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1. 勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长 $a,b,c$ 满足 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$，那么这个三角形是。
勾股数：能够成为一个直角三角形的三边长的三个正整数，称为勾股数。常见勾股数：①$3,4,5$；②$5,12,13$；③$7,24,25$；④$8,15,17$；⑤$9,40,41$。
2. 逆命题、逆定理
(1) 逆命题：如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这两个命题互为。如果把其中一个叫作原命题，那么另一个命题叫作它的。
(2) 逆定理：一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。
思考 已知三角形的三边长，怎样判断该三角形是不是直角三角形？命题一定有逆命题，而一个定理一定有逆定理吗？
如果三角形的三边长 $a,b,c$ 满足 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$，那么这个三角形是。
勾股数：能够成为一个直角三角形的三边长的三个正整数，称为勾股数。常见勾股数：①$3,4,5$；②$5,12,13$；③$7,24,25$；④$8,15,17$；⑤$9,40,41$。
2. 逆命题、逆定理
(1) 逆命题：如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这两个命题互为。如果把其中一个叫作原命题，那么另一个命题叫作它的。
(2) 逆定理：一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。
思考 已知三角形的三边长，怎样判断该三角形是不是直角三角形？命题一定有逆命题，而一个定理一定有逆定理吗？
答案
1.直角三角形；
2.(1)逆命题，逆命题。
2.(1)逆命题，逆命题。
解析
1.根据勾股定理的逆定理：如果三角形三边$a,b,c$满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，那么这个三角形是直角三角形。
2.(1)如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这两个命题互为逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个命题叫作它的逆命题。
2.(1)如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这两个命题互为逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个命题叫作它的逆命题。
填空 在$△ ABC$中，三边长分别为$a,b,c$，若$a^{2}=c^{2}-b^{2}$，则该三角形是三角形，是直角。
答案
直角；$∠C$
解析
根据题目给出的条件 $a^{2} = c^{2} - b^{2}$，可以变形为 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$。
根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$，则该三角形是直角三角形，且直角对应的边是$c$，即斜边，也就是说角$C$（通常表示为对应边$c$的角）是直角。
根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$，则该三角形是直角三角形，且直角对应的边是$c$，即斜边，也就是说角$C$（通常表示为对应边$c$的角）是直角。
例1 判断由线段$a,b,c$组成的三角形是不是直角三角形。
(1) $a = 7,b = 24,c = 25$；
(2) $a = 4,b = 5,c = 6$；
(3) $a:b:c = 5:13:12$。
(1) $a = 7,b = 24,c = 25$；
(2) $a = 4,b = 5,c = 6$；
(3) $a:b:c = 5:13:12$。
答案
(1) 因为 $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$，$25^2 = 625$，所以 $7^2 + 24^2 = 25^2$，是直角三角形。
(2) 因为 $4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$，$6^2 = 36$，$41 ≠ 36$，所以 $4^2 + 5^2 ≠ 6^2$，不是直角三角形。
(3) 设 $a = 5k$，$b = 13k$，$c = 12k$（$k ＞ 0$），因为 $(5k)^2 + (12k)^2 = 25k^2 + 144k^2 = 169k^2$，$(13k)^2 = 169k^2$，所以 $(5k)^2 + (12k)^2 = (13k)^2$，是直角三角形。
(2) 因为 $4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$，$6^2 = 36$，$41 ≠ 36$，所以 $4^2 + 5^2 ≠ 6^2$，不是直角三角形。
(3) 设 $a = 5k$，$b = 13k$，$c = 12k$（$k ＞ 0$），因为 $(5k)^2 + (12k)^2 = 25k^2 + 144k^2 = 169k^2$，$(13k)^2 = 169k^2$，所以 $(5k)^2 + (12k)^2 = (13k)^2$，是直角三角形。
变式训练 判断由线段$a,b,c$组成的三角形是不是直角三角形。
(1) $a=\frac{5}{2},b = 2,c=\frac{3}{2}$；
(2) $a = 10,b = 15,c = 18$；
(3) $a = m^{2}-n^{2},b = 2mn,c = m^{2}+n^{2}(m＞n＞0)$。
(1) $a=\frac{5}{2},b = 2,c=\frac{3}{2}$；
(2) $a = 10,b = 15,c = 18$；
(3) $a = m^{2}-n^{2},b = 2mn,c = m^{2}+n^{2}(m＞n＞0)$。
答案
(1)是；
(2)不是；
(3)是。
(2)不是；
(3)是。
解析
(1) 验证 $a^{2}$ 是否等于 $b^{2} + c^{2}$：
$(\frac{5}{2})^{2} = \frac{25}{4}$，
$2^{2} + (\frac{3}{2})^{2} = 4 + \frac{9}{4} = \frac{25}{4}$，
因为 $a^{2} = b^{2} + c^{2}$，所以由线段 $a, b, c$ 组成的三角形是直角三角形。
(2) 验证 $c^{2} +a^{2（或b^{2}）}$ 是否等于 $b^{2}（或a^{2}）$ 等（哪边可能为斜边进行验证）：
$10^{2} + 15^{2} ≠ 18^{2}$，$10^{2} + 18^{2} ≠ 15^{2}$，$15^{2} + 18^{2} ≠ 10^{2}$，
因为 $a^{2} + b^{2} ≠ c^{2}$，$a^{2} + c^{2} ≠ b^{2}$，$b^{2} + c^{2} ≠ a^{2}$，所以由线段 $a, b, c$ 组成的三角形不是直角三角形。
(3) 验证 $c^{2}$ 是否等于 $a^{2} + b^{2}$：
$(m^{2} + n^{2})^{2} = m^{4} + 2m^{2}n^{2} + n^{4}$，
$(m^{2} - n^{2})^{2} + (2mn)^{2} = m^{4} - 2m^{2}n^{2} + n^{4} + 4m^{2}n^{2} = m^{4} + 2m^{2}n^{2} + n^{4}$，
因为 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$，所以由线段 $a, b, c$ 组成的三角形是直角三角形。
$(\frac{5}{2})^{2} = \frac{25}{4}$，
$2^{2} + (\frac{3}{2})^{2} = 4 + \frac{9}{4} = \frac{25}{4}$，
因为 $a^{2} = b^{2} + c^{2}$，所以由线段 $a, b, c$ 组成的三角形是直角三角形。
(2) 验证 $c^{2} +a^{2（或b^{2}）}$ 是否等于 $b^{2}（或a^{2}）$ 等（哪边可能为斜边进行验证）：
$10^{2} + 15^{2} ≠ 18^{2}$，$10^{2} + 18^{2} ≠ 15^{2}$，$15^{2} + 18^{2} ≠ 10^{2}$，
因为 $a^{2} + b^{2} ≠ c^{2}$，$a^{2} + c^{2} ≠ b^{2}$，$b^{2} + c^{2} ≠ a^{2}$，所以由线段 $a, b, c$ 组成的三角形不是直角三角形。
(3) 验证 $c^{2}$ 是否等于 $a^{2} + b^{2}$：
$(m^{2} + n^{2})^{2} = m^{4} + 2m^{2}n^{2} + n^{4}$，
$(m^{2} - n^{2})^{2} + (2mn)^{2} = m^{4} - 2m^{2}n^{2} + n^{4} + 4m^{2}n^{2} = m^{4} + 2m^{2}n^{2} + n^{4}$，
因为 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$，所以由线段 $a, b, c$ 组成的三角形是直角三角形。
例2 写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假。
(1) 如果$x = 4$，那么$x^{2}=16$；
(2) 面积相等的三角形是全等三角形。
(1) 如果$x = 4$，那么$x^{2}=16$；
(2) 面积相等的三角形是全等三角形。
答案
(1)
逆命题：如果$x^{2}=16$，那么$x = 4$。
假命题，因为当$x^{2}=16$时，$x=\pm4$。
(2)
逆命题：如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形面积相等。
真命题，因为全等三角形的所有对应部分都相等，所以面积一定相等。
逆命题：如果$x^{2}=16$，那么$x = 4$。
假命题，因为当$x^{2}=16$时，$x=\pm4$。
(2)
逆命题：如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形面积相等。
真命题，因为全等三角形的所有对应部分都相等，所以面积一定相等。
变式训练 写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假。
(1) 同旁内角互补，两直线平行；
(2) 如果$a = b$，那么$\vert a\vert=\vert b\vert$。
(1) 同旁内角互补，两直线平行；
(2) 如果$a = b$，那么$\vert a\vert=\vert b\vert$。
答案
(1)两直线平行，同旁内角互补，真命题；(2)如果|a|=|b|，那么a=b，假命题。
解析
(1)逆命题：两直线平行，同旁内角互补。真命题。
(2)逆命题：如果|a|=|b|，那么a=b。假命题。
(2)逆命题：如果|a|=|b|，那么a=b。假命题。
