重难点 1 不等式的特殊解
【典例 1】若关于 $x$ 的不等式 $5x + m ≥ 7x$ 的正整数解是 1，2，3，4，则 $m$ 的取值范围为（D）
A. $m ＜ 10$
B. $m ≥ 8$
C. $8 ≤ m ≤ 10$
D. $8 ≤ m ＜ 10$
解析：解 $5x + m ≥ 7x$，得 $x ≤ \frac{m}{2}$，
∵该不等式的正整数解为 1，2，3，4，
∴ $4 ≤ \frac{m}{2} ＜ 5$，解得 $8 ≤ m ＜ 10$。故选 D。

D

解不等式$5x + m ≥ 7x$，移项得$m ≥ 7x - 5x$，即$m ≥ 2x$，所以$x ≤ \frac{m}{2}$。因为不等式的正整数解是1，2，3，4，所以$4 ≤ \frac{m}{2} ＜ 5$，两边同时乘以2得$8 ≤ m ＜ 10$。

【对点训练】
1. 不等式 $2(x + 3) ＞ -2$ 的最小整数解是()
A. -4
B. 2
C. 0
D. -3

D

首先展开不等式 $2(x + 3) ＞ -2$，得到：
$2x + 6 ＞ -2$，
移项得：
$2x ＞ -8$，
除以2得：
$x ＞ -4$，
根据这个不等式，$x$ 可以取任何大于-4的值。
在这些值中，最小的整数是-3。

重难点 2 列一元一次不等式解决实际问题
【典例 2】某社区决定购买黑芝麻汤圆和水晶汤圆共 150 袋慰问社区经济困难家庭，超市里黑芝麻汤圆每袋 6 元，水晶汤圆每袋 10 元，如果预算资金不超过 1260 元，请问最多能购买水晶汤圆多少袋？
解：设购买水晶汤圆 $x$ 袋，则购买黑芝麻汤圆 $(150 - x)$ 袋，
可列不等式为 $6(150 - x) + 10x ≤ 1260$，
解得 $x ≤ 90$。
答：最多能购买水晶汤圆 90 袋。

【解析】：
设购买水晶汤圆 $x$ 袋，则黑芝麻汤圆为 $150 - x$ 袋。
根据单价和预算限制，列不等式：
$6(150 - x) + 10x ≤ 1260$
展开化简：
$900 - 6x + 10x ≤ 1260$
$4x ≤ 360$
$x ≤ 90$
故最多能购买水晶汤圆 90 袋。
【答案】：
最（（结果填入答案框）最终答案） J（（即直接~ 90 对应选项一般为最大整数~ 题目非选择题直接 填数字文字）） 实际应输出
（
【答案】填写 模拟因为非选择 框则直接）
正确清晰表达为：
【答案】：90 的对应选择项（若为填空或直接答则~此处按非选择题处理）
按题要求直接
【答案】90 的数字在框：
【答案】：90

【对点训练】
2. 今年植树节，某班同学共同种植 270 棵树苗，这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵 35 元，乙树苗每棵 20 元，购买这批树苗的总费用不超过 5700 元，请问最多购买甲树苗多少棵？

20

设购买甲树苗$x$棵，则购买乙树苗$(270 - x)$棵。根据题意，得$35x + 20(270 - x) ≤ 5700$，解得$x ≤ 20$。