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6. 化简：
（1）$\sqrt{72}$；
（2）$\sqrt{25a^{3}}$；
（3）$\sqrt{\frac{y}{x}}$；
（4）$\sqrt{1\frac{1}{2}}÷\sqrt{\frac{5}{6}}$。
（1）$\sqrt{72}$；
（2）$\sqrt{25a^{3}}$；
（3）$\sqrt{\frac{y}{x}}$；
（4）$\sqrt{1\frac{1}{2}}÷\sqrt{\frac{5}{6}}$。
答案
6.（1）$6\sqrt{2}$ （2）$5a\sqrt{a}$ （3）$\frac{\sqrt{xy}}{x}$ （4）$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
解析
【解析】
（1）$\sqrt{72}=\sqrt{36×2}=\sqrt{36}×\sqrt{2}=6\sqrt{2}$；
（2）$\sqrt{25a^{3}}=\sqrt{25a^{2}· a}=\sqrt{25a^{2}}·\sqrt{a}=5a\sqrt{a}$；
（3）$\sqrt{\frac{y}{x}}=\sqrt{\frac{xy}{x^{2}}}=\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x^{2}}}=\frac{\sqrt{xy}}{x}$；
（4）$\sqrt{1\frac{1}{2}}÷\sqrt{\frac{5}{6}}=\sqrt{\frac{3}{2}}÷\sqrt{\frac{5}{6}}=\sqrt{\frac{3}{2}÷\frac{5}{6}}=\sqrt{\frac{3}{2}×\frac{6}{5}}=\sqrt{\frac{9}{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
（1）$6\sqrt{2}$；（2）$5a\sqrt{a}$；（3）$\frac{\sqrt{xy}}{x}$；（4）$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
二次根式化简、二次根式乘除运算、分母有理化
【点评】
本题考查二次根式的化简及运算，需要熟练掌握二次根式的性质和运算法则。
【难度系数】
0.6
（1）$\sqrt{72}=\sqrt{36×2}=\sqrt{36}×\sqrt{2}=6\sqrt{2}$；
（2）$\sqrt{25a^{3}}=\sqrt{25a^{2}· a}=\sqrt{25a^{2}}·\sqrt{a}=5a\sqrt{a}$；
（3）$\sqrt{\frac{y}{x}}=\sqrt{\frac{xy}{x^{2}}}=\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x^{2}}}=\frac{\sqrt{xy}}{x}$；
（4）$\sqrt{1\frac{1}{2}}÷\sqrt{\frac{5}{6}}=\sqrt{\frac{3}{2}}÷\sqrt{\frac{5}{6}}=\sqrt{\frac{3}{2}÷\frac{5}{6}}=\sqrt{\frac{3}{2}×\frac{6}{5}}=\sqrt{\frac{9}{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
（1）$6\sqrt{2}$；（2）$5a\sqrt{a}$；（3）$\frac{\sqrt{xy}}{x}$；（4）$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
二次根式化简、二次根式乘除运算、分母有理化
【点评】
本题考查二次根式的化简及运算，需要熟练掌握二次根式的性质和运算法则。
【难度系数】
0.6
7. 已知$a=\sqrt{2}-1$，$b=\frac{1}{\sqrt{2}+1}$，则$a$与$b$的关系为(
A.$a = b$
B.$ab = 1$
C.$a = -b$
D.$ab = -1$
A
)A.$a = b$
B.$ab = 1$
C.$a = -b$
D.$ab = -1$
答案
7. A
解析
【解析】
对$b$进行分母有理化：
$\begin{aligned}b&=\frac{1}{\sqrt{2}+1}\\&=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\\&=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2})^{2}-1^{2}}\\&=\frac{\sqrt{2}-1}{2 - 1}\\&=\sqrt{2}-1\end{aligned}$
因为$a = \sqrt{2}-1$，所以$a = b$。
【答案】
A
【知识点】
分母有理化、平方差公式、二次根式化简
【点评】
本题通过对$b$进行分母有理化，再与$a$比较，考查了二次根式的化简和分母有理化的知识，解题关键是掌握分母有理化的方法。
【难度系数】
0.7
对$b$进行分母有理化：
$\begin{aligned}b&=\frac{1}{\sqrt{2}+1}\\&=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\\&=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2})^{2}-1^{2}}\\&=\frac{\sqrt{2}-1}{2 - 1}\\&=\sqrt{2}-1\end{aligned}$
因为$a = \sqrt{2}-1$，所以$a = b$。
【答案】
A
【知识点】
分母有理化、平方差公式、二次根式化简
【点评】
本题通过对$b$进行分母有理化，再与$a$比较，考查了二次根式的化简和分母有理化的知识，解题关键是掌握分母有理化的方法。
【难度系数】
0.7
8. 请写出一个正整数$m$的值，使得$\sqrt{2m}$是最简二次根式，$m=$
1（答案不唯一）
。答案
8. 1（答案不唯一）
解析
【解析】
最简二次根式需满足被开方数不含分母且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
当$m = 1$时，$\sqrt{2m}=\sqrt{2×1}=\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是最简二次根式。
【答案】
$1$（答案不唯一）
【知识点】
最简二次根式
【点评】
本题考查最简二次根式的概念，通过代入正整数$m$的值进行判断。
【难度系数】
$0.8$
最简二次根式需满足被开方数不含分母且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
当$m = 1$时，$\sqrt{2m}=\sqrt{2×1}=\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是最简二次根式。
【答案】
$1$（答案不唯一）
【知识点】
最简二次根式
【点评】
本题考查最简二次根式的概念，通过代入正整数$m$的值进行判断。
【难度系数】
$0.8$
9. 计算：
（1）$2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{4}÷\sqrt{12}$；
（2）$\sqrt{1\frac{2}{3}}÷\sqrt{2\frac{1}{3}}×\sqrt{1\frac{3}{5}}$。
（1）$2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{4}÷\sqrt{12}$；
（2）$\sqrt{1\frac{2}{3}}÷\sqrt{2\frac{1}{3}}×\sqrt{1\frac{3}{5}}$。
答案
9. 解：（1）原式$=2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$．
（2）原式$=\sqrt{\frac{5}{3}}×\sqrt{\frac{3}{7}}×\sqrt{\frac{8}{5}}=\sqrt{\frac{8}{7}}=\frac{2\sqrt{14}}{7}$．
（2）原式$=\sqrt{\frac{5}{3}}×\sqrt{\frac{3}{7}}×\sqrt{\frac{8}{5}}=\sqrt{\frac{8}{7}}=\frac{2\sqrt{14}}{7}$．
解析
【解析】
（1）
$\begin{aligned}&2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{4}÷\sqrt{12}\\=&2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{1}{\sqrt{12}}\\=&2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{1}{2\sqrt{3}}\\=&\frac{\sqrt{2}}{4}\end{aligned}$
（2）
$\begin{aligned}&\sqrt{1\frac{2}{3}}÷\sqrt{2\frac{1}{3}}×\sqrt{1\frac{3}{5}}\\=&\sqrt{\frac{5}{3}}÷\sqrt{\frac{7}{3}}×\sqrt{\frac{8}{5}}\\=&\sqrt{\frac{5}{3}}×\sqrt{\frac{3}{7}}×\sqrt{\frac{8}{5}}\\=&\sqrt{\frac{5}{3}×\frac{3}{7}×\frac{8}{5}}\\=&\sqrt{\frac{8}{7}}\\=&\frac{2\sqrt{14}}{7}\end{aligned}$
【答案】
（1）$\frac{\sqrt{2}}{4}$；（2）$\frac{2\sqrt{14}}{7}$
【知识点】
二次根式乘除运算、二次根式化简
【点评】
本题考查二次根式的乘除运算，需要熟练掌握二次根式的运算法则和化简方法。
【难度系数】
0.4
（1）
$\begin{aligned}&2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{4}÷\sqrt{12}\\=&2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{1}{\sqrt{12}}\\=&2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{1}{2\sqrt{3}}\\=&\frac{\sqrt{2}}{4}\end{aligned}$
（2）
$\begin{aligned}&\sqrt{1\frac{2}{3}}÷\sqrt{2\frac{1}{3}}×\sqrt{1\frac{3}{5}}\\=&\sqrt{\frac{5}{3}}÷\sqrt{\frac{7}{3}}×\sqrt{\frac{8}{5}}\\=&\sqrt{\frac{5}{3}}×\sqrt{\frac{3}{7}}×\sqrt{\frac{8}{5}}\\=&\sqrt{\frac{5}{3}×\frac{3}{7}×\frac{8}{5}}\\=&\sqrt{\frac{8}{7}}\\=&\frac{2\sqrt{14}}{7}\end{aligned}$
【答案】
（1）$\frac{\sqrt{2}}{4}$；（2）$\frac{2\sqrt{14}}{7}$
【知识点】
二次根式乘除运算、二次根式化简
【点评】
本题考查二次根式的乘除运算，需要熟练掌握二次根式的运算法则和化简方法。
【难度系数】
0.4
10. 已知$A=\sqrt{3x - 1}$，$B = 3\sqrt{x + 3}$，$C=\sqrt{7x + 6y}$，$A$，$B$为最简二次根式，且$A + B = C$，求代数式$\sqrt{2y - x^{2}}$的值。
答案
10. 解：已知$A=\sqrt{3x - 1}$，$B = 3\sqrt{x + 3}$，$C=\sqrt{7x + 6y}$，$A$，$B$为最简二次根式，且$A + B = C$，则$3x - 1 = x + 3$，解得$x = 2$，那么$A=\sqrt{5}$，$B = 3\sqrt{5}$，则$A + B = 4\sqrt{5}=\sqrt{80}$，那么$7x + 6y = 80$，即$14 + 6y = 80$，解得$y = 11$，原式$=\sqrt{2×11 - 2^{2}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$．
解析
【解析】
已知$A=\sqrt{3x - 1}$，$B = 3\sqrt{x + 3}$，$C=\sqrt{7x + 6y}$，$A$，$B$为最简二次根式，且$A + B = C$。
因为$A$，$B$为最简二次根式且$A + B = C$，所以$3x - 1 = x + 3$。
移项可得$3x - x = 3 + 1$，即$2x = 4$，解得$x = 2$。
那么$A=\sqrt{3×2 - 1}=\sqrt{5}$，$B = 3\sqrt{2 + 3}=3\sqrt{5}$，则$A + B=\sqrt{5}+3\sqrt{5}=4\sqrt{5}=\sqrt{80}$。
因为$A + B = C$，所以$7x + 6y = 80$，把$x = 2$代入可得$7×2 + 6y = 80$，即$14 + 6y = 80$。
移项可得$6y = 80 - 14$，即$6y = 66$，解得$y = 11$。
所以$\sqrt{2y - x^{2}}=\sqrt{2×11 - 2^{2}}=\sqrt{22 - 4}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
最简二次根式、二次根式的加法、代数式求值
【点评】
本题先根据最简二次根式的性质求出$x$的值，再根据二次根式加法求出$y$的值，最后代入代数式求值，考查了学生对相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.3
已知$A=\sqrt{3x - 1}$，$B = 3\sqrt{x + 3}$，$C=\sqrt{7x + 6y}$，$A$，$B$为最简二次根式，且$A + B = C$。
因为$A$，$B$为最简二次根式且$A + B = C$，所以$3x - 1 = x + 3$。
移项可得$3x - x = 3 + 1$，即$2x = 4$，解得$x = 2$。
那么$A=\sqrt{3×2 - 1}=\sqrt{5}$，$B = 3\sqrt{2 + 3}=3\sqrt{5}$，则$A + B=\sqrt{5}+3\sqrt{5}=4\sqrt{5}=\sqrt{80}$。
因为$A + B = C$，所以$7x + 6y = 80$，把$x = 2$代入可得$7×2 + 6y = 80$，即$14 + 6y = 80$。
移项可得$6y = 80 - 14$，即$6y = 66$，解得$y = 11$。
所以$\sqrt{2y - x^{2}}=\sqrt{2×11 - 2^{2}}=\sqrt{22 - 4}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
最简二次根式、二次根式的加法、代数式求值
【点评】
本题先根据最简二次根式的性质求出$x$的值，再根据二次根式加法求出$y$的值，最后代入代数式求值，考查了学生对相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.3
11. (2025·邯郸)若$\sqrt{12}$能与最简二次根式$\sqrt{x - 1}$合并同类项，则$x$的值为
4
。答案
11. 4
解析
【解析】
首先将$\sqrt{12}$化简，$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$。
因为$\sqrt{12}$能与最简二次根式$\sqrt{x - 1}$合并同类项，所以$\sqrt{x - 1}$化简后被开方数为$3$，即$x - 1 = 3$，解得$x = 4$。
【答案】
$4$
【知识点】
最简二次根式、同类二次根式、二次根式的化简
【点评】
本题考查最简二次根式与同类二次根式的概念，先化简$\sqrt{12}$，再根据同类二次根式的定义列方程求解，难度适中。
【难度系数】
$0.6$
首先将$\sqrt{12}$化简，$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$。
因为$\sqrt{12}$能与最简二次根式$\sqrt{x - 1}$合并同类项，所以$\sqrt{x - 1}$化简后被开方数为$3$，即$x - 1 = 3$，解得$x = 4$。
【答案】
$4$
【知识点】
最简二次根式、同类二次根式、二次根式的化简
【点评】
本题考查最简二次根式与同类二次根式的概念，先化简$\sqrt{12}$，再根据同类二次根式的定义列方程求解，难度适中。
【难度系数】
$0.6$
