例3 如图，在四边形$ABCD$中，$AB = 3,BC = 4,CD = 12,AD = 13,∠ B = 90^{\circ}$。求四边形$ABCD$的面积。

连接$AC$。
在$Rt△ ABC$中，$AB = 3$，$BC = 4$，
根据勾股定理$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$，可得：
$AC=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5$。
因为$AC = 5$，$CD = 12$，$AD = 13$，
所以$AC^{2}+CD^{2}=5^{2}+12^{2}=25 + 144 = 169$，$AD^{2}=13^{2}=169$，
即$AC^{2}+CD^{2}=AD^{2}$，
根据勾股定理的逆定理可知$△ ACD$是直角三角形，且$∠ ACD = 90^{\circ}$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×3×4 = 6$，
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC× CD=\frac{1}{2}×5×12 = 30$。
$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=6 + 30 = 36$。
综上，四边形$ABCD$的面积是$36$。

变式训练 如图为一块地的平面图，已知$AB = 3m,BC = 4m,CD = 12m,AD = 13m,∠ ABC = 90^{\circ}$。求这块地的面积。

【解析】：
连接AC。
∵ ∠ABC = 90°，AB = 3m，BC = 4m，
∴ AC = 5m（勾股定理）。
△ACD中，AC = 5m，CD = 12m，AD = 13m，
∵ 5² + 12² = 13²，
∴ △ACD为直角三角形（勾股定理的逆定理），
∴ ∠ACD = 90°。
S_ABCD = S_△ABC + S_△ACD
= 1/2 * AB * BC + 1/2 * AC * CD
= 1/2 * 3 * 4 + 1/2 * 5 * 12
= 6 + 30 = 36(m²)。
【答案】：36m²

连接AC。
∵ ∠ABC = 90°，AB = 3m，BC = 4m，
∴ AC = 5m（勾股定理）。
△ACD中，AC = 5m，CD = 12m，AD = 13m，
∵ 5² + 12² = 13²，
∴ △ACD为直角三角形（勾股定理的逆定理），
∴ ∠ACD = 90°。
S_ABCD = S_△ABC + S_△ACD
= 1/2 * AB * BC + 1/2 * AC * CD
= 1/2 * 3 * 4 + 1/2 * 5 * 12
= 6 + 30 = 36(m²)。

1. 下列各组数，可以作为一个直角三角形的三边长的是()

A.$2,3,4$
B.$7,24,25$
C.$8,12,20$
D.$5,13,15$

B

根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足$a^2 + b^2 = c^2$（其中$c$为最长边），则该三角形为直角三角形。
A选项：$2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$，$4^2 = 16$，因为$13 ≠ 16$，所以不能构成直角三角形。
B选项：$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$，$25^2 = 625$，因为$625 = 625$，所以能构成直角三角形。
C选项：$8^2 + 12^2 = 64 + 144 = 208$，$20^2 = 400$，因为$208 ≠ 400$，所以不能构成直角三角形。
D选项：$5^2 + 13^2 = 25 + 169 = 194$，$15^2 = 225$，因为$194 ≠ 225$，所以不能构成直角三角形。

2. 下列说法正确的是()

A.真命题的逆命题也是真命题
B.每个定理都有逆定理
C.每个命题都有逆命题
D.假命题没有逆命题

C

A.真命题的逆命题不一定是真命题，例如“对顶角相等”是真命题，其逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，所以A错误；B.并非每个定理都有逆定理，只有当定理的逆命题是真命题时才有逆定理，所以B错误；C.每个命题都有逆命题，交换原命题的题设和结论即可得到逆命题，所以C正确；D.假命题也有逆命题，所以D错误。

3. 写出一组全是偶数的勾股数：。

$6$，$8$，$10$（答案不唯一）。

根据勾股数的定义，满足$a^2 + b^2 = c^2$，且$a,b,c$都是正整数，则称$a,b,c$为勾股数，
考虑到题目要求全是偶数，可以尝试一些小的偶数进行验证，
当$a = 6$，$b = 8$时，
根据勾股定理有：$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$，
由于$6,8,10$都是偶数，且满足勾股定理，所以它们是一组全是偶数的勾股数。

4. 如图，在$△ ABC$中，$CD⊥ AB$于点$D$，$BC = 6,AC = 8,AB = 10$。求$CD$的长。

解：
1. 判断△ABC的形状
在△ABC中，AC=8，BC=6，AB=10。
因为 $ AC^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 $，且 $ AB^2 = 10^2 = 100 $，
所以 $ AC^2 + BC^2 = AB^2 $。
根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°。
2. 计算CD的长
因为CD⊥AB，所以CD是Rt△ABC斜边上的高。
由三角形面积公式：$ S_{△ABC} = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × AB × CD $。
代入数据：$ \frac{1}{2} × 8 × 6 = \frac{1}{2} × 10 × CD $。
化简得：$ 24 = 5CD $，解得 $ CD = \frac{24}{5} = 4.8 $。
答案：CD的长为$\frac{24}{5}$（或4.8）。

解：
1. 判断△ABC的形状
在△ABC中，AC=8，BC=6，AB=10。
因为 $ AC^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 $，且 $ AB^2 = 10^2 = 100 $，
所以 $ AC^2 + BC^2 = AB^2 $。
根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°。
2. 计算CD的长
因为CD⊥AB，所以CD是Rt△ABC斜边上的高。
由三角形面积公式：$ S_{△ABC} = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × AB × CD $。
代入数据：$ \frac{1}{2} × 8 × 6 = \frac{1}{2} × 10 × CD $。
化简得：$ 24 = 5CD $，解得 $ CD = \frac{24}{5} = 4.8 $。

5. 判断三角形的形状，有一个重要的方法：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
范例：在$△ ABC$中，$a,b,c$是其三条边，已知$a=\sqrt{5},b=\sqrt{7},c = 2\sqrt{3}$，判断$△ ABC$的形状。
解：在$△ ABC$中，
因为$a^{2}+b^{2}=(\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{7})^{2}=12$，$c^{2}=(2\sqrt{3})^{2}=12$，所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，
所以$△ ABC$是直角三角形。
认真阅读上述材料后，按此方法解答下列问题：
(1) 填空：已知三角形的三边长分别为$5,12,13$，因为，所以这个三角形是直角三角形；
(2) 已知$△ ABC$的三边长分别为$a = n^{2}+1,b = n^{2}-1,c = 2n$，求证：$△ ABC$是直角三角形；
(3) 已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边，且满足$a^{2}c^{2}-b^{2}c^{2}=a^{4}-b^{4}$，试判断$△ ABC$的形状。

(1) $5^{2}+12^{2}=13^{2}$
(2) 证明：在$△ ABC$中，
$b^{2}+c^{2}=(n^{2}-1)^{2}+(2n)^{2}=n^{4}-2n^{2}+1+4n^{2}=n^{4}+2n^{2}+1=(n^{2}+1)^{2}=a^{2}$，
$\therefore b^{2}+c^{2}=a^{2}$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形。
(3) $\because a^{2}c^{2}-b^{2}c^{2}=a^{4}-b^{4}$，
$\therefore c^{2}(a^{2}-b^{2})=(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})$，
$\therefore (a^{2}-b^{2})(c^{2}-a^{2}-b^{2})=0$，
$\therefore a^{2}-b^{2}=0$或$c^{2}-a^{2}-b^{2}=0$，
当$a^{2}-b^{2}=0$时，$a=b$，$△ ABC$是等腰三角形；
当$c^{2}-a^{2}-b^{2}=0$时，$c^{2}=a^{2}+b^{2}$，$△ ABC$是直角三角形；
综上，$△ ABC$是等腰三角形或直角三角形。