $ 号舰以 $ 16 $ 节的速度沿固定方向航行. 离开港口 $ 1.5 $ 小时后它们分别到达 $ A $，$ B $ 两点且相距 $ 30 $ 海里，则 $ 2 $ 号舰的航行方向可能是()


A.北偏西 $ 30^{\circ} $
B.南偏西 $ 30^{\circ} $
C.南偏东 $ 60^{\circ} $
D.南偏西 $ 60^{\circ} $

D

1号舰航行距离：$OA = 12×1.5 = 18$海里；2号舰航行距离：$OB = 16×1.5 = 24$海里。已知$AB = 30$海里，验证$18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900 = 30^2$，故$△ OAB$为直角三角形，$∠ AOB = 90°$。1号舰方向为南偏东$30°$，因$∠ AOB = 90°$，2号舰方向与1号舰垂直，即南偏西$60°$。

2. 如图，$ ∠ BAC = 90^{\circ} $，$ AB = 4 $，$ AC = 4 $，$ BD = 7 $，$ DC = 9 $，则 $ ∠ DBA = $.

$45^{\circ}$

在$Rt△ BAC$中，$∠ BAC = 90^{\circ}$，$AB = 4$，$AC = 4$，根据勾股定理$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$，可得$BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{4^{2}+4^{2}}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
在$△ BDC$中，$BD = 7$，$DC = 9$，$BC = 4\sqrt{2}$，计算$BD^{2}+BC^{2}=7^{2}+(4\sqrt{2})^{2}=49 + 32=81$，而$DC^{2}=9^{2}=81$，即$BD^{2}+BC^{2}=DC^{2}$，所以$△ BDC$是直角三角形，$∠ DBC = 90^{\circ}$。
因为$∠ DBC = 90^{\circ}$，$∠ BAC = 90^{\circ}$，所以$∠ DBA+∠ ABC = 90^{\circ}$，$∠ BCA+∠ ABC = 90^{\circ}$，那么$∠ DBA=∠ BCA$。
在$Rt△ BAC$中，$\tan∠ BCA=\frac{AB}{AC}=1$，所以$∠ BCA = 45^{\circ}$，故$∠ DBA = 45^{\circ}$。

3. 如图，三个村庄 $ A $，$ B $，$ C $ 之间的距离分别是 $ AB = 5 \mathrm{ km} $，$ BC = 12 \mathrm{ km} $，$ AC = 13 \mathrm{ km} $. 要从 $ B $ 修一条公路 $ BD $ 直达 $ AC $. 已知公路的造价为 $ 260 $ 万元/$ \mathrm{km} $，求修这条公路的最低造价.

1200万元

解：
1. 判断△ABC的形状
在△ABC中，$AB=5\ \mathrm{km}$，$BC=12\ \mathrm{km}$，$AC=13\ \mathrm{km}$。
因为$AB^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 = AC^2$，
所以△ABC是直角三角形，且$∠ ABC = 90°$。
2. 求BD的长度（BD⊥AC）
设$BD = h$，则$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × AC × h$。
代入数据：$\frac{1}{2} × 5 × 12 = \frac{1}{2} × 13 × h$，
解得$h = \frac{60}{13}\ \mathrm{km}$。
3. 计算最低造价
造价为$260$万元/km，
总造价$= 260 × \frac{60}{13} = 1200$万元。

4. 如图，某船以每小时 $ 36 $ 海里的速度向正东方向航行，在点 $ A $ 测得小岛 $ C $ 在北偏东 $ 60^{\circ} $ 方向上，航行半小时后到达点 $ B $，测得该岛在北偏东 $ 30^{\circ} $ 方向上，已知该岛周围 $ 16 $ 海里内有暗礁.

(1) 说明点 $ B $ 是否在暗礁区域内；
(2) 该船若继续向东航行，有无触礁危险？说明理由.

（1）由题意，船速36海里/小时，航行半小时，得$AB=36×0.5=18$海里。设$C$到$AB$（正东航线）的距离为$h$，在$Rt△ ACD$中，$∠ CAD=30°$，则$AD=\frac{h}{\tan30°}=\sqrt{3}h$；在$Rt△ BCD$中，$∠ CBD=60°$，则$BD=\frac{h}{\tan60°}=\frac{h}{\sqrt{3}}$。因为$AD-BD=AB$，即$\sqrt{3}h-\frac{h}{\sqrt{3}}=18$，解得$h=9\sqrt{3}\approx15.59$海里。
计算$BC$：在$Rt△ BCD$中，$BC=\frac{h}{\sin60°}=\frac{9\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=18$海里。因为$18＞16$，所以点$B$不在暗礁区域内。
（2）$C$到正东航线的距离$h=9\sqrt{3}\approx15.59＜16$，故该船继续向东航行有触礁危险。
（1）点B不在暗礁区域内；（2）有触礁危险。