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【变式】如图所示，在 $ 3 × 3 $ 正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，再将剩余的白色小正方形任意涂黑一个，则所得黑色图案是中心对称图形的涂法有
3
种。答案
变式 3
【例 4】如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90° $，$ D $，$ E $，$ F $ 分别是其三边的中点，若 $ CD = 5 $，求 $ EF $ 的长。
答案
解：
∵ $ △ A B C $ 是直角三角形，$ C D $ 是斜边的中线，
∴ $ C D = \frac { 1 } { 2 } A B $，
∴ $ A B = 2 C D = 2 × 5 = 10 $。
又
∵ $ E F $ 是 $ △ A B C $ 的中位线，
∴ $ E F = \frac { 1 } { 2 } A B $，
∴ $ E F = \frac { 1 } { 2 } × 10 = 5 $。
∵ $ △ A B C $ 是直角三角形，$ C D $ 是斜边的中线，
∴ $ C D = \frac { 1 } { 2 } A B $，
∴ $ A B = 2 C D = 2 × 5 = 10 $。
又
∵ $ E F $ 是 $ △ A B C $ 的中位线，
∴ $ E F = \frac { 1 } { 2 } A B $，
∴ $ E F = \frac { 1 } { 2 } × 10 = 5 $。
【变式 1】如图，已知 $ AE $，$ CD $ 分别是 $ △ ABC $ 的角平分线和中线，且 $ AE ⊥ CD $，垂足为点 $ F $，$ G $ 为 $ BE $ 的中点，连结 $ DG $。若 $ AE = CD = 8 $，则 $ GC $ 的长为(
A.$ 4\sqrt{5} $
B.$ 4\sqrt{3} $
C.$ 8 $
D.$ 8\sqrt{2} $
A
)A.$ 4\sqrt{5} $
B.$ 4\sqrt{3} $
C.$ 8 $
D.$ 8\sqrt{2} $
答案
变式1 A
【变式 2】如图，在 $ △ ABC $ 中，$ D $，$ E $ 分别是 $ BC $，$ AC $ 的中点，$ BF $ 平分 $ ∠ ABC $，交 $ DE $ 于点 $ F $，若 $ AB = 14 $，$ BC = 10 $，则 $ EF $ 的长为
2
。答案
变式2 2
【例 5】用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤：
① $ ∠ A + ∠ B + ∠ C = 90° + 90° + ∠ C ＞ 180° $，这与三角形内角和为 $ 180° $ 矛盾，故 $ ∠ A = ∠ B = 90° $ 不成立；② 所以一个三角形中不能有两个直角；③ 假设三角形的三个内角 $ ∠ A $，$ ∠ B $，$ ∠ C $ 中有两个直角，不妨设 $ ∠ A = ∠ B = 90° $。正确的序号顺序为(
A.③②①
B.①③②
C.②③①
D.③①②
① $ ∠ A + ∠ B + ∠ C = 90° + 90° + ∠ C ＞ 180° $，这与三角形内角和为 $ 180° $ 矛盾，故 $ ∠ A = ∠ B = 90° $ 不成立；② 所以一个三角形中不能有两个直角；③ 假设三角形的三个内角 $ ∠ A $，$ ∠ B $，$ ∠ C $ 中有两个直角，不妨设 $ ∠ A = ∠ B = 90° $。正确的序号顺序为(
D
)A.③②①
B.①③②
C.②③①
D.③①②
答案
例5 D
【变式】用反证法证明“在六边形中，至少有一个内角不小于 $ 60° $”时，应假设
在六边形中，每个内角都小于 $ 60 ^ { \circ } $
。答案
变式 在六边形中，每个内角都小于 $ 60 ^ { \circ } $
