14. 计算下列各题：
(1) 已知 $ b - a = -3 $，$ ab = -2 $，求 $ -\frac{1}{2}a^3b + a^2b^2 - \frac{1}{2}ab^3 $ 的值.
(2) 已知 $ x^2 + y^2 - 2x + 6y + 10 = 0 $，求 $ x + y $ 的值.

14. (1) 9 (2) -2

【解析】
(1) 先对代数式因式分解：
$-\frac{1}{2}a^3b + a^2b^2 - \frac{1}{2}ab^3 = -\frac{1}{2}ab(a^2 - 2ab + b^2) = -\frac{1}{2}ab(a - b)^2$
已知 $b - a = -3$，则 $a - b = 3$，将 $ab = -2$，$a - b = 3$ 代入：
原式 $= -\frac{1}{2}×(-2)×3^2 = 1×9 = 9$
(2) 对等式进行配方：
$x^2 + y^2 - 2x + 6y + 10 = 0$
整理为 $(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 6y + 9) = 0$
即 $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 0$
因为平方数非负，所以 $\begin{cases}x - 1 = 0 \\ y + 3 = 0\end{cases}$，解得 $\begin{cases}x = 1 \\ y = -3\end{cases}$
则 $x + y = 1 + (-3) = -2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{9}$；(2) $\boldsymbol{-2}$
【知识点】
1. 因式分解的应用
2. 配方法的应用
3. 非负数的性质
【点评】
本题考查因式分解、配方法与非负数性质的综合运用，通过代数式变形或等式配方将已知条件转化为可直接代入的形式，需熟练掌握完全平方公式的逆用及非负数的性质。
【难度系数】
0.6

15. 下面是某同学对多项式 $ (x^2 - 4x - 3)(x^2 - 4x + 1) + 4 $ 进行因式分解的过程.
解：设 $ x^2 - 4x = y $.
原式 $ = (y - 3)(y + 1) + 4 $(第一步)
$ = y^2 - 2y + 1 $(第二步)
$ = (y - 1)^2 $(第三步)
$ = (x^2 - 4x - 1)^2 $.(第四步)
回答下列问题：
(1) 该同学第二步到第三步运用了因式分解的 $$$$；(填序号)
A. 提取公因式法
B. 平方差公式法
C. 完全平方公式法
(2) 请你模仿以上方法尝试对多项式 $ (x^2 + 2x)(x^2 + 2x + 2) + 1 $ 进行因式分解.

15. (1) C (2) $(x + 1)^4$

【解析】
(1) 第二步得到$y^2 - 2y + 1$，第三步变形为$(y - 1)^2$，符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的形式，故运用了完全平方公式法，选C。
(2) 设$x^2 + 2x = y$，
原式$= y(y + 2) + 1$
$= y^2 + 2y + 1$
$= (y + 1)^2$
$= (x^2 + 2x + 1)^2$
$= [(x + 1)^2]^2$
$= (x + 1)^4$
【答案】
(1) C；(2) $\boldsymbol{(x + 1)^4}$
【知识点】
换元法因式分解、完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的方法，通过换元法将复杂多项式转化为简单多项式，再利用完全平方公式进行因式分解，体现了整体思想的应用，需熟练掌握因式分解的常用方法及公式。
【难度系数】
0.6