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5. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ AB:BC:CD:DA = 2:2:3:1 $，且 $ ∠ ABC = 90^{\circ} $，则 $ ∠ DAB $ 的度数为()
A.$ 105^{\circ} $
B.$ 120^{\circ} $
C.$ 135^{\circ} $
D.$ 150^{\circ} $
A.$ 105^{\circ} $
B.$ 120^{\circ} $
C.$ 135^{\circ} $
D.$ 150^{\circ} $
答案
C
解析
设AB=2k，BC=2k，CD=3k，DA=k（k＞0）。
∵∠ABC=90°，AB=BC=2k，
∴AC²=AB²+BC²=(2k)²+(2k)²=8k²，AC=2√2 k。
在△ADC中，AD=k，AC=2√2 k，CD=3k，
∵AD²+AC²=k²+(2√2 k)²=k²+8k²=9k²=(3k)²=CD²，
∴△ADC是直角三角形，∠DAC=90°。
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠CAB=45°。
∴∠DAB=∠DAC+∠CAB=90°+45°=135°。
∵∠ABC=90°，AB=BC=2k，
∴AC²=AB²+BC²=(2k)²+(2k)²=8k²，AC=2√2 k。
在△ADC中，AD=k，AC=2√2 k，CD=3k，
∵AD²+AC²=k²+(2√2 k)²=k²+8k²=9k²=(3k)²=CD²，
∴△ADC是直角三角形，∠DAC=90°。
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠CAB=45°。
∴∠DAB=∠DAC+∠CAB=90°+45°=135°。
例1 如图，在长方形ABCD中，BC = 8，CD = 6，将长方形沿CE折叠，使点B恰好落在对角线AC上的点F处，则AE的长是()
A.3
B.$\dfrac{24}{5}$
C.$\dfrac{10}{3}$
D.$\dfrac{8}{3}$
A.3
B.$\dfrac{24}{5}$
C.$\dfrac{10}{3}$
D.$\dfrac{8}{3}$
答案
C
解析
在长方形ABCD中，AB=CD=6，BC=AD=8，∠B=90°。
由勾股定理得AC=√(AB²+BC²)=√(6²+8²)=10。
折叠后点B落在AC上的F处，故△BCE≌△FCE，
∴FC=BC=8，BE=FE，∠CFE=∠B=90°。
则AF=AC-FC=10-8=2。设AE=x，则BE=AB-AE=6-x，
∴FE=6-x。
在Rt△AFE中，AF²+FE²=AE²，即2²+(6-x)²=x²，解得x=10/3。
由勾股定理得AC=√(AB²+BC²)=√(6²+8²)=10。
折叠后点B落在AC上的F处，故△BCE≌△FCE，
∴FC=BC=8，BE=FE，∠CFE=∠B=90°。
则AF=AC-FC=10-8=2。设AE=x，则BE=AB-AE=6-x，
∴FE=6-x。
在Rt△AFE中，AF²+FE²=AE²，即2²+(6-x)²=x²，解得x=10/3。
巩固提升 (1) 如图这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”. 其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF，△BCG，△CDH，△DAE是四个全等的直角三角形. 若EF = 2，DE = 8，则AB的长为.
(1)题图
(2) 如图，在长方形ABCD中，AB = 8，BC = 12，点E为BC边的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在长方形内点F处，延长EF交AD于点H，则DH的长为.
(2)题图
(1)题图
(2) 如图，在长方形ABCD中，AB = 8，BC = 12，点E为BC边的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在长方形内点F处，延长EF交AD于点H，则DH的长为.
(2)题图
答案
10；11/3
解析
(1)设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b。由题意，小正方形边长EF=2，即a-b=2。DE为直角三角形的长直角边，DE=8，故a=8，所以b=a-2=6。AB为直角三角形斜边，由勾股定理得AB=√(a²+b²)=√(8²+6²)=10。
(2)在长方形ABCD中，AB=8，BC=12，E为BC中点，BE=6。折叠后AF=AB=8，EF=BE=6，∠AFE=90°。设DH=x，则AH=12-x。由AD//BC得∠DAE=∠AEB，折叠后∠AEB=∠AEF，故∠DAE=∠AEF，所以AH=EH=12-x。则FH=EH-EF=12-x-6=6-x。在Rt△AFH中，AF²+FH²=AH²，即8²+(6-x)²=(12-x)²，解得x=11/3。
(2)在长方形ABCD中，AB=8，BC=12，E为BC中点，BE=6。折叠后AF=AB=8，EF=BE=6，∠AFE=90°。设DH=x，则AH=12-x。由AD//BC得∠DAE=∠AEB，折叠后∠AEB=∠AEF，故∠DAE=∠AEF，所以AH=EH=12-x。则FH=EH-EF=12-x-6=6-x。在Rt△AFH中，AF²+FH²=AH²，即8²+(6-x)²=(12-x)²，解得x=11/3。
例2 定义：我们把对角线互相垂直的四边形称为垂美四边形.
性质：垂美四边形对边的平方和相等，即$AB^{2}+CD^{2}=BC^{2}+AD^{2}$. 请结合图形证明这个结论.
性质：垂美四边形对边的平方和相等，即$AB^{2}+CD^{2}=BC^{2}+AD^{2}$. 请结合图形证明这个结论.
答案
证明：
∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，垂足为O，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°。
在Rt△AOB中，$AB^2=AO^2+BO^2$；
在Rt△COD中，$CD^2=CO^2+DO^2$；
在Rt△BOC中，$BC^2=BO^2+CO^2$；
在Rt△AOD中，$AD^2=AO^2+DO^2$。
∴$AB^2+CD^2=(AO^2+BO^2)+(CO^2+DO^2)$，
$BC^2+AD^2=(BO^2+CO^2)+(AO^2+DO^2)$。
∴$AB^2+CD^2=BC^2+AD^2$。
∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，垂足为O，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°。
在Rt△AOB中，$AB^2=AO^2+BO^2$；
在Rt△COD中，$CD^2=CO^2+DO^2$；
在Rt△BOC中，$BC^2=BO^2+CO^2$；
在Rt△AOD中，$AD^2=AO^2+DO^2$。
∴$AB^2+CD^2=(AO^2+BO^2)+(CO^2+DO^2)$，
$BC^2+AD^2=(BO^2+CO^2)+(AO^2+DO^2)$。
∴$AB^2+CD^2=BC^2+AD^2$。
巩固提升 如图，在Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90°，D为BC上一点，E为△ABC外一点，AE = AD，且EB⊥BC，AE⊥AD. 求证：$CD^{2}+BD^{2}=2AD^{2}$.
答案
证明：
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=∠ACB=45°．
∵EB⊥BC，∴∠EBC=90°，
∴∠ABE=∠EBC - ∠ABC=90° - 45°=45°，即∠ABE=∠ACD．
∵AE⊥AD，∠BAC=90°，
∴∠EAD=∠BAC=90°，
∴∠EAB + ∠BAD=∠CAD + ∠BAD=90°，
∴∠EAB=∠CAD．
在△ABE和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}∠EAB=∠CAD\\∠ABE=∠ACD\\AE=AD\end{array} $，
∴△ABE≌△ACD（AAS），∴EB=CD．
∵EB⊥BC，∴△EBD是直角三角形，
由勾股定理得：ED²=EB² + BD²．
∵EB=CD，∴ED²=CD² + BD²．
∵AE=AD，∠EAD=90°，
∴△EAD是等腰直角三角形，
由勾股定理得：ED²=AE² + AD²=AD² + AD²=2AD²．
∴CD² + BD²=2AD²．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=∠ACB=45°．
∵EB⊥BC，∴∠EBC=90°，
∴∠ABE=∠EBC - ∠ABC=90° - 45°=45°，即∠ABE=∠ACD．
∵AE⊥AD，∠BAC=90°，
∴∠EAD=∠BAC=90°，
∴∠EAB + ∠BAD=∠CAD + ∠BAD=90°，
∴∠EAB=∠CAD．
在△ABE和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}∠EAB=∠CAD\\∠ABE=∠ACD\\AE=AD\end{array} $，
∴△ABE≌△ACD（AAS），∴EB=CD．
∵EB⊥BC，∴△EBD是直角三角形，
由勾股定理得：ED²=EB² + BD²．
∵EB=CD，∴ED²=CD² + BD²．
∵AE=AD，∠EAD=90°，
∴△EAD是等腰直角三角形，
由勾股定理得：ED²=AE² + AD²=AD² + AD²=2AD²．
∴CD² + BD²=2AD²．
