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6. 计算：
(1) $\dfrac{1}{2}\sqrt{8}-6\sqrt{\dfrac{1}{2}}$；
(2) $3\sqrt{\dfrac{1}{3}}-2\sqrt{48}+\sqrt{27}$；
(3) $(\sqrt{12}+\sqrt{20})+(\sqrt{3}-\sqrt{5})$；
(4) $\sqrt{25}+\vert 2-\sqrt{3}\vert +3\sqrt{3}$.
(1) $\dfrac{1}{2}\sqrt{8}-6\sqrt{\dfrac{1}{2}}$；
(2) $3\sqrt{\dfrac{1}{3}}-2\sqrt{48}+\sqrt{27}$；
(3) $(\sqrt{12}+\sqrt{20})+(\sqrt{3}-\sqrt{5})$；
(4) $\sqrt{25}+\vert 2-\sqrt{3}\vert +3\sqrt{3}$.
答案
6. 解：（1）原式=$\sqrt{2}$ -3$\sqrt{2}$ =-2$\sqrt{2}$。（2）原式=$\sqrt{3}$ -2×4$\sqrt{3}$ +3$\sqrt{3}$ =-4$\sqrt{3}$。（3）原式=2$\sqrt{3}$ +2$\sqrt{5}$ +$\sqrt{3}$ -$\sqrt{5}$ =3$\sqrt{3}$ +$\sqrt{5}$。（4）原式=5+2-$\sqrt{3}$ +3$\sqrt{3}$ =7+2$\sqrt{3}$。
解析
【解析】
（1）
$\begin{aligned}&\frac{1}{2}\sqrt{8}-6\sqrt{\frac{1}{2}}\\=&\frac{1}{2}×2\sqrt{2}-6×\frac{\sqrt{2}}{2}\\=&\sqrt{2}-3\sqrt{2}\\=&-2\sqrt{2}\end{aligned}$
（2）
$\begin{aligned}&3\sqrt{\frac{1}{3}}-2\sqrt{48}+\sqrt{27}\\=&3×\frac{\sqrt{3}}{3}-2×4\sqrt{3}+3\sqrt{3}\\=&\sqrt{3}-8\sqrt{3}+3\sqrt{3}\\=&-4\sqrt{3}\end{aligned}$
（3）
$\begin{aligned}&(\sqrt{12}+\sqrt{20})+(\sqrt{3}-\sqrt{5})\\=&2\sqrt{3}+2\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{5}\\=&3\sqrt{3}+\sqrt{5}\end{aligned}$
（4）
$\begin{aligned}&\sqrt{25}+\vert2 - \sqrt{3}\vert+3\sqrt{3}\\=&5+(2 - \sqrt{3})+3\sqrt{3}\\=&5+2 - \sqrt{3}+3\sqrt{3}\\=&7+2\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
（1）$-2\sqrt{2}$；（2）$-4\sqrt{3}$；（3）$3\sqrt{3}+\sqrt{5}$；（4）$7 + 2\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式化简、二次根式加减运算、绝对值运算
【点评】
本题主要考查二次根式的化简与加减运算，以及绝对值的运算，需要熟练掌握二次根式的性质和运算法则。
【难度系数】
0.6
（1）
$\begin{aligned}&\frac{1}{2}\sqrt{8}-6\sqrt{\frac{1}{2}}\\=&\frac{1}{2}×2\sqrt{2}-6×\frac{\sqrt{2}}{2}\\=&\sqrt{2}-3\sqrt{2}\\=&-2\sqrt{2}\end{aligned}$
（2）
$\begin{aligned}&3\sqrt{\frac{1}{3}}-2\sqrt{48}+\sqrt{27}\\=&3×\frac{\sqrt{3}}{3}-2×4\sqrt{3}+3\sqrt{3}\\=&\sqrt{3}-8\sqrt{3}+3\sqrt{3}\\=&-4\sqrt{3}\end{aligned}$
（3）
$\begin{aligned}&(\sqrt{12}+\sqrt{20})+(\sqrt{3}-\sqrt{5})\\=&2\sqrt{3}+2\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{5}\\=&3\sqrt{3}+\sqrt{5}\end{aligned}$
（4）
$\begin{aligned}&\sqrt{25}+\vert2 - \sqrt{3}\vert+3\sqrt{3}\\=&5+(2 - \sqrt{3})+3\sqrt{3}\\=&5+2 - \sqrt{3}+3\sqrt{3}\\=&7+2\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
（1）$-2\sqrt{2}$；（2）$-4\sqrt{3}$；（3）$3\sqrt{3}+\sqrt{5}$；（4）$7 + 2\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式化简、二次根式加减运算、绝对值运算
【点评】
本题主要考查二次根式的化简与加减运算，以及绝对值的运算，需要熟练掌握二次根式的性质和运算法则。
【难度系数】
0.6
7. 如果$△ ABC$的三边长分别为$a=7\sqrt{50}$，$b=4\sqrt{72}$，$c=2\sqrt{98}$，求周长$C$.
答案
7. 解：C=a+b+c=7$\sqrt{50}$ +4$\sqrt{72}$ +2$\sqrt{98}$ =35$\sqrt{2}$ +24$\sqrt{2}$ +14$\sqrt{2}$ =73$\sqrt{2}$，即周长C为73$\sqrt{2}$。
解析
【解析】
已知$△ ABC$的三边长分别为$a = 7\sqrt{50}$，$b = 4\sqrt{72}$，$c = 2\sqrt{98}$。
根据三角形周长公式$C=a + b + c$，则$C=7\sqrt{50}+4\sqrt{72}+2\sqrt{98}$。
化简$\sqrt{50}=\sqrt{25×2}=5\sqrt{2}$，所以$7\sqrt{50}=7×5\sqrt{2}=35\sqrt{2}$；
化简$\sqrt{72}=\sqrt{36×2}=6\sqrt{2}$，所以$4\sqrt{72}=4×6\sqrt{2}=24\sqrt{2}$；
化简$\sqrt{98}=\sqrt{49×2}=7\sqrt{2}$，所以$2\sqrt{98}=2×7\sqrt{2}=14\sqrt{2}$。
则$C = 35\sqrt{2}+24\sqrt{2}+14\sqrt{2}=(35 + 24 + 14)\sqrt{2}=73\sqrt{2}$。
【答案】
$73\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简、三角形周长、二次根式加法
【点评】
本题先根据三角形周长公式列出表达式，再通过二次根式化简将各项化为最简二次根式，最后进行二次根式加法运算得出结果，考查了对二次根式相关知识的综合运用。
【难度系数】
0.3
已知$△ ABC$的三边长分别为$a = 7\sqrt{50}$，$b = 4\sqrt{72}$，$c = 2\sqrt{98}$。
根据三角形周长公式$C=a + b + c$，则$C=7\sqrt{50}+4\sqrt{72}+2\sqrt{98}$。
化简$\sqrt{50}=\sqrt{25×2}=5\sqrt{2}$，所以$7\sqrt{50}=7×5\sqrt{2}=35\sqrt{2}$；
化简$\sqrt{72}=\sqrt{36×2}=6\sqrt{2}$，所以$4\sqrt{72}=4×6\sqrt{2}=24\sqrt{2}$；
化简$\sqrt{98}=\sqrt{49×2}=7\sqrt{2}$，所以$2\sqrt{98}=2×7\sqrt{2}=14\sqrt{2}$。
则$C = 35\sqrt{2}+24\sqrt{2}+14\sqrt{2}=(35 + 24 + 14)\sqrt{2}=73\sqrt{2}$。
【答案】
$73\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简、三角形周长、二次根式加法
【点评】
本题先根据三角形周长公式列出表达式，再通过二次根式化简将各项化为最简二次根式，最后进行二次根式加法运算得出结果，考查了对二次根式相关知识的综合运用。
【难度系数】
0.3
8. 若$m\sqrt{8}+\sqrt{32}-n\sqrt{2}=5\sqrt{2}$，则下列结论正确的是(
A.$m=0$，$n=1$
B.$m=1$，$n=1$
C.$m=-1$，$n=0$
D.$m=2$，$n=4$
B
)A.$m=0$，$n=1$
B.$m=1$，$n=1$
C.$m=-1$，$n=0$
D.$m=2$，$n=4$
答案
8. B
解析
【解析】
首先对$m\sqrt{8}+\sqrt{32}-n\sqrt{2}$进行化简：
$m\sqrt{8}=m\sqrt{4×2}=2m\sqrt{2}$，$\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}$。
则原式可化为$2m\sqrt{2}+4\sqrt{2}-n\sqrt{2}=(2m + 4 - n)\sqrt{2}$。
因为$m\sqrt{8}+\sqrt{32}-n\sqrt{2}=5\sqrt{2}$，所以$(2m + 4 - n)\sqrt{2}=5\sqrt{2}$。
那么$2m + 4 - n = 5$。
接下来对选项进行逐一分析：
- 选项A：当$m = 0$，$n = 1$时，$2×0 + 4 - 1=3≠5$，所以A选项错误。
- 选项B：当$m = 1$，$n = 1$时，$2×1 + 4 - 1=5$，所以B选项正确。
- 选项C：当$m=-1$，$n = 0$时，$2×(-1)+4 - 0=2≠5$，所以C选项错误。
- 选项D：当$m = 2$，$n = 4$时，$2×2 + 4 - 4=4≠5$，所以D选项错误。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的运算
【点评】
本题主要考查二次根式的化简与运算，通过化简原式，再代入选项进行验证，考查学生对二次根式相关知识的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.6
首先对$m\sqrt{8}+\sqrt{32}-n\sqrt{2}$进行化简：
$m\sqrt{8}=m\sqrt{4×2}=2m\sqrt{2}$，$\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}$。
则原式可化为$2m\sqrt{2}+4\sqrt{2}-n\sqrt{2}=(2m + 4 - n)\sqrt{2}$。
因为$m\sqrt{8}+\sqrt{32}-n\sqrt{2}=5\sqrt{2}$，所以$(2m + 4 - n)\sqrt{2}=5\sqrt{2}$。
那么$2m + 4 - n = 5$。
接下来对选项进行逐一分析：
- 选项A：当$m = 0$，$n = 1$时，$2×0 + 4 - 1=3≠5$，所以A选项错误。
- 选项B：当$m = 1$，$n = 1$时，$2×1 + 4 - 1=5$，所以B选项正确。
- 选项C：当$m=-1$，$n = 0$时，$2×(-1)+4 - 0=2≠5$，所以C选项错误。
- 选项D：当$m = 2$，$n = 4$时，$2×2 + 4 - 4=4≠5$，所以D选项错误。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的运算
【点评】
本题主要考查二次根式的化简与运算，通过化简原式，再代入选项进行验证，考查学生对二次根式相关知识的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.6
9. 下列同类二次根式合并过程正确的是(
A.$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=2$
B.$a\sqrt{c}+b\sqrt{c}=a+b\sqrt{c}$
C.$5\sqrt{a}+\dfrac{1}{2}\sqrt{a}=5+\dfrac{1}{2}\sqrt{a}$
D.$\dfrac{1}{3}\sqrt{3a}-\dfrac{1}{4}\sqrt{3a}=\dfrac{1}{12}\sqrt{3a}$
D
)A.$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=2$
B.$a\sqrt{c}+b\sqrt{c}=a+b\sqrt{c}$
C.$5\sqrt{a}+\dfrac{1}{2}\sqrt{a}=5+\dfrac{1}{2}\sqrt{a}$
D.$\dfrac{1}{3}\sqrt{3a}-\dfrac{1}{4}\sqrt{3a}=\dfrac{1}{12}\sqrt{3a}$
答案
9. D
解析
【解析】
- 选项A：
根据同类二次根式合并法则：同类二次根式相减，系数相减，根式部分不变。
对于$2\sqrt{3}-\sqrt{3}$，其系数分别为$2$和$1$，则$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=(2 - 1)\sqrt{3}=\sqrt{3}≠2$，所以选项A错误。
- 选项B：
同样根据同类二次根式合并法则：同类二次根式相加，系数相加，根式部分不变。
对于$a\sqrt{c}+b\sqrt{c}$，其系数分别为$a$和$b$，则$a\sqrt{c}+b\sqrt{c}=(a + b)\sqrt{c}≠ a + b\sqrt{c}$，所以选项B错误。
- 选项C：
依据同类二次根式合并法则：同类二次根式相加，系数相加，根式部分不变。
对于$5\sqrt{a}+\frac{1}{2}\sqrt{a}$，其系数分别为$5$和$\frac{1}{2}$，则$5\sqrt{a}+\frac{1}{2}\sqrt{a}=(5+\frac{1}{2})\sqrt{a}=\frac{11}{2}\sqrt{a}≠5+\frac{1}{2}\sqrt{a}$，所以选项C错误。
- 选项D：
按照同类二次根式合并法则：同类二次根式相减，系数相减，根式部分不变。
对于$\frac{1}{3}\sqrt{3a}-\frac{1}{4}\sqrt{3a}$，先通分，$\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$，$\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$，则$\frac{1}{3}\sqrt{3a}-\frac{1}{4}\sqrt{3a}=(\frac{4}{12}-\frac{3}{12})\sqrt{3a}=\frac{1}{12}\sqrt{3a}$，所以选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
同类二次根式的合并、二次根式的运算
【点评】
本题主要考查同类二次根式的合并规则，通过对每个选项进行计算，判断其是否符合规则，从而得出正确答案。
【难度系数】
0.6
- 选项A：
根据同类二次根式合并法则：同类二次根式相减，系数相减，根式部分不变。
对于$2\sqrt{3}-\sqrt{3}$，其系数分别为$2$和$1$，则$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=(2 - 1)\sqrt{3}=\sqrt{3}≠2$，所以选项A错误。
- 选项B：
同样根据同类二次根式合并法则：同类二次根式相加，系数相加，根式部分不变。
对于$a\sqrt{c}+b\sqrt{c}$，其系数分别为$a$和$b$，则$a\sqrt{c}+b\sqrt{c}=(a + b)\sqrt{c}≠ a + b\sqrt{c}$，所以选项B错误。
- 选项C：
依据同类二次根式合并法则：同类二次根式相加，系数相加，根式部分不变。
对于$5\sqrt{a}+\frac{1}{2}\sqrt{a}$，其系数分别为$5$和$\frac{1}{2}$，则$5\sqrt{a}+\frac{1}{2}\sqrt{a}=(5+\frac{1}{2})\sqrt{a}=\frac{11}{2}\sqrt{a}≠5+\frac{1}{2}\sqrt{a}$，所以选项C错误。
- 选项D：
按照同类二次根式合并法则：同类二次根式相减，系数相减，根式部分不变。
对于$\frac{1}{3}\sqrt{3a}-\frac{1}{4}\sqrt{3a}$，先通分，$\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$，$\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$，则$\frac{1}{3}\sqrt{3a}-\frac{1}{4}\sqrt{3a}=(\frac{4}{12}-\frac{3}{12})\sqrt{3a}=\frac{1}{12}\sqrt{3a}$，所以选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
同类二次根式的合并、二次根式的运算
【点评】
本题主要考查同类二次根式的合并规则，通过对每个选项进行计算，判断其是否符合规则，从而得出正确答案。
【难度系数】
0.6
10. 一个等腰三角形的两边长分别为$2\sqrt{3}$，$3\sqrt{2}$，则这个三角形的周长为(
A.$3\sqrt{2}+4\sqrt{3}$
B.$6\sqrt{2}+2\sqrt{3}$
C.$6\sqrt{2}+4\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{2}+4\sqrt{3}$或$6\sqrt{2}+2\sqrt{3}$
D
)A.$3\sqrt{2}+4\sqrt{3}$
B.$6\sqrt{2}+2\sqrt{3}$
C.$6\sqrt{2}+4\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{2}+4\sqrt{3}$或$6\sqrt{2}+2\sqrt{3}$
答案
10. D
解析
【解析】
- 情况一：当$2\sqrt{3}$为腰长时
此时三角形三边为$2\sqrt{3}$，$2\sqrt{3}$，$3\sqrt{2}$。
因为$2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=4\sqrt{3}=\sqrt{48}$，$3\sqrt{2}=\sqrt{18}$，$\sqrt{48}＞\sqrt{18}$，满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）。
所以周长为$2\sqrt{3}+2\sqrt{3}+3\sqrt{2}=4\sqrt{3}+3\sqrt{2}$。
情况二：当$3\sqrt{2}$为腰长时
此时三角形三边为$3\sqrt{2}$，$3\sqrt{2}$，$2\sqrt{3}$。
因为$3\sqrt{2}+3\sqrt{2}=6\sqrt{2}=\sqrt{72}$，$2\sqrt{3}=\sqrt{12}$，$\sqrt{72}＞\sqrt{12}$，满足三角形三边关系。
所以周长为$3\sqrt{2}+3\sqrt{2}+2\sqrt{3}=6\sqrt{2}+2\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形性质、三角形三边关系、二次根式运算
【点评】
本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，需要分情况讨论，考查学生分类讨论思想和对知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
- 情况一：当$2\sqrt{3}$为腰长时
此时三角形三边为$2\sqrt{3}$，$2\sqrt{3}$，$3\sqrt{2}$。
因为$2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=4\sqrt{3}=\sqrt{48}$，$3\sqrt{2}=\sqrt{18}$，$\sqrt{48}＞\sqrt{18}$，满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）。
所以周长为$2\sqrt{3}+2\sqrt{3}+3\sqrt{2}=4\sqrt{3}+3\sqrt{2}$。
情况二：当$3\sqrt{2}$为腰长时
此时三角形三边为$3\sqrt{2}$，$3\sqrt{2}$，$2\sqrt{3}$。
因为$3\sqrt{2}+3\sqrt{2}=6\sqrt{2}=\sqrt{72}$，$2\sqrt{3}=\sqrt{12}$，$\sqrt{72}＞\sqrt{12}$，满足三角形三边关系。
所以周长为$3\sqrt{2}+3\sqrt{2}+2\sqrt{3}=6\sqrt{2}+2\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形性质、三角形三边关系、二次根式运算
【点评】
本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，需要分情况讨论，考查学生分类讨论思想和对知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
11. 若最简二次根式$\sqrt{2a+1}$与$\sqrt{1-3a}$的和是一个单项式，那么$a=$
0
.答案
11. 0
解析
【解析】
因为最简二次根式$\sqrt{2a + 1}$与$\sqrt{1 - 3a}$的和是一个单项式，所以$\sqrt{2a + 1}$与$\sqrt{1 - 3a}$是同类二次根式。
同类二次根式的被开方数相同，则$2a + 1 = 1 - 3a$，
移项可得$2a + 3a = 1 - 1$，
即$5a = 0$，
解得$a = 0$。
【答案】
$0$
【知识点】
最简二次根式、同类二次根式、一元一次方程
【点评】
本题考查最简二次根式与同类二次根式的概念，通过建立方程求解$a$的值。
【难度系数】
$0.3$
因为最简二次根式$\sqrt{2a + 1}$与$\sqrt{1 - 3a}$的和是一个单项式，所以$\sqrt{2a + 1}$与$\sqrt{1 - 3a}$是同类二次根式。
同类二次根式的被开方数相同，则$2a + 1 = 1 - 3a$，
移项可得$2a + 3a = 1 - 1$，
即$5a = 0$，
解得$a = 0$。
【答案】
$0$
【知识点】
最简二次根式、同类二次根式、一元一次方程
【点评】
本题考查最简二次根式与同类二次根式的概念，通过建立方程求解$a$的值。
【难度系数】
$0.3$
