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1. 掌握并探索多边形内角和定理.
答案
多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)×180°(n≥3，且n为整数)。
探索过程：
1. 三角形内角和为180°=(3-2)×180°；
2. 四边形可分成2个三角形，内角和为2×180°=(4-2)×180°；
3. 五边形可分成3个三角形，内角和为3×180°=(5-2)×180°；
4. 以此类推，n边形可分成(n-2)个三角形，内角和为(n-2)×180°。
结论：n边形内角和定理为(n-2)×180°(n≥3，n为整数)。
探索过程：
1. 三角形内角和为180°=(3-2)×180°；
2. 四边形可分成2个三角形，内角和为2×180°=(4-2)×180°；
3. 五边形可分成3个三角形，内角和为3×180°=(5-2)×180°；
4. 以此类推，n边形可分成(n-2)个三角形，内角和为(n-2)×180°。
结论：n边形内角和定理为(n-2)×180°(n≥3，n为整数)。
2. 了解多边形外角的特征，探索、归纳多边形外角和定理.
实践与探索
实践与探索
答案
1. 多边形外角特征：多边形的一边与另一边的延长线组成的角是外角；每个顶点处有两个外角，通常取每个顶点一个外角；外角与相邻内角互补（和为180°）。
2. 探索多边形外角和：
三角形：外角和=3×180°-(3-2)×180°=360°；
四边形：外角和=4×180°-(4-2)×180°=360°；
五边形：外角和=5×180°-(5-2)×180°=360°。
3. 多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。
2. 探索多边形外角和：
三角形：外角和=3×180°-(3-2)×180°=360°；
四边形：外角和=4×180°-(4-2)×180°=360°；
五边形：外角和=5×180°-(5-2)×180°=360°。
3. 多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。
例 1 一个多边形，它的内角和是外角和的 3.5 倍，求这个多边形的边数及内角和度数.
答案
设这个多边形的边数为$n$。
根据多边形的内角和公式，其内角和为$(n - 2) × 180{°}$。
根据题意，多边形的内角和是外角和的$3.5$倍，即：
$(n - 2) × 180{°} = 3.5 × 360{°}$，
展开并化简得：
$n × 180{°} - 360{°} = 1260{°}$，
$n × 180{°} = 1620{°}$，
$n = 9$。
将$n = 9$代入内角和公式，得到内角和为：
$(9 - 2) × 180{°} = 1260{°}$。
答：这个多边形的边数是$9$，内角和度数为$1260{°}$。
根据多边形的内角和公式，其内角和为$(n - 2) × 180{°}$。
根据题意，多边形的内角和是外角和的$3.5$倍，即：
$(n - 2) × 180{°} = 3.5 × 360{°}$，
展开并化简得：
$n × 180{°} - 360{°} = 1260{°}$，
$n × 180{°} = 1620{°}$，
$n = 9$。
将$n = 9$代入内角和公式，得到内角和为：
$(9 - 2) × 180{°} = 1260{°}$。
答：这个多边形的边数是$9$，内角和度数为$1260{°}$。
例 2 小明计算一个多边形内角和时，少加了一个内角，其余内角的度数之和是2024°，则少加的内角度数是°，这个多边形的边数是.
训练与提高
训练与提高
答案
设多边形边数为$n$，少加的内角度数为$x$，其中$0° ＜ x ＜ 180°$。
根据多边形内角和公式：$(n-2)×180° = 2024° + x$。
计算$2024÷180 = 11······44$，即$2024 = 180×11 + 44$。
因为$(n-2)×180°$需大于$2024°$且$x ＜ 180°$，所以$n-2 = 12$（若$n-2=11$，内角和$1980° ＜ 2024°$；若$n-2=13$，内角和$2340°$，则$x=316° ＞ 180°$，均不合题意）。
则$n-2=12$，$n=14$，内角和为$12×180°=2160°$。
$x=2160° - 2024°=136°$。
136；14
根据多边形内角和公式：$(n-2)×180° = 2024° + x$。
计算$2024÷180 = 11······44$，即$2024 = 180×11 + 44$。
因为$(n-2)×180°$需大于$2024°$且$x ＜ 180°$，所以$n-2 = 12$（若$n-2=11$，内角和$1980° ＜ 2024°$；若$n-2=13$，内角和$2340°$，则$x=316° ＞ 180°$，均不合题意）。
则$n-2=12$，$n=14$，内角和为$12×180°=2160°$。
$x=2160° - 2024°=136°$。
136；14
1. 如果一个多边形的边数由 5 增加到 n(n 为整数，n＞5)，那么它的外角和的大小将()
A.不变
B.增加
C.减少
D.不能确定
A.不变
B.增加
C.减少
D.不能确定
答案
A
解析
根据多边形的外角和定理，任意多边形的外角和都是$360{°}$，与边数无关。因此，当多边形的边数由5增加到n时，其外角和仍然保持为$360{°}$，不会发生变化。
2. 如图，小林从点 P 向正西走 8 m 后向左转，转动的角度为α，再走8 m 后向左转动α……如此重复，小林共走了 64 m 回到点 P，则α的度数为()
A.30°
B.60°
C.45°
D.75°
A.30°
B.60°
C.45°
D.75°
答案
C
解析
小林从点P出发，每次走8米，总共走了64米，因此一共走了 $ \frac{64}{8} = 8 $ 段路。
小林每次左转一个角度 $ α $，最终回到点P，说明他所走的路线构成一个闭合的多边形。
由于是正方向转动，且每次转动的角度相同，因此该多边形为正多边形。
正多边形的外角和为360°，且每个外角相等，因此 $ α = \frac{360°}{8} = 45° $。
3. 一个多边形的每个外角都等于 36°，从这个多边形的某个顶点画对角线，最多可画条.
答案
因为多边形的外角和为360°，每个外角都等于36°，所以边数为360°÷36°=10。从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线，所以10-3=7。
7
7
4. 一个多边形的内角和与外角和相等，这个多边形是边形，内角和小于外角和的多边形是.
答案
设多边形的边数为$n$。
根据多边形的内角和公式，其内角和为$(n - 2) × 180^{\circ}$，外角和总是$360^{\circ}$。
对于第一个空：
由题意，有：
$(n - 2) × 180^{\circ} = 360^{\circ}$，
$n - 2 = 2$，
$n = 4$，
所以，这个多边形是四边形。
对于第二个空：
需要找到内角和小于外角和的多边形，即：
$(n - 2) × 180^{\circ} ＜ 360^{\circ}$，
$n - 2 ＜ 2$，
$n ＜ 4$，
由于多边形的边数$n$是一个正整数，且至少为3（三角形是最简单的多边形），所以$n$只能取$3$，即这个多边形是三角形。
故答案为：四；三角形。
根据多边形的内角和公式，其内角和为$(n - 2) × 180^{\circ}$，外角和总是$360^{\circ}$。
对于第一个空：
由题意，有：
$(n - 2) × 180^{\circ} = 360^{\circ}$，
$n - 2 = 2$，
$n = 4$，
所以，这个多边形是四边形。
对于第二个空：
需要找到内角和小于外角和的多边形，即：
$(n - 2) × 180^{\circ} ＜ 360^{\circ}$，
$n - 2 ＜ 2$，
$n ＜ 4$，
由于多边形的边数$n$是一个正整数，且至少为3（三角形是最简单的多边形），所以$n$只能取$3$，即这个多边形是三角形。
故答案为：四；三角形。
5. 在四边形 ABCD 中，∠A 与∠C 互补，∠B=55°，求∠D 的度数.
答案
∵四边形内角和为360°，∠A与∠C互补，
∴∠A + ∠C = 180°，
∵∠B = 55°，
∴∠D = 360° - (∠A + ∠C) - ∠B = 360° - 180° - 55° = 125°。
答：∠D的度数为125°。
∴∠A + ∠C = 180°，
∵∠B = 55°，
∴∠D = 360° - (∠A + ∠C) - ∠B = 360° - 180° - 55° = 125°。
答：∠D的度数为125°。
