【知识点】二次根式的加减
一般地，二次根式加减时，先将二次根式，再将相同的二次根式合并.

化简 被开方数

【解析】
根据二次根式加减的运算法则，先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并。
【答案】
化简 被开方数
【知识点】
二次根式的加减
【点评】
本题考查二次根式加减的运算法则，属于基础概念题。
【难度系数】
0.9

1. 下列二次根式中，能与$\boldsymbol{\sqrt{3}}$合并的是()

A.$\sqrt{6}$
B.$\sqrt{9}$
C.$\sqrt{12}$
D.$\sqrt{0.3}$

1.C

【解析】
- 步骤一：将选项中的二次根式化为最简二次根式
选项A：$\sqrt{6}$已是最简二次根式，被开方数是$6$，与$\sqrt{3}$的被开方数$3$不同，不能合并。
选项B：$\sqrt{9} = 3$，是整数，不是二次根式，不能与$\sqrt{3}$合并。
选项C：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，被开方数是$3$，与$\sqrt{3}$的被开方数相同，可以合并。
选项D：$\sqrt{0.3}=\sqrt{\frac{3}{10}}=\frac{\sqrt{30}}{10}$，被开方数是$30$，与$\sqrt{3}$的被开方数$3$不同，不能合并。
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式、同类二次根式、二次根式的化简
【点评】
本题主要考查二次根式的化简及同类二次根式的概念，需要学生熟练掌握二次根式的化简方法。
【难度系数】
0.6

2. 计算：$\sqrt{8}-\sqrt{32}=$.

2. -2$\sqrt{2}$

【解析】
$\begin{aligned}\sqrt{8}-\sqrt{32}&=\sqrt{4×2}-\sqrt{16×2}\\&=2\sqrt{2}-4\sqrt{2}\\&=(2 - 4)\sqrt{2}\\&=-2\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$-2\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简、二次根式加减法
【点评】
本题考查二次根式的化简与计算，先将二次根式化为最简二次根式，再进行计算。
【难度系数】
0.6

3. 计算$\sqrt{27}-\sqrt{\dfrac{1}{3}}$的结果是.

3. $\dfrac{8}{3}\sqrt{3}$

【解析】
$\begin{aligned}\sqrt{27}-\sqrt{\frac{1}{3}}&=\sqrt{9×3}-\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}\\&=3\sqrt{3}-\frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}\\&=3\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}\\&=\frac{9\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}\\&=\frac{8\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{8}{3}\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式化简、二次根式减法
【点评】
本题主要考查二次根式的化简与计算，先将各项二次根式化为最简二次根式，再进行减法运算。
【难度系数】
0.6

【例】计算：$2\sqrt{12}-6\sqrt{\dfrac{1}{3}}+3\sqrt{48}$.
【点拨】此题考查二次根式的加减，需要先将各项化成最简二次根式，然后利用分配律进行合并.

【例】解：原式=4$\sqrt{3}$ -2$\sqrt{3}$ +12$\sqrt{3}$ =14$\sqrt{3}$。

【解析】
原式$=2×2\sqrt{3}-6×\frac{\sqrt{3}}{3}+3×4\sqrt{3}$
$=4\sqrt{3}-2\sqrt{3}+12\sqrt{3}$
$=(4 - 2 + 12)\sqrt{3}$
$=14\sqrt{3}$
【答案】
$14\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式化简、二次根式加减
【点评】
本题考查二次根式的加减运算，先将各项化为最简二次根式，再合并同类二次根式，是二次根式运算的基础题型。
【难度系数】
0.6

1. 下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是()

A.$\sqrt{8}$与$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{2}$与$\sqrt{24}$
C.$\sqrt{5}$与$\sqrt{15}$
D.$\sqrt{75}$与$\sqrt{27}$

1. D

【解析】
- 选项A：
$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$已经是最简二次根式。
因为$2\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式。
- 选项B：
$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，$\sqrt{2}$已经是最简二次根式。
因为$\sqrt{2}$与$2\sqrt{6}$的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式。
- 选项C：
$\sqrt{5}$与$\sqrt{15}$都已经是最简二次根式，且它们的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式。
- 选项D：
$\sqrt{75}=\sqrt{25×3}=5\sqrt{3}$，$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$。
因为$5\sqrt{3}$与$3\sqrt{3}$的被开方数相同，所以它们是同类二次根式。
【答案】
D
【知识点】
同类二次根式、二次根式的化简
【点评】
本题主要考查同类二次根式的概念，需要先将二次根式化为最简二次根式，再判断被开方数是否相同。
【难度系数】
0.6

2. 若$\sqrt{5}+\sqrt{5}=\sqrt{M}$，则$M=$()

A.5
B.10
C.20
D.25

2. C

【解析】
因为$\sqrt{5}+\sqrt{5}=2\sqrt{5}$，又因为$\sqrt{5}+\sqrt{5}=\sqrt{M}$，所以$2\sqrt{5}=\sqrt{M}$。
两边同时平方可得$(2\sqrt{5})^2 = M$，即$4×5 = M$，所以$M = 20$。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的加法、二次根式的性质
【点评】
本题考查二次根式的运算，先计算$\sqrt{5}+\sqrt{5}$，再根据等式两边平方求出$M$的值。
【难度系数】
0.3

3. 下列运算正确的是()

A.$\sqrt{(-6)^2}=-6$
B.$3+\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=2$
D.$3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$

3. D

【解析】
- 选项A：
根据二次根式的性质$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert$，对于$\sqrt{(-6)^{2}}$，这里$a = - 6$，则$\sqrt{(-6)^{2}}=\vert - 6\vert=6≠ - 6$，所以选项A错误。
- 选项B：
$3$是有理数，$\sqrt{2}$是无理数，它们不是同类二次根式，不能直接相加，$3+\sqrt{2}$就是最简形式，而$3\sqrt{2}≠3 + \sqrt{2}$，所以选项B错误。
- 选项C：
根据合并同类二次根式的法则$a\sqrt{c}-b\sqrt{c}=(a - b)\sqrt{c}$（$a,b,c$为常数，$c≥0$），对于$2\sqrt{3}-\sqrt{3}$，这里$a = 2$，$b = 1$，$c = 3$，则$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=(2 - 1)\sqrt{3}=\sqrt{3}≠2$，所以选项C错误。
- 选项D：
同样根据合并同类二次根式的法则$a\sqrt{c}-b\sqrt{c}=(a - b)\sqrt{c}$（$a,b,c$为常数，$c≥0$），对于$3\sqrt{2}-2\sqrt{2}$，这里$a = 3$，$b = 2$，$c = 2$，则$3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=(3 - 2)\sqrt{2}=\sqrt{2}$，所以选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质、同类二次根式、二次根式的运算
【点评】
本题主要考查二次根式的相关运算，需要学生准确掌握二次根式的性质以及同类二次根式的合并法则等知识，通过对每个选项的计算来判断其正确性。
【难度系数】
0.7

4. 在$\sqrt{12}$，$\sqrt{24}$，$\sqrt{48}$，$\sqrt{6}$中，能与$\sqrt{3}$合并的根式有.

4. $\sqrt{12}$，$\sqrt{48}$

【解析】
- 步骤一：将各根式化为最简二次根式
对于$\sqrt{12}$：
根据$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
对于$\sqrt{24}$：
$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=\sqrt{4}×\sqrt{6}=2\sqrt{6}$。
对于$\sqrt{48}$：
$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=\sqrt{16}×\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
对于$\sqrt{6}$：
$\sqrt{6}$已是最简二次根式。
- 步骤二：判断哪些根式能与$\sqrt{3}$合并
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，同类二次根式可以合并。
因为$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，它们与$\sqrt{3}$的被开方数都是$3$，所以$\sqrt{12}$，$\sqrt{48}$能与$\sqrt{3}$合并。
【答案】
$\sqrt{12}$，$\sqrt{48}$
【知识点】
最简二次根式、同类二次根式、二次根式的化简
【点评】
本题主要考查二次根式的化简以及同类二次根式的概念，先将根式化简为最简二次根式，再根据同类二次根式概念判断能否合并，考查对基础知识的掌握和运用。
【难度系数】
0.6

5. 已知长方形的长和宽分别为$\sqrt{3}$，$\sqrt{27}$，则它的周长是.

5. 8$\sqrt{3}$

【解析】
首先对$\sqrt{27}$进行化简：
$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$
然后根据长方形周长公式$C = 2× (a + b)$（其中$a$为长，$b$为宽），可得：
$C = 2×(\sqrt{3}+3\sqrt{3})$
$=2×4\sqrt{3}$
$=8\sqrt{3}$
【答案】
$8\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式化简、长方形周长公式
【点评】
本题先化简二次根式，再利用长方形周长公式求解，考查了对基本公式和二次根式化简的掌握。
【难度系数】
0.6