【例 1】已知 $ n $ 边形的内角和 $ θ = (n - 2) × 180° $。
(1) 甲同学说，$ θ $ 能取 $ 360° $，而乙同学说，$ θ $ 也能取 $ 630° $，甲、乙的说法对吗？若对，求出边数 $ n $；若不对，请说明理由。
(2) 若 $ n $ 边形变为 $ (n + x) $ 边形，发现内角和增加了 $ 360° $，求 $ x $ 的值。

解：(1)
∵ $ 360 ^ { \circ } ÷ 180 ^ { \circ } = 2 $，
$ 630 ^ { \circ } ÷ 180 ^ { \circ } = 3.5 $，
∴甲的说法对，乙的说法不对。
$ 360 ^ { \circ } ÷ 180 ^ { \circ } + 2 = 2 + 2 = 4 $，
甲同学说的边数 $ n $ 是 4。
(2)依题意有 $ ( n + x - 2 ) × 180 ^ { \circ } - ( n - 2 ) × 180 ^ { \circ } = 360 ^ { \circ } $，解得 $ x = 2 $。故 $ x $ 的值是 2。

【变式 1】如图，已知 $ ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 = 280° $，那么 $ ∠ 5 $ 的度数为()


A.$ 70° $
B.$ 80° $
C.$ 90° $
D.$ 100° $

变式1 B

【变式 2】一个多边形的内角和是其外角和的 $ 4 $ 倍，则这个多边形的边数是。

变式2 10

【例 2】如图，$ E $，$ F $ 分别是 $ □ ABCD $ 的边 $ AD $，$ BC $ 的中点，$ G $，$ H $ 是对角线 $ BD $ 上的两点，且 $ BG = DH $。则下列结论中不正确的是()


A.$ GF = EH $
B.四边形 $ EGFH $ 是平行四边形
C.$ EG = FH $
D.$ EH ⊥ BD $

例2 D 【解析】
∵四边形 $ A B C D $ 是平行四边形，
∴ $ B C // A D $，$ B C = A D $，
∴ $ ∠ G B F = ∠ H D E $，$ D E = B F $。
在 $ △ G B F $ 和 $ △ H D E $ 中，
$ \{ \begin{array} { l } { B F = D E , } \\ { ∠ G B F = ∠ H D E , } \\ { B G = D H , } \end{array} $
∴ $ △ G B F ≌ △ H D E ( \mathrm { SAS } ) $，
∴ $ G F = E H $，$ ∠ B G F = ∠ D H E $，
∴ $ ∠ F G H = ∠ E H G $，
∴ $ G F // E H $，
∴四边形 $ E G F H $ 是平行四边形，
∴ $ E G = F H $，故 $ A B C $ 正确。
无法确定 $ E H $ 是否垂直 $ B D $，故 $ D $ 不正确。

【变式】如图，$ □ ABCD $ 的对角线 $ AC $ 和 $ BD $ 相交于点 $ O $，$ EF $ 过点 $ O $，且与 $ AD $，$ BC $ 分别相交于点 $ E $，$ F $。若 $ AB = 5 $，$ BC = 6 $，$ OF = 2 $，则四边形 $ ABFE $ 的周长是。

变式 15

【例 3】如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为 $ 1 $ 个单位长度，$ △ ABC $ 的顶点均在格点上。
(1) 画出 $ △ ABC $ 关于原点 $ O $ 的中心对称图形 $ △ A_1B_1C_1 $。
(2) 将 $ △ DEF $ 绕点 $ E $ 顺时针旋转 $ 90° $ 得到 $ △ D_1EF_1 $，画出 $ △ D_1EF_1 $。
(3) 若 $ △ DEF $ 是由 $ △ ABC $ 绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为。

解：(1)如图，$ △ A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } $ 即为所求。

(2)如图，$ △ D _ { 1 } E F _ { 1 } $ 即为所求。
(3)根据旋转的性质可得，旋转中心为线段 $ A D $ 和 $ C F $ 的垂直平分线的交点，图中点 $ P $ 即为旋转中心，
∴ $ P ( 0,1 ) $，
故答案为 $ ( 0,1 ) $。