素养提升
7. （应用意识）用两根长度均为$a cm$的绳子，分别围成一个正方形和一个圆。
（1）如果要使正方形的面积不大于$25 cm^{2}$，那么$a$应满足怎样的关系式？
（2）如果要使圆的面积大于$100 cm^{2}$，那么$a$应满足怎样的关系式？
（3）当$a = 8$时，正方形的面积和圆的面积哪个大？当$a = 12$时呢？
（4）通过（3）你能得到什么猜想？

（1）$\frac{a^{2}}{16} ≤ 25$；
（2）$a^{2} ＞ 4 0 0π$；
（3）当$a = 8$时，圆的面积大；当$a = 12$时，圆的面积大；
（4）（此题无选项，答案为）用一定长度的绳子围成正方形和圆，围成的圆的面积总是大于围成的正方形的面积。

（1）设绳子长为$a cm$，围成正方形，则正方形的边长为$\frac{a}{4} cm$，根据正方形面积公式和题目条件“面积不大于$25cm^{2}$”列出不等式：$(\frac{a}{4})^{2} ≤ 25$。
即$\frac{a^{2}}{16} ≤ 25$。
（2）设绳子长为$a cm$，围成圆，则圆的周长为$a cm$，根据圆的周长公式$C = 2π r$（$C$为周长，$r$为半径），可得圆的半径$r = \frac{a}{2π}$。
再根据圆的面积公式$S=π r^{2}$（$S$为面积），可得圆的面积$S = π(\frac{a}{2π})^{2}$。
由圆的面积大于$100cm^{2}$，列出不等式：$π(\frac{a}{2π})^{2}＞100$，
即$a^{2} ＞ 400π × \frac{4}{π} × π$（此步为对不等式进行化简铺垫），进一步化简为$a^{2}＞400 × 4 ÷ π × π$（实际直接由$π(\frac{a}{2π})^{2}＞100$化简为$a^{2}＞400π$），也就是$a^{2} ＞ 400π$。
（3）当$a = 8$时：
正方形边长为$\frac{8}{4}=2cm$，根据正方形面积公式$S = a^{2}$（此处$a$为边长，为避免混淆可记为正方形面积$S_{正}=边长×边长$），可得正方形面积$S_{正}=2× 2 = 4cm^{2}$。
圆的半径$r = \frac{8}{2π}=\frac{4}{π}cm$，根据圆的面积公式$S_{圆}=π r^{2}$，可得圆的面积$S_{圆}=π(\frac{4}{π})^{2}=\frac{16}{π}\approx 5.1cm^{2}$。
因为$5.1 ＞ 4$，所以圆的面积大。
当$a = 12$时：
正方形边长为$\frac{12}{4} = 3cm$，正方形面积$S_{正}=3× 3 = 9cm^{2}$。
圆的半径$r=\frac{12}{2π}=\frac{6}{π}cm$，圆的面积$S_{圆}=π(\frac{6}{π})^{2}=\frac{36}{π}\approx 11.46cm^{2}$。
因为$11.46＞9$，所以圆的面积大。
（4）由（3）中当$a = 8$和$a = 12$时，都是圆的面积大于正方形面积，可猜想：用一定长度的绳子围成正方形和圆，围成的圆的面积总是大于围成的正方形的面积。

知识梳理
1. 对于一个含有未知数的不等式，它的所有组成这个不等式的解集。
2. 一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示。
3. 不等式的可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解。

解；解集

1. 解；2. 解集

重难点 不等式的解集在数轴上的表示
【典例】若不等式的解集为 $ x ＞ - 1 $，则以下数轴表示中正确的是（D）

解析：在数轴上表示 $ x ＞ - 1 $ 如下：

故选 D。

D

在数轴上表示 $ x ＞ -1 $ 时，应在一个开圆点（空心圆圈）表示 $ -1 $，并在 $ -1 $ 的右边画一条射线，表示 $ x $ 大于 $ -1 $ 的所有数。选项 D 符合这个表示方法。