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1. $ 103^2 = (100 + $
3
$)^2 = 100^2 + 2 × 100 × $3
$ + ( )^2 = $10609
$ $.答案
1. 3 3 3 10609
解析
【解析】
本题利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$进行计算，将103拆分为100+3，代入公式可得：$103^2=(100+3)^2=100^2+2×100×3+3^2=10000+600+9=10609$。
【答案】
3 3 3 10609
【知识点】
完全平方和公式
【点评】
本题考查完全平方公式的直接应用，属于基础题，掌握完全平方公式的结构是解题关键。
【难度系数】
0.9
本题利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$进行计算，将103拆分为100+3，代入公式可得：$103^2=(100+3)^2=100^2+2×100×3+3^2=10000+600+9=10609$。
【答案】
3 3 3 10609
【知识点】
完全平方和公式
【点评】
本题考查完全平方公式的直接应用，属于基础题，掌握完全平方公式的结构是解题关键。
【难度系数】
0.9
2. 当 $ m + n = 3 $ 时，式子 $ m^2 + 2mn + n^2 $ 的值为 $$
9
$$.答案
2. 9
解析
【解析】
先利用完全平方公式对式子变形：$m^2 + 2mn + n^2=(m+n)^2$，
已知$m + n = 3$，将其代入得：$(m+n)^2=3^2=9$。
【答案】
9
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题考查完全平方公式的逆用，通过整体代入法求值，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
先利用完全平方公式对式子变形：$m^2 + 2mn + n^2=(m+n)^2$，
已知$m + n = 3$，将其代入得：$(m+n)^2=3^2=9$。
【答案】
9
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题考查完全平方公式的逆用，通过整体代入法求值，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
3. 若等式 $ x^2 - x + k = (x - \frac{1}{2})^2 $ 成立，则 $ k $ 的值是 $\_\_\_\_\_\_$.
答案
3. $\frac{1}{4}$
解析
【解析】
将等式右边利用完全平方公式展开：
$(x - \frac{1}{2})^2 = x^2 - 2× x×\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = x^2 - x + \frac{1}{4}$
因为$x^2 - x + k = x^2 - x + \frac{1}{4}$，根据多项式相等的条件，对应项系数相等，可得$k = \frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
完全平方公式、多项式相等条件
【点评】
本题主要考查完全平方公式的应用及多项式相等的条件，通过展开等式右侧多项式，对比对应项系数即可求出k的值，属于基础运算题。
【难度系数】
0.9
将等式右边利用完全平方公式展开：
$(x - \frac{1}{2})^2 = x^2 - 2× x×\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = x^2 - x + \frac{1}{4}$
因为$x^2 - x + k = x^2 - x + \frac{1}{4}$，根据多项式相等的条件，对应项系数相等，可得$k = \frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
完全平方公式、多项式相等条件
【点评】
本题主要考查完全平方公式的应用及多项式相等的条件，通过展开等式右侧多项式，对比对应项系数即可求出k的值，属于基础运算题。
【难度系数】
0.9
4. 若 $ x^2 + mxy + y^2 $ 是一个完全平方式，则 $ m = $(
A.$ 2 $
B.$ 1 $
C.$ \pm 1 $
D.$ \pm 2 $
D
)A.$ 2 $
B.$ 1 $
C.$ \pm 1 $
D.$ \pm 2 $
答案
4. D
解析
【解析】
根据完全平方式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，将$x^2 + mxy + y^2$与该形式对比，可得$a=x$，$b=y$，则中间项$mxy=\pm2xy$，因此$m=\pm2$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方式的结构
【点评】
本题考查完全平方式的特征，解题关键是牢记完全平方式的两种形式，避免遗漏负号情况。
【难度系数】
0.8
根据完全平方式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，将$x^2 + mxy + y^2$与该形式对比，可得$a=x$，$b=y$，则中间项$mxy=\pm2xy$，因此$m=\pm2$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方式的结构
【点评】
本题考查完全平方式的特征，解题关键是牢记完全平方式的两种形式，避免遗漏负号情况。
【难度系数】
0.8
5. 下列多项式能用完全平方公式分解因式的是(
A.$ 1 + 4a^2 $
B.$ a^2 + ab + b^2 $
C.$ a^2 - 4a + 4 $
D.$ 4b^2 + 4b - 1 $
C
)A.$ 1 + 4a^2 $
B.$ a^2 + ab + b^2 $
C.$ a^2 - 4a + 4 $
D.$ 4b^2 + 4b - 1 $
答案
5. C
解析
【解析】
完全平方公式的结构特征为：多项式为三项式，其中两项是可写成平方形式的非负项且符号相同，第三项是这两项底数乘积的2倍（或-2倍）。
选项A：$1 + 4a^2$是两项式，不符合完全平方公式的三项式要求，无法用完全平方公式分解因式；
选项B：$a^2 + ab + b^2$中，中间项$ab$不是$a$与$b$乘积的2倍，不满足完全平方公式的结构特征，不能用其分解因式；
选项C：$a^2 - 4a + 4 = a^2 - 2× a×2 + 2^2$，符合完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$的结构，可分解为$(a-2)^2$；
选项D：$4b^2 + 4b - 1$中，$-1$为负项，不满足平方项符号相同的要求，不能用完全平方公式分解因式。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式分解因式
【点评】
本题考查完全平方公式的结构特征，解题关键是准确识别完全平方公式的三项式结构、平方项的符号及中间项的系数特点，通过逐一分析选项进行判断。
【难度系数】
0.8
完全平方公式的结构特征为：多项式为三项式，其中两项是可写成平方形式的非负项且符号相同，第三项是这两项底数乘积的2倍（或-2倍）。
选项A：$1 + 4a^2$是两项式，不符合完全平方公式的三项式要求，无法用完全平方公式分解因式；
选项B：$a^2 + ab + b^2$中，中间项$ab$不是$a$与$b$乘积的2倍，不满足完全平方公式的结构特征，不能用其分解因式；
选项C：$a^2 - 4a + 4 = a^2 - 2× a×2 + 2^2$，符合完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$的结构，可分解为$(a-2)^2$；
选项D：$4b^2 + 4b - 1$中，$-1$为负项，不满足平方项符号相同的要求，不能用完全平方公式分解因式。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式分解因式
【点评】
本题考查完全平方公式的结构特征，解题关键是准确识别完全平方公式的三项式结构、平方项的符号及中间项的系数特点，通过逐一分析选项进行判断。
【难度系数】
0.8
6. 分解因式：
(1) $ x^2 + 14x + 49 $.
(2) $ 81 - 18a + a^2 $.
(1) $ x^2 + 14x + 49 $.
(2) $ 81 - 18a + a^2 $.
答案
6. (1) $(x + 7)^2$ (2) $(9 - a)^2$
解析
【解析】
本题可利用完全平方公式的逆用进行因式分解，完全平方公式为：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$。
(1) 对于$x^2 + 14x + 49$，其中$x^2=x^2$，$49=7^2$，$14x=2· x·7$，符合$a^2+2ab+b^2$的形式，因此：
$x^2 + 14x + 49=(x+7)^2$；
(2) 对于$81 - 18a + a^2$，可变形为$a^2-18a+81$，其中$a^2=a^2$，$81=9^2$，$18a=2· a·9$，符合$a^2-2ab+b^2$的形式，因此：
$81 - 18a + a^2=(9-a)^2$。
【答案】
(1) $(x + 7)^2$；(2) $(9 - a)^2$
【知识点】
因式分解-完全平方公式
【点评】
本题主要考查完全平方公式在因式分解中的应用，解题关键是准确识别完全平方式的结构特征，熟练掌握完全平方公式的形式。
【难度系数】
0.8
本题可利用完全平方公式的逆用进行因式分解，完全平方公式为：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$。
(1) 对于$x^2 + 14x + 49$，其中$x^2=x^2$，$49=7^2$，$14x=2· x·7$，符合$a^2+2ab+b^2$的形式，因此：
$x^2 + 14x + 49=(x+7)^2$；
(2) 对于$81 - 18a + a^2$，可变形为$a^2-18a+81$，其中$a^2=a^2$，$81=9^2$，$18a=2· a·9$，符合$a^2-2ab+b^2$的形式，因此：
$81 - 18a + a^2=(9-a)^2$。
【答案】
(1) $(x + 7)^2$；(2) $(9 - a)^2$
【知识点】
因式分解-完全平方公式
【点评】
本题主要考查完全平方公式在因式分解中的应用，解题关键是准确识别完全平方式的结构特征，熟练掌握完全平方公式的形式。
【难度系数】
0.8
7. 填入适当的整式.
(1) $ 9a^2 - $$ + b^2 = ($$ - b)^2 $.
(2) $ x^4 + 4x^2 + ( ) = ( )^2 $.
(3) $ p^2 - 3p + ( ) = (p - $$)^2 $.
(4) $ (a - b)^2 - 2(a - b) + 1 = ($$ - 1)^2 $.
(1) $ 9a^2 - $$ + b^2 = ($$ - b)^2 $.
(2) $ x^4 + 4x^2 + ( ) = ( )^2 $.
(3) $ p^2 - 3p + ( ) = (p - $$)^2 $.
(4) $ (a - b)^2 - 2(a - b) + 1 = ($$ - 1)^2 $.
答案
7. (1) $6ab$ $3a$
(2) $4$ $x^2 + 2$
(3) $\frac{9}{4}$ $\frac{3}{2}$ (4) $a - b$
(2) $4$ $x^2 + 2$
(3) $\frac{9}{4}$ $\frac{3}{2}$ (4) $a - b$
解析
【解析】
本题考查完全平方公式的应用，完全平方公式为：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，根据公式结构特征推导各空：
(1) 对比$(m - b)^2=m^2-2mb+b^2$与$9a^2 - \_\_\_\_\_\_ + b^2$，可得$m^2=9a^2$，即$m=3a$，中间项为$2×3a×b=6ab$，故依次填$6ab$、$3a$；
(2) $x^4=(x^2)^2$，$4x^2=2×x^2×2$，根据完全平方公式，缺少的项为$2^2=4$，右边为$(x^2 + 2)^2$，故依次填$4$、$x^2 + 2$；
(3) 由$-3p=-2×p×\frac{3}{2}$，可知常数项为$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，右边括号内填$\frac{3}{2}$，故依次填$\frac{9}{4}$、$\frac{3}{2}$；
(4) 将$(a - b)$看作整体，设$m=a - b$，原式可化为$m^2 - 2m + 1=(m - 1)^2$，故括号内填$a - b$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6ab}$，$\boldsymbol{3a}$
(2) $\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{x^2 + 2}$
(3) $\boldsymbol{\frac{9}{4}}$，$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$
(4) $\boldsymbol{a - b}$
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题以填空形式考查完全平方公式的灵活运用，需熟练掌握完全平方公式的结构特征，通过对比公式展开式确定所缺整式，属于基础巩固题型，有助于强化对公式的理解与应用。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的应用，完全平方公式为：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，根据公式结构特征推导各空：
(1) 对比$(m - b)^2=m^2-2mb+b^2$与$9a^2 - \_\_\_\_\_\_ + b^2$，可得$m^2=9a^2$，即$m=3a$，中间项为$2×3a×b=6ab$，故依次填$6ab$、$3a$；
(2) $x^4=(x^2)^2$，$4x^2=2×x^2×2$，根据完全平方公式，缺少的项为$2^2=4$，右边为$(x^2 + 2)^2$，故依次填$4$、$x^2 + 2$；
(3) 由$-3p=-2×p×\frac{3}{2}$，可知常数项为$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，右边括号内填$\frac{3}{2}$，故依次填$\frac{9}{4}$、$\frac{3}{2}$；
(4) 将$(a - b)$看作整体，设$m=a - b$，原式可化为$m^2 - 2m + 1=(m - 1)^2$，故括号内填$a - b$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6ab}$，$\boldsymbol{3a}$
(2) $\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{x^2 + 2}$
(3) $\boldsymbol{\frac{9}{4}}$，$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$
(4) $\boldsymbol{a - b}$
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题以填空形式考查完全平方公式的灵活运用，需熟练掌握完全平方公式的结构特征，通过对比公式展开式确定所缺整式，属于基础巩固题型，有助于强化对公式的理解与应用。
【难度系数】
0.8
8. 多项式 $ a^3c - 4a^2bc + 4ab^2c $ 因式分解的结果是 $$
$ac(a - 2b)^2$
$$.答案
8. $ac(a - 2b)^2$
解析
【解析】
先提取公因式$ac$，可得：
$a^3c - 4a^2bc + 4ab^2c = ac(a^2 - 4ab + 4b^2)$
再对括号内的式子利用完全平方公式因式分解，$a^2 - 4ab + 4b^2=(a - 2b)^2$，因此最终结果为：
$ac(a - 2b)^2$
【答案】
$ac(a - 2b)^2$
【知识点】
提取公因式法，完全平方公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解的综合运用，需先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解，属于基础题型，熟练掌握因式分解的方法是解题关键。
【难度系数】
0.8
先提取公因式$ac$，可得：
$a^3c - 4a^2bc + 4ab^2c = ac(a^2 - 4ab + 4b^2)$
再对括号内的式子利用完全平方公式因式分解，$a^2 - 4ab + 4b^2=(a - 2b)^2$，因此最终结果为：
$ac(a - 2b)^2$
【答案】
$ac(a - 2b)^2$
【知识点】
提取公因式法，完全平方公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解的综合运用，需先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解，属于基础题型，熟练掌握因式分解的方法是解题关键。
【难度系数】
0.8
9. 多项式 $ 9x^2 + 1 $ 加上一个单项式后，使它能成为一个多项式的完全平方，那么加上的单项式可以是 $$
6x
$$.(填上一个你认为正确的即可)答案
9. $6x$（答案不唯一）
解析
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，对于多项式$9x^2 + 1$，其中$9x^2=(3x)^2$，$1=1^2$，若将其构造成完全平方，可添加中间项$\pm2×3x×1=\pm6x$；此外也可添加$-9x^2$、$-1$或$\frac{81}{4}x^4$等，任选其一即可。
【答案】
$6x$（答案不唯一）
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活应用，需全面考虑多种构造完全平方的情况，培养思维的严谨性与灵活性。
【难度系数】
0.6
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，对于多项式$9x^2 + 1$，其中$9x^2=(3x)^2$，$1=1^2$，若将其构造成完全平方，可添加中间项$\pm2×3x×1=\pm6x$；此外也可添加$-9x^2$、$-1$或$\frac{81}{4}x^4$等，任选其一即可。
【答案】
$6x$（答案不唯一）
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活应用，需全面考虑多种构造完全平方的情况，培养思维的严谨性与灵活性。
【难度系数】
0.6
