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基础巩固
1. 下列不等式中，是一元一次不等式的是()
A. $x - y ＜ 1$
B. $x ＜ 2$
C. $3 ＞ 2$
D. $x^{2} ＜ 2$
2. 不等式$4x ＜ 3x + 2$的解集是()
A. $x ＞ - 2$
B. $x ＜ - 2$
C. $x ＞ 2$
D. $x ＜ 2$
3. 关于$x$的方程$4x - 2m + 1 = 5x - 8$的解是非负数，则$m$的取值范围是()
A. $m ≤ 0$
B. $m ≥ \frac{9}{2}$
C. $m ≤ \frac{9}{2}$
D. $m ＞ 0$
4. 已知$x - y = 4$。当$x ＞ 3$时，$y$的取值范围是。
5. 对任意有理数$a$，$b$，$c$，$d$，规定$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$，若$\begin{vmatrix}2x&2\\1&-2\end{vmatrix}＜10$，则$x$的取值范围为 ______ 。
6. 解不等式$2(x + 1) - 1 ≥ 3x + 2$，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来。
7. 定义新运算：对于任意实数$a$，$b$都有$a \oplus b = (a - b)b - 1$，等式右边都是通常的加法、减法、乘法运算，如$1 \oplus 2 = (1 - 2) × 2 - 1 = - 3$。
(1)求$( - 3) \oplus 4$的值；
(2)若$x \oplus 2$的值小于 5，求$x$的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来。
1. 下列不等式中，是一元一次不等式的是()
A. $x - y ＜ 1$
B. $x ＜ 2$
C. $3 ＞ 2$
D. $x^{2} ＜ 2$
2. 不等式$4x ＜ 3x + 2$的解集是()
A. $x ＞ - 2$
B. $x ＜ - 2$
C. $x ＞ 2$
D. $x ＜ 2$
3. 关于$x$的方程$4x - 2m + 1 = 5x - 8$的解是非负数，则$m$的取值范围是()
A. $m ≤ 0$
B. $m ≥ \frac{9}{2}$
C. $m ≤ \frac{9}{2}$
D. $m ＞ 0$
4. 已知$x - y = 4$。当$x ＞ 3$时，$y$的取值范围是。
5. 对任意有理数$a$，$b$，$c$，$d$，规定$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$，若$\begin{vmatrix}2x&2\\1&-2\end{vmatrix}＜10$，则$x$的取值范围为 ______ 。
6. 解不等式$2(x + 1) - 1 ≥ 3x + 2$，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来。
7. 定义新运算：对于任意实数$a$，$b$都有$a \oplus b = (a - b)b - 1$，等式右边都是通常的加法、减法、乘法运算，如$1 \oplus 2 = (1 - 2) × 2 - 1 = - 3$。
(1)求$( - 3) \oplus 4$的值；
(2)若$x \oplus 2$的值小于 5，求$x$的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来。
答案
1. B
2. D
3. C
4. $y＞ - 1$
5. $x ＞ - 3$
6. $x ≤ - 1$，数轴表示略
7. (1) $-29$；(2) $x ＜ 5$，数轴表示略
2. D
3. C
4. $y＞ - 1$
5. $x ＞ - 3$
6. $x ≤ - 1$，数轴表示略
7. (1) $-29$；(2) $x ＜ 5$，数轴表示略
解析
1. 一元一次不等式，是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的不等式。
A 选项含有两个未知数；
B 选项符合定义；
C 选项不含未知数；
D 选项未知数最高次数为 2。
2. 对不等式 $4x ＜ 3x + 2$ 进行移项可得：$4x - 3x ＜ 2$，即 $x ＜ 2$。
3. 先求解方程 $4x - 2m + 1 = 5x - 8$，
移项可得：$4x - 5x = 2m - 1 - 8$，
合并同类项得：$-x = 2m - 9$，
解得：$x = 9 - 2m$。
因为方程的解是非负数，所以 $9 - 2m≥0$，
移项可得：$-2m≥ - 9$，
两边同时除以$-2$，不等号变向，解得：$m ≤ \frac{9}{2}$。
4. 由 $x - y = 4$ 可得 $x = y + 4$。
已知 $x ＞ 3$，则 $y + 4 ＞ 3$，
移项可得：$y ＞ 3 - 4$，即 $y ＞ - 1$。
5. 根据规定可得：$\begin{vmatrix}2x&2\\1& - 2\end{vmatrix} = 2x×(-2) - 2×1 = - 4x - 2$。
则 $- 4x - 2 ＜ 10$，
移项可得：$-4x ＜ 10 + 2$，
即 $-4x ＜ 12$，
两边同时除以$-4$，不等号变向，解得：$x ＞ - 3$。
6. 对不等式 $2(x + 1) - 1 ≥ 3x + 2$ 进行求解：
去括号得：$2x + 2 - 1 ≥ 3x + 2$，
移项可得：$2x - 3x ≥ 2 - 2 + 1$，
合并同类项得：$-x ≥ 1$，
两边同时除以$-1$，不等号变向，解得：$x ≤ - 1$。
在数轴上表示时，画一个实心点表示包含$-1$，然后向左画一条线表示小于$-1$的所有数。
7. (1) 根据新运算定义，$(-3) \oplus 4 = [(-3) - 4]×4 - 1 = (-7)×4 - 1 = -28 - 1 = -29$。
(2) $x \oplus 2 = (x - 2)×2 - 1 = 2x - 4 - 1 = 2x - 5$。
因为 $x \oplus 2$ 的值小于 5，所以 $2x - 5 ＜ 5$，
移项可得：$2x ＜ 5 + 5$，
即 $2x ＜ 10$，
两边同时除以$2$，解得：$x ＜ 5$。
在数轴上表示时，画一个空心点表示不包含$5$，然后向左画一条线表示小于$5$的所有数。
A 选项含有两个未知数；
B 选项符合定义；
C 选项不含未知数；
D 选项未知数最高次数为 2。
2. 对不等式 $4x ＜ 3x + 2$ 进行移项可得：$4x - 3x ＜ 2$，即 $x ＜ 2$。
3. 先求解方程 $4x - 2m + 1 = 5x - 8$，
移项可得：$4x - 5x = 2m - 1 - 8$，
合并同类项得：$-x = 2m - 9$，
解得：$x = 9 - 2m$。
因为方程的解是非负数，所以 $9 - 2m≥0$，
移项可得：$-2m≥ - 9$，
两边同时除以$-2$，不等号变向，解得：$m ≤ \frac{9}{2}$。
4. 由 $x - y = 4$ 可得 $x = y + 4$。
已知 $x ＞ 3$，则 $y + 4 ＞ 3$，
移项可得：$y ＞ 3 - 4$，即 $y ＞ - 1$。
5. 根据规定可得：$\begin{vmatrix}2x&2\\1& - 2\end{vmatrix} = 2x×(-2) - 2×1 = - 4x - 2$。
则 $- 4x - 2 ＜ 10$，
移项可得：$-4x ＜ 10 + 2$，
即 $-4x ＜ 12$，
两边同时除以$-4$，不等号变向，解得：$x ＞ - 3$。
6. 对不等式 $2(x + 1) - 1 ≥ 3x + 2$ 进行求解：
去括号得：$2x + 2 - 1 ≥ 3x + 2$，
移项可得：$2x - 3x ≥ 2 - 2 + 1$，
合并同类项得：$-x ≥ 1$，
两边同时除以$-1$，不等号变向，解得：$x ≤ - 1$。
在数轴上表示时，画一个实心点表示包含$-1$，然后向左画一条线表示小于$-1$的所有数。
7. (1) 根据新运算定义，$(-3) \oplus 4 = [(-3) - 4]×4 - 1 = (-7)×4 - 1 = -28 - 1 = -29$。
(2) $x \oplus 2 = (x - 2)×2 - 1 = 2x - 4 - 1 = 2x - 5$。
因为 $x \oplus 2$ 的值小于 5，所以 $2x - 5 ＜ 5$，
移项可得：$2x ＜ 5 + 5$，
即 $2x ＜ 10$，
两边同时除以$2$，解得：$x ＜ 5$。
在数轴上表示时，画一个空心点表示不包含$5$，然后向左画一条线表示小于$5$的所有数。
素养提升
8.（模型观念）已知$\vert 2m - 6\vert + (3m - n - 5)^{2} = 0$，且$(3n - 2m)x ＜ - 15$，化简$\vert 2x + 5\vert - \vert 2x - 5\vert + 3$。
8.（模型观念）已知$\vert 2m - 6\vert + (3m - n - 5)^{2} = 0$，且$(3n - 2m)x ＜ - 15$，化简$\vert 2x + 5\vert - \vert 2x - 5\vert + 3$。
答案
-7
解析
因为|2m - 6| + (3m - n - 5)² = 0，且|2m - 6|≥0，(3m - n - 5)²≥0，所以2m - 6 = 0，3m - n - 5 = 0。解得m = 3，n = 4。代入(3n - 2m)x ＜ -15，得6x ＜ -15，即x ＜ -5/2。当x ＜ -5/2时，2x + 5 ＜ 0，2x - 5 ＜ 0，所以|2x + 5| - |2x - 5| + 3 = -(2x + 5) - [-(2x - 5)] + 3 = -2x - 5 + 2x - 5 + 3 = -7。
