4. 已知线段$CD$是由线段$AB$平移得到的，点$A(-1,4)$的对应点是$C(4,7)$，则点$B(-4,-1)$的对应点$D$的坐标是()

A.$(1,2)$
B.$(2,9)$
C.$(5,3)$
D.$(-9,-4)$

A

由点A(-1,4)平移到C(4,7)，横坐标变化为4 - (-1) = 5，纵坐标变化为7 - 4 = 3，即平移规律为向右平移5个单位，向上平移3个单位。则点B(-4,-1)的对应点D的坐标为(-4 + 5, -1 + 3) = (1,2)。

二、填空题
5. 若点$P(a - 3,a + 2)$向右平移2个单位长度正好落在$y$轴上，则$a$的值是。

1

点$P(a - 3,a + 2)$向右平移2个单位长度，根据平移规律，横坐标加2，纵坐标不变，得到新点的坐标为$(a - 3 + 2, a + 2) = (a - 1, a + 2)$。
因为平移后的点落在$y$轴上，而$y$轴上的点横坐标为0，所以$a - 1 = 0$，解得$a = 1$。
1

6. 将点$A(3,-5)$先向左平移$m$个单位长度，再向上平移$n$个单位长度，得到点$A'(-2,1)$，则$m$的值为，$n$的值为。

5；6
解析：点左右平移时，横坐标变化，向左平移横坐标减小，向右平移横坐标增大；点上下平移时，纵坐标变化，向上平移纵坐标增大，向下平移纵坐标减小。
点$A(3,-5)$向左平移$m$个单位长度，横坐标变为$3 - m$；再向上平移$n$个单位长度，纵坐标变为$-5 + n$，得到点$A'(-2,1)$。
所以可得方程组：
$\begin{cases}3 - m = -2 \\ -5 + n = 1\end{cases}$
解第一个方程：$3 - m = -2$，$m = 3 + 2 = 5$
解第二个方程：$-5 + n = 1$，$n = 1 + 5 = 6$
故$m$的值为$5$，$n$的值为$6$。

7. 如图，点$A$，$B$的坐标分别为$(2,0)$，$(0,1)$。若将线段$AB$平移至线段$A_1B_1$的位置，则$a + b$的值为。

$2$

因为点$A(2,0)$平移到$A_1(3,b)$，横坐标从$2$变为$3$，所以向右平移了$3 - 2=1$个单位。
点$B(0,1)$平移到$B_1(a,2)$，纵坐标从$1$变为$2$，所以向上平移了$2 - 1=1$个单位。
因此，线段$AB$先向右平移$1$个单位，再向上平移$1$个单位得到线段$A_1B_1$。
则点$B(0,1)$向右平移$1$个单位，横坐标变为$0 + 1=a$，即$a = 1$；
点$A(2,0)$向上平移$1$个单位，纵坐标变为$0 + 1=b$，即$b = 1$。
所以$a + b=1 + 1=2$。

三、解答题
8. 在线段$AB$上有一点$P(a,b)$，经过平移后的对应点为$P_1(c,d)$，已知点$A(3,2)$平移后的对应点为$A_1(5,-1)$。
(1) 若点$B(-1,4)$，则平移后对应点$B_1$的坐标为；
(2) 求$a + b - c - d$的值。

(1)$(1,1)$；(2)$1$（第二小题横栏填：$1$）

(1) 已知点$A(3,2)$平移后的对应点为$A_1(5,-1)$，则平移向量为：$\Delta x = 5 - 3 = 2$，$\Delta y = -1 - 2 = -3$，
根据平移的性质，点$B(-1,4)$平移后的对应点$B_1$的坐标为：$B_1(x, y) = B(-1 + 2, 4 - 3) = (1,1)$。
(2) 已知点$P(a,b)$平移后的对应点为$P_1(c,d)$，由平移向量知：$c = a + 2$，$d = b - 3$，
代入$a + b - c - d$得：$a + b - (a + 2) - (b - 3) = 1$。

9. 如图，三角形$ABC$内任意一点$P(x_0,y_0)$经平移后的对应点为$P'(x_0 + 3,y_0 + 4)$，将三角形$ABC$作同样的平移得到三角形$DEF$，其中点$A(-3,0)$与点$D$，点$B(-1,-2)$与点$E$，点$C(0,1)$与点$F$分别对应。
(1) 画出三角形$DEF$，并直接写出点$D$，$E$，$F$的坐标；
(2) 若将线段$BC$沿某个方向进行平移得到线段$MN$，点$B(-1,-2)$的对应点为$M(m,0)$，则点$C(0,1)$的对应点$N$的坐标为(用含$m$的式子表示)。

(1) $D(0,4)$，$E(2,2)$，$F(3,5)$；
(2) $N(m + 1, 3)$。

(1) 根据点 $P$ 的平移规律，点 $P(x_0, y_0)$ 平移后的对应点为 $P'(x_0 + 3, y_0 + 4)$。
点 $A(-3, 0)$ 平移后得到点 $D$ 的坐标为 $D(-3 + 3, 0 + 4) = D(0, 4)$；
点 $B(-1, -2)$ 平移后得到点 $E$ 的坐标为 $E(-1 + 3, -2 + 4) = E(2, 2)$；
点 $C(0, 1)$ 平移后得到点 $F$ 的坐标为 $F(0 + 3, 1 + 4) = F(3, 5)$。
平移后的三角形 $DEF$ 的顶点坐标为 $D(0, 4)$，$E(2, 2)$，$F(3, 5)$。
(2) 点 $B(-1, -2)$ 的对应点为 $M(m, 0)$，平移向量为 $(m - (-1), 0 - (-2)) = (m + 1, 2)$。
点 $C(0, 1)$ 的对应点 $N$ 的坐标为 $N(0 + (m + 1), 1 + 2) = N(m + 1, 3)$。