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1. 长方形ABCD的长和宽分别为a,b,对角线的长为________.
答案
$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$（此处按照要求以数学表达式呈现答案，若按照只填字母等类似要求无法准确对应，因题目不是选择题形式）。
解析
根据勾股定理，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。在长方形$ABCD$中，长和宽与对角线构成直角三角形，长和宽为直角边，对角线为斜边。已知长方形长和宽分别为$a$，$b$，设对角线长为$c$，则有$c^{2}=a^{2}+b^{2}$，所以$c = \sqrt{a^{2}+b^{2}}$。
2. 在△ABC中,AB= AC,若AB= 10,BC= 12,则中线AD的长为________.
答案
8（题目已经给出具体值，此处在答案处填写最终数值结果即可）。
解析
由于$AB=AC$，知道$\bigtriangleup ABC$是等腰三角形，
根据等腰三角形的性质，三线合一，所以中线$AD$也是$BC$边上的高。
设$D$为$BC$的中点，则$BD=\frac{BC}{2}=6$。
在直角三角形$\bigtriangleup ABD$中，利用勾股定理，有：
$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$，
所以，中线$AD$的长度为8。
根据等腰三角形的性质，三线合一，所以中线$AD$也是$BC$边上的高。
设$D$为$BC$的中点，则$BD=\frac{BC}{2}=6$。
在直角三角形$\bigtriangleup ABD$中，利用勾股定理，有：
$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$，
所以，中线$AD$的长度为8。
3. 如图,在长方形纸片ABCD中,AB= 4 cm,BC= 8 cm,如果将该长方形沿对角线BD折叠,则图中阴影部分的面积为$\_\_\_\_\_\_cm^2.$
答案
10
解析
设AD与BC'交于点E，设AE=x cm，则ED=(8-x)cm。由折叠性质知∠CBD=∠C'BD，又AD//BC，故∠ADB=∠CBD，从而∠ADB=∠C'BD，得BE=ED=(8-x)cm。在Rt△ABE中，AB=4cm，由勾股定理得4²+x²=(8-x)²，解得x=3。则ED=5cm，阴影部分△BED面积=1/2×ED×AB=1/2×5×4=10cm²。
4. 如图,两平行线$l_1$和$l_2$之间的距离是4,点A,B分别在$l_1$和$l_2$上,且$l_1$和AB所成的角∠BAC= 135°,则AB的长为( )
A.$\sqrt{8}$
B.$\sqrt{32}$
C.4
D.8
A.$\sqrt{8}$
B.$\sqrt{32}$
C.4
D.8
答案
B
解析
过点B作$ l_1 $的垂线，垂足为D，由平行线间距离为4得BD=4，且∠ADB=90°。因为∠BAC=135°，AC在$ l_1 $上，所以AB与$ l_1 $所成锐角为180°-135°=45°，即∠BAD=45°。在Rt△ABD中，∠BAD=45°，故AD=BD=4。由勾股定理得$ AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32} $。
5. 如图,在△ABC中,∠BAC= 90°,AD⊥BC,垂足为D.已知BD= 3,AB= 5,则CD的长为( )
A.$\frac{16}{3}$
B.$\frac{8}{3}$
C.4
D.$\sqrt{34}$
A.$\frac{16}{3}$
B.$\frac{8}{3}$
C.4
D.$\sqrt{34}$
答案
A
解析
由题意，$△ ABC$中，$∠ BAC = 90°$，$AD ⊥ BC$，
根据射影定理可知，$AB^2 = BD · BC$。
已知$BD = 3$，$AB = 5$，代入得：
$5^2 = 3 · BC \implies BC = \frac{25}{3}$，
$CD$为$BC$与$BD$之差，即：
$CD = BC - BD = \frac{25}{3} - 3 = \frac{25 - 9}{3} = \frac{16}{3}$。
根据射影定理可知，$AB^2 = BD · BC$。
已知$BD = 3$，$AB = 5$，代入得：
$5^2 = 3 · BC \implies BC = \frac{25}{3}$，
$CD$为$BC$与$BD$之差，即：
$CD = BC - BD = \frac{25}{3} - 3 = \frac{25 - 9}{3} = \frac{16}{3}$。
6. 求图中三角形和四边形的面积：
答案
①√3；②60；③18。
解析
① 等边三角形边长为2，作高h，由勾股定理得h²+1²=2²，h=√3，面积=2×√3÷2=√3。
② 等腰三角形两腰13，底边10，底边上的高h，h²+5²=13²，h=12，面积=10×12÷2=60。
③ 直角梯形AD=3，BC=6，AB=5，过A作AE⊥BC，BE=6-3=3，AE²+3²=5²，AE=4，面积=(3+6)×4÷2=18。
② 等腰三角形两腰13，底边10，底边上的高h，h²+5²=13²，h=12，面积=10×12÷2=60。
③ 直角梯形AD=3，BC=6，AB=5，过A作AE⊥BC，BE=6-3=3，AE²+3²=5²，AE=4，面积=(3+6)×4÷2=18。
