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9. 如图，若$A'B' // AB$，$B'C' // BC$，$C'A' // CA$，则图中有
3
个平行四边形。答案
9. 3
10. 如图，在等边三角形$ABC$中，$BC = 8\ \mathrm{cm}$，射线$AG // BC$，点$E$从点$A$出发，沿射线$AG$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度运动，同时点$F$从点$B$出发，沿射线$BC$以$4\ \mathrm{cm/s}$的速度运动。设它们运动的时间为$t\ \mathrm{s}$，则当$t =$
$\frac{4}{3}$或 4
时，以点$A$，$C$，$E$，$F$为顶点的四边形是平行四边形。答案
10. $\frac{4}{3}$或 4 [解析]根据题意得，$AE = 2t\ \mathrm{cm}$，$BF = 4t\ \mathrm{cm}$。
分两种情况：
①当点 F 在点 C 的左侧时，$CF = BC - BF = (8 - 4t)\ \mathrm{cm}$，
$\because AG// BC$，
$\therefore$当$AE = CF$时，四边形 AECF 是平行四边形，即$2t = 8 - 4t$，
解得$t = \frac{4}{3}$；
②当点 F 在点 C 的右侧时，$CF = BF - BC = (4t - 8)\ \mathrm{cm}$，
$\because AG// BC$，
$\therefore$当$AE = CF$时，四边形 AEFC 是平行四边形，即$2t = 4t - 8$，
解得$t = 4$。
综上所述，当$t = \frac{4}{3}$或 4 时，以点 A，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形。
分两种情况：
①当点 F 在点 C 的左侧时，$CF = BC - BF = (8 - 4t)\ \mathrm{cm}$，
$\because AG// BC$，
$\therefore$当$AE = CF$时，四边形 AECF 是平行四边形，即$2t = 8 - 4t$，
解得$t = \frac{4}{3}$；
②当点 F 在点 C 的右侧时，$CF = BF - BC = (4t - 8)\ \mathrm{cm}$，
$\because AG// BC$，
$\therefore$当$AE = CF$时，四边形 AEFC 是平行四边形，即$2t = 4t - 8$，
解得$t = 4$。
综上所述，当$t = \frac{4}{3}$或 4 时，以点 A，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形。
11. 如图，在四边形$ABCD$中，$AD // BC$，$P$是射线$BC$上的一个动点(点$P$不与点$B$重合)，连结$DP$，$E$为对角线$BD$的中点，$F$为$DP$的中点。若$BC = 10$，$PC = x$，$EF = y$，则$x$与$y$的函数关系为
$y = -\frac{1}{2}x + 5$或$y = \frac{1}{2}x + 5$
。答案
11. $y = -\frac{1}{2}x + 5$或$y = \frac{1}{2}x + 5$ [解析]①当点 P 在线段 BC 上时，
$\because E$为对角线 BD 的中点，F 为 DP 的中点，
$\therefore EF$是$△ BDP$的中位线，
$\therefore EF = \frac{1}{2}BP$。
$\because BC = 10$，$PC = x$，$EF = y$，
$\therefore BP = BC - PC = 10 - x$，
$\therefore y = \frac{1}{2}(10 - x) = -\frac{1}{2}x + 5$。
②当点 P 在线段 BC 的延长线上时，
$\because E$为对角线 BD 的中点，F 为 DP 的中点，
$\therefore EF$是$△ BDP$的中位线，
$\therefore EF = \frac{1}{2}BP$。
$\because BC = 10$，$PC = x$，$EF = y$，
$\therefore BP = BC + PC = 10 + x$，
$\therefore y = \frac{1}{2}(x + 10) = \frac{1}{2}x + 5$。
$\because E$为对角线 BD 的中点，F 为 DP 的中点，
$\therefore EF$是$△ BDP$的中位线，
$\therefore EF = \frac{1}{2}BP$。
$\because BC = 10$，$PC = x$，$EF = y$，
$\therefore BP = BC - PC = 10 - x$，
$\therefore y = \frac{1}{2}(10 - x) = -\frac{1}{2}x + 5$。
②当点 P 在线段 BC 的延长线上时，
$\because E$为对角线 BD 的中点，F 为 DP 的中点，
$\therefore EF$是$△ BDP$的中位线，
$\therefore EF = \frac{1}{2}BP$。
$\because BC = 10$，$PC = x$，$EF = y$，
$\therefore BP = BC + PC = 10 + x$，
$\therefore y = \frac{1}{2}(x + 10) = \frac{1}{2}x + 5$。
三、解答题(共34分)
12. （17分）如图，四边形$ABCD$的对角线$AC$与$BD$相交于点$O$，现有三个论断：①$AB // CD$；②$AO = CO$；③$AB = CD$。请你选取其中两个作为条件，第三个为结论构造一个真命题，并证明。
12. （17分）如图，四边形$ABCD$的对角线$AC$与$BD$相交于点$O$，现有三个论断：①$AB // CD$；②$AO = CO$；③$AB = CD$。请你选取其中两个作为条件，第三个为结论构造一个真命题，并证明。
答案
12. 解：答案不唯一。如条件：①③，结论：②，
证明：$\because AB// CD$，$AB = CD$，
$\therefore$四边形 ABCD 为平行四边形，
$\therefore AO = CO$。
证明：$\because AB// CD$，$AB = CD$，
$\therefore$四边形 ABCD 为平行四边形，
$\therefore AO = CO$。
13. (17分)如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$分别是$AB$，$AC$的中点。
(1)若$DE = 6$，则$BC =$
(2)连结$CD$，与$BE$相交于点$O$，求证：$CO = 2DO$。
(1)若$DE = 6$，则$BC =$
12
；若$∠ ACB = 65°$，则$∠ AED =$65
$°$。(2)连结$CD$，与$BE$相交于点$O$，求证：$CO = 2DO$。
答案
13. 解：(1)$\because D$，E 分别是 AB，AC 的中点，
$\therefore DE$是$△ ABC$的中位线，
$\therefore BC = 2DE = 12$，$DE// BC$，
$\therefore ∠ AED = ∠ ACB = 65°$。
故答案为：12；65。
(2)证明：如图，分别取 BO，CO 的中点 G，H，连结 DG，GH，EH，
则$GH// BC$，$GH = \frac{1}{2}BC$。
由(1)知，$DE// BC$，$DE = \frac{1}{2}BC$，
$\therefore DE = GH$，$DE// GH$，
$\therefore$四边形 DGHE 为平行四边形，
$\therefore DO = OH = HC$，
即$CO = 2DO$。
