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25. (本小题 13 分)已知四边形$ABCD$是正方形,$E$是射线$DC$上一点,连接$AE$,点$D$关于直线$AE$的对称点为$M$,射线$AM$与直线$BC$相交于点$G$.
(1) 若点$M$在对角线$AC$上,则$∠ DAE$的度数为;
(2) 如图,若$E$是$CD$的中点,试用等式表示线段$AG$,$AD$,$CG$之间的数量关系,并给出证明;
(3) 若点$E$在边$DC$的延长线上,$AD = 4$,$BG = 3$,求$DE$的长.
(1) 若点$M$在对角线$AC$上,则$∠ DAE$的度数为;
(2) 如图,若$E$是$CD$的中点,试用等式表示线段$AG$,$AD$,$CG$之间的数量关系,并给出证明;
(3) 若点$E$在边$DC$的延长线上,$AD = 4$,$BG = 3$,求$DE$的长.
答案
(1) 22.5°
(2) AG=AD+CG. 证明：连接EM. ∵点D关于AE对称，∴AD=AM，DE=EM，∠ADE=∠AME=90°. ∵E是CD中点，∴DE=EC，∴EM=EC. 在Rt△EMG和Rt△ECG中，EM=EC，EG=EG，∴△EMG≌△ECG(HL)，∴MG=CG. ∵AG=AM+MG，AM=AD，∴AG=AD+CG.
(3) 8. 解析：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建系，A(0,0),B(4,0),C(4,4),D(0,4). 设E(e,4)(e＞4)，则DE=e. 求D(0,4)关于AE对称点M，得M(32e/(e²+16),4(16-e²)/(e²+16)). 射线AM方程为y=[(16-e²)/(8e)]x，与BC(x=4)交于G(4,(16-e²)/(2e)). ∵BG=3，|(16-e²)/(2e)|=3，e＞4，解得e=8，即DE=8.
(2) AG=AD+CG. 证明：连接EM. ∵点D关于AE对称，∴AD=AM，DE=EM，∠ADE=∠AME=90°. ∵E是CD中点，∴DE=EC，∴EM=EC. 在Rt△EMG和Rt△ECG中，EM=EC，EG=EG，∴△EMG≌△ECG(HL)，∴MG=CG. ∵AG=AM+MG，AM=AD，∴AG=AD+CG.
(3) 8. 解析：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建系，A(0,0),B(4,0),C(4,4),D(0,4). 设E(e,4)(e＞4)，则DE=e. 求D(0,4)关于AE对称点M，得M(32e/(e²+16),4(16-e²)/(e²+16)). 射线AM方程为y=[(16-e²)/(8e)]x，与BC(x=4)交于G(4,(16-e²)/(2e)). ∵BG=3，|(16-e²)/(2e)|=3，e＞4，解得e=8，即DE=8.
