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5. 唐代诗人王之涣说“欲穷千里目,更上一层楼”. 理论上到底要站多高才能“穷千里目”？如图,圆弧为地球剖面的一部分,球心为O,AB为直立于地面的某高山,AC为站在山顶处的人的视线,AC与OC垂直. 设AC= 500 km(即1000里),取地球半径为6400 km,山AB至少要多高才能“穷千里目”？(精确到1 km)
答案
20 km
解析
设地球半径为 $ R = 6400 \, \mathrm{km} $，视线 $ AC = 500 \, \mathrm{km} $，山高 $ AB = h \, \mathrm{km} $。
因为 $ AC ⊥ OC $，所以 $ △ OAC $ 是直角三角形，其中 $ OA = R + h $，$ OC = R $，$ AC = 500 \, \mathrm{km} $。
由勾股定理得：$ OA^2 = OC^2 + AC^2 $，即 $ (R + h)^2 = R^2 + AC^2 $。
代入数据：$ (6400 + h)^2 = 6400^2 + 500^2 $。
展开并化简：$ 6400^2 + 2 × 6400h + h^2 = 6400^2 + 250000 $。
忽略 $ h^2 $（$ h $ 远小于 $ R $）：$ 2 × 6400h \approx 250000 $。
解得：$ h \approx \frac{250000}{2 × 6400} \approx 19.53 $。
精确到1 km，$ h \approx 20 \, \mathrm{km} $。
因为 $ AC ⊥ OC $，所以 $ △ OAC $ 是直角三角形，其中 $ OA = R + h $，$ OC = R $，$ AC = 500 \, \mathrm{km} $。
由勾股定理得：$ OA^2 = OC^2 + AC^2 $，即 $ (R + h)^2 = R^2 + AC^2 $。
代入数据：$ (6400 + h)^2 = 6400^2 + 500^2 $。
展开并化简：$ 6400^2 + 2 × 6400h + h^2 = 6400^2 + 250000 $。
忽略 $ h^2 $（$ h $ 远小于 $ R $）：$ 2 × 6400h \approx 250000 $。
解得：$ h \approx \frac{250000}{2 × 6400} \approx 19.53 $。
精确到1 km，$ h \approx 20 \, \mathrm{km} $。
6. 如图,A处的居民楼与马路相距14 m,当居民楼与马路上行驶的汽车距离小于50 m时就会受到噪声污染. 如果汽车以15 m/s的速度行驶经过,那么会给这栋居民楼带来多长时间的噪声污染？
答案
解：由题意知，AB⊥马路，AB=14m。设汽车行驶到点C时开始对居民楼产生噪声污染，行驶到点D时结束噪声污染，则AC=AD=50m。
在Rt△ABC中，根据勾股定理：
$BC^2 = AC^2 - AB^2$
$BC^2 = 50^2 - 14^2 = 2500 - 196 = 2304$
$BC = \sqrt{2304} = 48 \, \mathrm{m}$
同理，BD=BC=48m，所以CD=BC+BD=48+48=96m。
汽车速度v=15m/s，污染时间t=CD÷v=96÷15=6.4s。
答：会给这栋居民楼带来6.4s的噪声污染。
在Rt△ABC中，根据勾股定理：
$BC^2 = AC^2 - AB^2$
$BC^2 = 50^2 - 14^2 = 2500 - 196 = 2304$
$BC = \sqrt{2304} = 48 \, \mathrm{m}$
同理，BD=BC=48m，所以CD=BC+BD=48+48=96m。
汽车速度v=15m/s，污染时间t=CD÷v=96÷15=6.4s。
答：会给这栋居民楼带来6.4s的噪声污染。
