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10. 若 $ a^2 + b^2 - 2a + 4b + 5 = 0 $，则 $ 2a + b = $
0
$ $.答案
10. 0
解析
【解析】
对等式左边进行配方：
$\begin{aligned}a^2 + b^2 - 2a + 4b + 5&=0\\(a^2 - 2a + 1) + (b^2 + 4b + 4)&=0\\(a - 1)^2 + (b + 2)^2&=0\end{aligned}$
由于平方数具有非负性，即$(a - 1)^2≥0$，$(b + 2)^2≥0$，要使两个非负数的和为0，需满足：
$\begin{cases}a - 1 = 0\\b + 2 = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 1\\b = -2\end{cases}$
将$a=1$，$b=-2$代入$2a + b$得：
$2×1 + (-2)=0$
【答案】
0
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质
【点评】
本题考查配方法与非负数性质的综合运用，通过配方将原式转化为两个非负数的和为0的形式，进而求出字母的值，代入计算即可得到结果，解题关键是熟练掌握配方法步骤和非负数的性质。
【难度系数】
0.6
对等式左边进行配方：
$\begin{aligned}a^2 + b^2 - 2a + 4b + 5&=0\\(a^2 - 2a + 1) + (b^2 + 4b + 4)&=0\\(a - 1)^2 + (b + 2)^2&=0\end{aligned}$
由于平方数具有非负性，即$(a - 1)^2≥0$，$(b + 2)^2≥0$，要使两个非负数的和为0，需满足：
$\begin{cases}a - 1 = 0\\b + 2 = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 1\\b = -2\end{cases}$
将$a=1$，$b=-2$代入$2a + b$得：
$2×1 + (-2)=0$
【答案】
0
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质
【点评】
本题考查配方法与非负数性质的综合运用，通过配方将原式转化为两个非负数的和为0的形式，进而求出字母的值，代入计算即可得到结果，解题关键是熟练掌握配方法步骤和非负数的性质。
【难度系数】
0.6
11. 下列多项式：①$ x^2 + 2xy + 4y^2 $；②$ a^2 - 2a + 3 $；③$ \frac{1}{4}x^2 - xy + y^2 $；④$ m^2 - (-n)^2 $. 其中可以进行因式分解的个数有(
A.$ 1 $个
B.$ 2 $个
C.$ 3 $个
D.$ 4 $个
B
)A.$ 1 $个
B.$ 2 $个
C.$ 3 $个
D.$ 4 $个
答案
11. B
解析
【解析】
逐个分析各多项式：
①$x^2 + 2xy + 4y^2$，判别式$\Delta=(2y)^2 - 4×1×4y^2=-12y^2＜0$，无法因式分解；
②$a^2 - 2a + 3$，判别式$\Delta=(-2)^2 - 4×1×3=-8＜0$，无法因式分解；
③$\frac{1}{4}x^2 - xy + y^2=(\frac{1}{2}x - y)^2$，符合完全平方公式，可因式分解；
④$m^2 - (-n)^2=m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$，符合平方差公式，可因式分解。
综上，可因式分解的有2个。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式因式分解、平方差公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解的判断，需熟练掌握完全平方公式和平方差公式的特征，同时可通过判别式辅助判断二次三项式在实数范围内能否因式分解。
【难度系数】
0.6
逐个分析各多项式：
①$x^2 + 2xy + 4y^2$，判别式$\Delta=(2y)^2 - 4×1×4y^2=-12y^2＜0$，无法因式分解；
②$a^2 - 2a + 3$，判别式$\Delta=(-2)^2 - 4×1×3=-8＜0$，无法因式分解；
③$\frac{1}{4}x^2 - xy + y^2=(\frac{1}{2}x - y)^2$，符合完全平方公式，可因式分解；
④$m^2 - (-n)^2=m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$，符合平方差公式，可因式分解。
综上，可因式分解的有2个。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式因式分解、平方差公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解的判断，需熟练掌握完全平方公式和平方差公式的特征，同时可通过判别式辅助判断二次三项式在实数范围内能否因式分解。
【难度系数】
0.6
12. 利用因式分解计算下列各题：
(1) $ 97^2 + 97 × 6 + 3^2 $.
(2) $ 107^2 - 107 × 14 + 49 $.
(1) $ 97^2 + 97 × 6 + 3^2 $.
(2) $ 107^2 - 107 × 14 + 49 $.
答案
12. (1) 10000 (2) 10000
解析
【解析】
(1) 利用完全平方公式因式分解计算：
$97^2 + 97 × 6 + 3^2 = 97^2 + 2×97×3 + 3^2 = (97+3)^2 = 100^2 = 10000$
(2) 利用完全平方公式因式分解计算：
$107^2 - 107 × 14 + 49 = 107^2 - 2×107×7 + 7^2 = (107-7)^2 = 100^2 = 10000$
【答案】
(1) $\boxed{10000}$；(2) $\boxed{10000}$
【知识点】
完全平方公式因式分解
【点评】
本题考查完全平方公式在简便计算中的应用，需准确识别式子的完全平方结构，通过因式分解简化运算过程，提升计算效率。
【难度系数】
0.7
(1) 利用完全平方公式因式分解计算：
$97^2 + 97 × 6 + 3^2 = 97^2 + 2×97×3 + 3^2 = (97+3)^2 = 100^2 = 10000$
(2) 利用完全平方公式因式分解计算：
$107^2 - 107 × 14 + 49 = 107^2 - 2×107×7 + 7^2 = (107-7)^2 = 100^2 = 10000$
【答案】
(1) $\boxed{10000}$；(2) $\boxed{10000}$
【知识点】
完全平方公式因式分解
【点评】
本题考查完全平方公式在简便计算中的应用，需准确识别式子的完全平方结构，通过因式分解简化运算过程，提升计算效率。
【难度系数】
0.7
13. 分解因式：
(1) $ ab^4 - 4ab^3 + 4ab^2 $.
(2) $ -2x^2y + 12xy - 18y $.
(3) $ (a + b)^3 - (a + b) $.
(4) $ 25(m - n)^2 - 9(m + n)^2 $.
(5) $ (x^2 + y^2)^2 - 4x^2y^2 $.
(6) $ (x^2 + 2x)^2 + 2(x^2 + 2x) + 1 $.
(1) $ ab^4 - 4ab^3 + 4ab^2 $.
(2) $ -2x^2y + 12xy - 18y $.
(3) $ (a + b)^3 - (a + b) $.
(4) $ 25(m - n)^2 - 9(m + n)^2 $.
(5) $ (x^2 + y^2)^2 - 4x^2y^2 $.
(6) $ (x^2 + 2x)^2 + 2(x^2 + 2x) + 1 $.
答案
13. (1) $ab^2(b - 2)^2$
(2) $-2y(x - 3)^2$
(3) $(a + b)(a + b + 1)(a + b - 1)$
(4) $4(4m - n)(m - 4n)$
(5) $(x - y)^2(x + y)^2$
(6) $(x + 1)^4$
(2) $-2y(x - 3)^2$
(3) $(a + b)(a + b + 1)(a + b - 1)$
(4) $4(4m - n)(m - 4n)$
(5) $(x - y)^2(x + y)^2$
(6) $(x + 1)^4$
解析
【解析】
(1) 原式$=ab^2(b^2 - 4b + 4)=ab^2(b - 2)^2$；
(2) 原式$=-2y(x^2 - 6x + 9)=-2y(x - 3)^2$；
(3) 原式$=(a + b)[(a + b)^2 - 1]=(a + b)(a + b + 1)(a + b - 1)$；
(4) 原式$=[5(m - n) - 3(m + n)][5(m - n) + 3(m + n)]=(2m - 8n)(8m - 2n)=4(4m - n)(m - 4n)$；
(5) 原式$=(x^2 + y^2 - 2xy)(x^2 + y^2 + 2xy)=(x - y)^2(x + y)^2$；
(6) 原式$=(x^2 + 2x + 1)^2=(x + 1)^4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{ab^2(b - 2)^2}$；
(2) $\boldsymbol{-2y(x - 3)^2}$；
(3) $\boldsymbol{(a + b)(a + b + 1)(a + b - 1)}$；
(4) $\boldsymbol{4(4m - n)(m - 4n)}$；
(5) $\boldsymbol{(x - y)^2(x + y)^2}$；
(6) $\boldsymbol{(x + 1)^4}$
【知识点】
提公因式法，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题综合考查因式分解的基本方法，需熟练掌握提公因式法与公式法的综合运用，注意因式分解要进行到每一个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
(1) 原式$=ab^2(b^2 - 4b + 4)=ab^2(b - 2)^2$；
(2) 原式$=-2y(x^2 - 6x + 9)=-2y(x - 3)^2$；
(3) 原式$=(a + b)[(a + b)^2 - 1]=(a + b)(a + b + 1)(a + b - 1)$；
(4) 原式$=[5(m - n) - 3(m + n)][5(m - n) + 3(m + n)]=(2m - 8n)(8m - 2n)=4(4m - n)(m - 4n)$；
(5) 原式$=(x^2 + y^2 - 2xy)(x^2 + y^2 + 2xy)=(x - y)^2(x + y)^2$；
(6) 原式$=(x^2 + 2x + 1)^2=(x + 1)^4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{ab^2(b - 2)^2}$；
(2) $\boldsymbol{-2y(x - 3)^2}$；
(3) $\boldsymbol{(a + b)(a + b + 1)(a + b - 1)}$；
(4) $\boldsymbol{4(4m - n)(m - 4n)}$；
(5) $\boldsymbol{(x - y)^2(x + y)^2}$；
(6) $\boldsymbol{(x + 1)^4}$
【知识点】
提公因式法，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题综合考查因式分解的基本方法，需熟练掌握提公因式法与公式法的综合运用，注意因式分解要进行到每一个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
