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知识梳理
1. 一般地，用不等号“＜”“＞”或“≤”“≥”表示不等关系的式子，叫做。用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。
2. 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的。
1. 一般地，用不等号“＜”“＞”或“≤”“≥”表示不等关系的式子，叫做。用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。
2. 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的。
答案
1.不等式；2.解
解析
1.根据不等式的定义，用不等号“＜”“＞”或“≤”“≥”表示不等关系的式子叫做不等式，用“
≠”表示不等关系的式子也是不等式。
2.根据不等式的解的定义，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
≠”表示不等关系的式子也是不等式。
2.根据不等式的解的定义，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
重难点1 不等式的概念
【典例 1】下列式子：①$3x + 4 ＜ 0$；②$y = 3$；③$5x + 3 ＜ y$；④$x + 2y$，其中是不等式的有（ B ）
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
解析：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，所以①$3x + 4 ＜ 0$，③$5x + 3 ＜ y$为不等式，共有 2 个。故选 B。
【典例 1】下列式子：①$3x + 4 ＜ 0$；②$y = 3$；③$5x + 3 ＜ y$；④$x + 2y$，其中是不等式的有（ B ）
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
解析：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，所以①$3x + 4 ＜ 0$，③$5x + 3 ＜ y$为不等式，共有 2 个。故选 B。
答案
B
解析
根据不等式的定义，存在不等关系符号（如＜，＞，≤，≥，≠）的式子为不等式。
①$3x + 4 ＜ 0$含不等号，是不等式；
②$y = 3$为等式，不是不等式；
③$5x + 3 ＜ y$含不等号，是不等式；
④$x + 2y$无不等号，不是不等式。
故不等式共有2个，选B。
①$3x + 4 ＜ 0$含不等号，是不等式；
②$y = 3$为等式，不是不等式；
③$5x + 3 ＜ y$含不等号，是不等式；
④$x + 2y$无不等号，不是不等式。
故不等式共有2个，选B。
【对点训练】
1. 下列数学表达式中：①$-2 ＜ 0$，②$2x + 3y ≥ 0$，③$x = 2$，④$x^{2} + 2xy + y^{2}$，⑤$m ≠ 4$，⑥$a + 1 ＞ 3$，不等式有()
A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个
1. 下列数学表达式中：①$-2 ＜ 0$，②$2x + 3y ≥ 0$，③$x = 2$，④$x^{2} + 2xy + y^{2}$，⑤$m ≠ 4$，⑥$a + 1 ＞ 3$，不等式有()
A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个
答案
A
解析
根据不等式的定义，用不等号表示不等关系的式子叫做不等式。
①$-2＜0$，用了“$＜$”表示不等关系，是不等式。
②$2x + 3y≥0$，用了“$≥$”表示不等关系，是不等式。
③$x = 2$，是等式，不是不等式。
④$x^{2}+2xy + y^{2}$，只是一个代数式，没有表示不等关系，不是不等式。
⑤$m≠4$，用了“$≠$”表示不等关系，是不等式。
⑥$a + 1＞3$，用了“$＞$”表示不等关系，是不等式。
所以①②⑤⑥是不等式，共$4$个。
①$-2＜0$，用了“$＜$”表示不等关系，是不等式。
②$2x + 3y≥0$，用了“$≥$”表示不等关系，是不等式。
③$x = 2$，是等式，不是不等式。
④$x^{2}+2xy + y^{2}$，只是一个代数式，没有表示不等关系，不是不等式。
⑤$m≠4$，用了“$≠$”表示不等关系，是不等式。
⑥$a + 1＞3$，用了“$＞$”表示不等关系，是不等式。
所以①②⑤⑥是不等式，共$4$个。
重难点2 不等式的解
【典例 2】下列是不等式$5x - 3 ＜ 6$的一个解的是（ A ）
A. 1
B. $\frac{9}{5}$
C. 2
D. 3
解析：$5x - 3 ＜ 6$，$5x ＜ 9$，$x ＜ \frac{9}{5}$，
∵$1 ＜ \frac{9}{5} ＜ 2 ＜ 3$，
∴1 是不等式$5x - 3 ＜ 6$的一个解，故选 A。
【典例 2】下列是不等式$5x - 3 ＜ 6$的一个解的是（ A ）
A. 1
B. $\frac{9}{5}$
C. 2
D. 3
解析：$5x - 3 ＜ 6$，$5x ＜ 9$，$x ＜ \frac{9}{5}$，
∵$1 ＜ \frac{9}{5} ＜ 2 ＜ 3$，
∴1 是不等式$5x - 3 ＜ 6$的一个解，故选 A。
答案
A
解析
首先解不等式 $5x - 3 ＜ 6$，
将不等式两边同时加3，得到：
$5x ＜ 9$
再将不等式两边同时除以5，得到：
$x ＜ \frac{9}{5}$
从选项中寻找满足该不等式的数，只有 $1 ＜ \frac{9}{5}$，所以 $1$ 是该不等式的一个解。
将不等式两边同时加3，得到：
$5x ＜ 9$
再将不等式两边同时除以5，得到：
$x ＜ \frac{9}{5}$
从选项中寻找满足该不等式的数，只有 $1 ＜ \frac{9}{5}$，所以 $1$ 是该不等式的一个解。
【对点训练】
2. 3 是下列哪个不等式的解()
A. $x + 3 ＞ 0$
B. $x + 3 ＜ 0$
C. $x - 3 ＞ 0$
D. $x - 5 ＞ 0$
2. 3 是下列哪个不等式的解()
A. $x + 3 ＞ 0$
B. $x + 3 ＜ 0$
C. $x - 3 ＞ 0$
D. $x - 5 ＞ 0$
答案
A
解析
将$x=3$依次代入各选项中的不等式进行验证：
选项A：当$x = 3$时，$x + 3=3 + 3 = 6＞ 0$，所以$x = 3$是不等式$x + 3＞ 0$的解。
选项B：当$x = 3$时，$x + 3 = 6＞ 0$，不满足$x + 3＜ 0$，所以$x = 3$不是不等式$x + 3＜ 0$的解。
选项C：当$x = 3$时，$x - 3 = 3 - 3 = 0$，不满足$x - 3＞ 0$，所以$x = 3$不是不等式$x - 3＞ 0$的解。
选项D：当$x = 3$时，$x - 5 = 3 - 5 = -2＜ 0$，不满足$x - 5＞ 0$，所以$x = 3$不是不等式$x - 5＞ 0$的解。
选项A：当$x = 3$时，$x + 3=3 + 3 = 6＞ 0$，所以$x = 3$是不等式$x + 3＞ 0$的解。
选项B：当$x = 3$时，$x + 3 = 6＞ 0$，不满足$x + 3＜ 0$，所以$x = 3$不是不等式$x + 3＜ 0$的解。
选项C：当$x = 3$时，$x - 3 = 3 - 3 = 0$，不满足$x - 3＞ 0$，所以$x = 3$不是不等式$x - 3＞ 0$的解。
选项D：当$x = 3$时，$x - 5 = 3 - 5 = -2＜ 0$，不满足$x - 5＞ 0$，所以$x = 3$不是不等式$x - 5＞ 0$的解。
基础巩固
1. 下列各式中，不是不等式的是()
A. $x ≥ 3$
B. $x ＜ -5$
C. $x = -1$
D. $x ≠ -3$
2. 在下列所表示的不等式的解集中，不包括$-5$的是()
A. $x ≤ -4$
B. $x ≥ -5$
C. $x ≤ -6$
D. $x ≥ -7$
3. 若$x = 3$是某个一元一次不等式的一个解，则这个一元一次不等式可能是()
A. $2x - 1 ≤ 3$
B. $-3x + 1 ≥ 4$
C. $6x + 2 ＞ 11x - 3$
D. $-\frac{1}{2}x + 4 ＜ 1 + \frac{5}{2}x$
4. 下列说法错误的是()
A. $x = 0$是不等式$2x ＜ 3$的一个解
B. 不等式$x ＜ 3$的整数解有无数个
C. $x = -4$不是不等式$-2x ＜ 8$的一个解
D. 不等式$x ＜ 0$的整数解是 0
5. 用不等号填空：
(1)$-2$$6$；
(2)$-|-8|$$|-9.8|$；
(3)$-4$$-3.5$；
(4)$2×(-3)$$10×(-3)$。
6. 生物兴趣小组在温箱里培育 A，B 两种菌，A 种菌的生长温度$x$的取值范围是$35℃ ≤ x ≤ 38℃$，B 种菌的生长温度$y$的取值范围是$34℃ ≤ y ≤ 36℃$，那么温箱里的温度$T$的范围应该是。(用不等式表示)
1. 下列各式中，不是不等式的是()
A. $x ≥ 3$
B. $x ＜ -5$
C. $x = -1$
D. $x ≠ -3$
2. 在下列所表示的不等式的解集中，不包括$-5$的是()
A. $x ≤ -4$
B. $x ≥ -5$
C. $x ≤ -6$
D. $x ≥ -7$
3. 若$x = 3$是某个一元一次不等式的一个解，则这个一元一次不等式可能是()
A. $2x - 1 ≤ 3$
B. $-3x + 1 ≥ 4$
C. $6x + 2 ＞ 11x - 3$
D. $-\frac{1}{2}x + 4 ＜ 1 + \frac{5}{2}x$
4. 下列说法错误的是()
A. $x = 0$是不等式$2x ＜ 3$的一个解
B. 不等式$x ＜ 3$的整数解有无数个
C. $x = -4$不是不等式$-2x ＜ 8$的一个解
D. 不等式$x ＜ 0$的整数解是 0
5. 用不等号填空：
(1)$-2$$6$；
(2)$-|-8|$$|-9.8|$；
(3)$-4$$-3.5$；
(4)$2×(-3)$$10×(-3)$。
6. 生物兴趣小组在温箱里培育 A，B 两种菌，A 种菌的生长温度$x$的取值范围是$35℃ ≤ x ≤ 38℃$，B 种菌的生长温度$y$的取值范围是$34℃ ≤ y ≤ 36℃$，那么温箱里的温度$T$的范围应该是。(用不等式表示)
答案
1.C；2.C；3.D；4.D；5.(1)＜；(2)＜；(3)＜；(4)＞；6.35℃ ≤ T ≤ 36℃。
解析
1.不等式是可以表示两个量之间不相等关系的式子，通常用“＞”、“＜”、“≥”或“≤”、“≠”连接，
选项A、B和D都是不等式，C选项是一个等式，
本题选C。
2.对于选项A，解集包括所有小于或等于-4的数，不包括-5以外的更小的数（比如-5.5, -6等，但此题特别指出不包括-5的解集，而A选项的解集确实不包括-5的“单独”判断时我们应看其是否“可以”包含，但此处是寻找不包括-5的解集，所以A的解集范围虽然不单独排除-5但由于其上限是-4，所以-5不在其解集内，但更准确的判断应看C选项的明确排除），但更准确的是C选项明确不包括-5，因为其解集上限是-6，更精确地排除了-5，继续分析B和D，B的解集包括-5和所有更大的数，D的解集也包括-5（因为-5 ＞ -7），所以只有C选项的解集明确不包括-5，因为其解集是所有小于或等于-6的数。
本题选C。
3.对于选项A，代入x=3，得2×3-1=5，而5＞3，所以x=3不是该不等式的解，故A选项错误；
对于选项B，代入x=3，得-3×3+1=-8，而-8＜4，在x=3时不等式不成立，故B选项错误；
对于选项C，代入x=3，得6×3+2=20，11×3-3=30，因为20＜30-3(即27?此处为说明不等关系，实际比较是20＜30-原式比较无需改写)，但原不等式是6x+2＞11x-3，代入后得20＞27-3(即20＞?此处直接比较20和通过计算11x-3得到的值)，实际上11×3-3=30，比较的是20＞30-3(的简化思考，直接20＜30-原不等式方向是大于，但20不大于30-所以不等式在x=3时不成立?需要明确说明)，直接计算知6×3+2=20，而11×3-3=30-3=27，因为20＜27-所以不等式6x+2＞11x-3在x=3时不成立，但题目要求找可能的不等式，我们继续验证D选项；
对于选项D，代入x=3，得$-\frac{1}{2}×3+4=2.5$，$1+\frac{5}{2}×3=1+7.5=8.5$，因为2.5＜8.5-所以不等式-\frac{1}{2}x+4＜1+\frac{5}{2}x在x=3时成立，本题选D。4.对于A选项，x=0时，2x=0，显然0＜3，所以x=0是不等式2x＜3的一个解，A选项正确；对于B选项，不等式x＜3的整数解包括所有小于3的整数，即2,1,0,-1,-2,\ldots，有无数个，B选项正确；对于C选项，不等式-2x＜8，两边同时除以-2（注意不等号方向要反转），得到x＞-4，所以x=-4不是该不等式的解，C选项正确；对于D选项，不等式x＜0的整数解应该是所有小于0的整数，即-1,-2,-3,\ldots，而不是0，D选项错误，本题选D。5.(1)对于-2和6，显然-2＜6，所以填＜；(2)对于-|-8|和|-9.8|，计算得-|-8|=-8，|-9.8|=9.8，显然-8＜9.8，所以填＜；(3)对于-4和-3.5，由于两者都是负数，且|-4|＞|-3.5|，所以-4＜-3.5，填＜；(4)对于2×(-3)和10×(-3)，计算得2×(-3)=-6，10×(-3)=-30，由于-6＞-30，所以填＞，本题答案是：＜；＜；＜；＞。6.A种菌的生长温度x的取值范围是35° C≤ x≤38° C，B种菌的生长温度y的取值范围是34° C≤ y≤36° C，温箱里的温度T需要同时满足A、B两种菌的生长温度要求，即T的下限是A、B两种菌生长温度下限中的较大者，T的上限是A、B两种菌生长温度上限中的较小者，因此，温箱里的温度T的范围应该是35° C≤ T≤36° C，本题答案是：35℃ ≤ T ≤ 36℃。
选项A、B和D都是不等式，C选项是一个等式，
本题选C。
2.对于选项A，解集包括所有小于或等于-4的数，不包括-5以外的更小的数（比如-5.5, -6等，但此题特别指出不包括-5的解集，而A选项的解集确实不包括-5的“单独”判断时我们应看其是否“可以”包含，但此处是寻找不包括-5的解集，所以A的解集范围虽然不单独排除-5但由于其上限是-4，所以-5不在其解集内，但更准确的判断应看C选项的明确排除），但更准确的是C选项明确不包括-5，因为其解集上限是-6，更精确地排除了-5，继续分析B和D，B的解集包括-5和所有更大的数，D的解集也包括-5（因为-5 ＞ -7），所以只有C选项的解集明确不包括-5，因为其解集是所有小于或等于-6的数。
本题选C。
3.对于选项A，代入x=3，得2×3-1=5，而5＞3，所以x=3不是该不等式的解，故A选项错误；
对于选项B，代入x=3，得-3×3+1=-8，而-8＜4，在x=3时不等式不成立，故B选项错误；
对于选项C，代入x=3，得6×3+2=20，11×3-3=30，因为20＜30-3(即27?此处为说明不等关系，实际比较是20＜30-原式比较无需改写)，但原不等式是6x+2＞11x-3，代入后得20＞27-3(即20＞?此处直接比较20和通过计算11x-3得到的值)，实际上11×3-3=30，比较的是20＞30-3(的简化思考，直接20＜30-原不等式方向是大于，但20不大于30-所以不等式在x=3时不成立?需要明确说明)，直接计算知6×3+2=20，而11×3-3=30-3=27，因为20＜27-所以不等式6x+2＞11x-3在x=3时不成立，但题目要求找可能的不等式，我们继续验证D选项；
对于选项D，代入x=3，得$-\frac{1}{2}×3+4=2.5$，$1+\frac{5}{2}×3=1+7.5=8.5$，因为2.5＜8.5-所以不等式-\frac{1}{2}x+4＜1+\frac{5}{2}x在x=3时成立，本题选D。4.对于A选项，x=0时，2x=0，显然0＜3，所以x=0是不等式2x＜3的一个解，A选项正确；对于B选项，不等式x＜3的整数解包括所有小于3的整数，即2,1,0,-1,-2,\ldots，有无数个，B选项正确；对于C选项，不等式-2x＜8，两边同时除以-2（注意不等号方向要反转），得到x＞-4，所以x=-4不是该不等式的解，C选项正确；对于D选项，不等式x＜0的整数解应该是所有小于0的整数，即-1,-2,-3,\ldots，而不是0，D选项错误，本题选D。5.(1)对于-2和6，显然-2＜6，所以填＜；(2)对于-|-8|和|-9.8|，计算得-|-8|=-8，|-9.8|=9.8，显然-8＜9.8，所以填＜；(3)对于-4和-3.5，由于两者都是负数，且|-4|＞|-3.5|，所以-4＜-3.5，填＜；(4)对于2×(-3)和10×(-3)，计算得2×(-3)=-6，10×(-3)=-30，由于-6＞-30，所以填＞，本题答案是：＜；＜；＜；＞。6.A种菌的生长温度x的取值范围是35° C≤ x≤38° C，B种菌的生长温度y的取值范围是34° C≤ y≤36° C，温箱里的温度T需要同时满足A、B两种菌的生长温度要求，即T的下限是A、B两种菌生长温度下限中的较大者，T的上限是A、B两种菌生长温度上限中的较小者，因此，温箱里的温度T的范围应该是35° C≤ T≤36° C，本题答案是：35℃ ≤ T ≤ 36℃。
