【知识点】最简二次根式
我们把满足被开方数不含，且被开方数中不含的二次根式叫作最简二次根式。
化简：$\frac{\sqrt{2a}}{\sqrt{6a}}=$；$\frac{3mn}{\sqrt{3m}}=$。

【知识点】分母 能开得尽平方的因数或因式$\frac{\sqrt{3}}{3}$         $n\sqrt{3m}$

【解析】
- 对于$\frac{\sqrt{2a}}{\sqrt{6a}}$：
根据二次根式的除法法则$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b ＞ 0)$，则$\frac{\sqrt{2a}}{\sqrt{6a}}=\sqrt{\frac{2a}{6a}}$。
化简$\frac{2a}{6a}=\frac{1}{3}$，所以$\sqrt{\frac{2a}{6a}}=\sqrt{\frac{1}{3}}$。
再将$\sqrt{\frac{1}{3}}$分母有理化，$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=\frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
对于$\frac{3mn}{\sqrt{3m}}$：
分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3m}$，得到$\frac{3mn×\sqrt{3m}}{\sqrt{3m}×\sqrt{3m}}$。
因为$\sqrt{3m}×\sqrt{3m}=3m$，所以$\frac{3mn×\sqrt{3m}}{\sqrt{3m}×\sqrt{3m}}=\frac{3mn\sqrt{3m}}{3m}$。
约分$\frac{3mn\sqrt{3m}}{3m}=n\sqrt{3m}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{3}$；$n\sqrt{3m}$
【知识点】
最简二次根式、二次根式的除法法则、分母有理化
【点评】
本题主要考查最简二次根式的概念以及二次根式的化简，通过运用二次根式的除法法则和分母有理化来求解，有助于加深对最简二次根式的理解和运用。
【难度系数】
0.6

【例】计算：$3\sqrt{2\frac{1}{3}}×(-\frac{1}{8}\sqrt{15})÷\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{5}}$。
【点拨】此题考查二次根式的乘除混合运算和最简二次根式。

【例】解：原式$=(-3×\frac{1}{8}×2)×\sqrt{\frac{7}{3}×15×\frac{5}{2}}=-\frac{3}{4}\sqrt{\frac{7×5×5}{2}}=-\frac{15}{8}\sqrt{14}$．

【解析】
原式$=(-3×\frac{1}{8}×2)×\sqrt{\frac{7}{3}×15×\frac{5}{2}}=-\frac{3}{4}\sqrt{\frac{7×5×5}{2}}=-\frac{15}{8}\sqrt{14}$
【答案】
$-\frac{15}{8}\sqrt{14}$
【知识点】
二次根式乘除混合运算、最简二次根式
【点评】
本题考查二次根式的乘除混合运算，先将系数相乘除，再将被开方数相乘除，最后化简为最简二次根式。
【难度系数】
0.6

1. 下列式子中，为最简二次根式的是()

A.$\sqrt{\frac{1}{2}}$
B.$\sqrt{30}$
C.$\sqrt{0.2}$
D.$\sqrt{12}$

1. B

【解析】
- 选项A：
$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，被开方数含有分母，不是最简二次根式。
- 选项B：
$\sqrt{30}$的被开方数$30$不含分母，且$30$分解质因数为$30 = 2×3×5$，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式。
- 选项C：
$\sqrt{0.2}=\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，被开方数含有分母，不是最简二次根式。
- 选项D：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，被开方数含有能开得尽方的因数$4$，不是最简二次根式。
综上，答案是B选项。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式
【点评】
本题主要考查最简二次根式的概念，需要对每个选项进行分析判断。
【难度系数】
0.6

2. 将$\sqrt{8}$化为最简二次根式是()

A.$\sqrt{8}$
B.$\sqrt{4}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$

2. C

【解析】
$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=\sqrt{4}×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式、二次根式化简
【点评】
本题考查最简二次根式的化简，关键是将被开方数分解因数，再根据二次根式的性质进行化简。
【难度系数】
0.8

3. 下列各式运算正确的是()

A.$\sqrt{(-5)^{2}}=-5$
B.$\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2}{3}$
C.$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$
D.$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

3. D

【解析】
- 选项A：
根据二次根式的性质$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert$，对于$\sqrt{(-5)^{2}}$，这里$a = - 5$，则$\sqrt{(-5)^{2}}=\vert - 5\vert=5≠ - 5$，所以选项A错误。
- 选项B：
根据二次根式的化简$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b ＞ 0)$，$\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$，再将分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}$，得到$\frac{2\sqrt{3}}{3}≠\frac{2}{3}$，所以选项B错误。
- 选项C：
根据二次根式的除法法则$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b ＞ 0)$，$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{27}{3}}=\sqrt{9}=3≠\sqrt{3}$，所以选项C错误。
- 选项D：
对$\frac{1}{\sqrt{2}}$进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2}$，根据$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，则$\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质、二次根式的化简、二次根式的除法法则
【点评】
本题主要考查二次根式的相关运算，需要熟练掌握二次根式的性质、化简以及除法法则等知识，通过对每个选项进行逐步计算来判断其正确性。
【难度系数】
0.6

4. 将$\sqrt{0.2}$化为最简二次根式。

4. $\frac{\sqrt{5}}{5}$

【解析】
$\sqrt{0.2}=\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}=\frac{1×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
最简二次根式、二次根式的化简
【点评】
本题考查最简二次根式的化简，需要先将小数化为分数，再进行分母有理化。
【难度系数】
0.3

5. 写出一个大于$2$的最简二次根式：。(写出一个即可)

5. $\sqrt{5}$（答案不唯一）

【解析】
因为$2 = \sqrt{4}$，要找一个大于$2$的最简二次根式，只需要被开方数大于$4$且为最简形式即可。
$\sqrt{5}$中，$5＞4$，且$\sqrt{5}$是最简二次根式（被开方数$5$不含能开得尽方的因数）。
【答案】
$\sqrt{5}$（答案不唯一）
【知识点】
最简二次根式、二次根式比较大小
【点评】
本题考查最简二次根式的概念以及二次根式大小比较，需要学生理解最简二次根式的定义并能灵活运用。
【难度系数】
0.8