1. 车床齿轮箱壳要钻两个圆孔,如图,两孔中心的距离是134 mm,两孔中心的水平距离是77 mm. 两孔中心的垂直距离是________(结果精确到0.1 mm).

109.7

题中已知两孔中心的距离为斜边，水平距离和垂直距离分别为一条直角边和另一条直角边。设两孔中心的垂直距离为 $AC$，根据勾股定理，有：
$ AB^2 = BC^2 + AC^2 $，
其中，$AB = 134 \mathrm{mm}$，$BC = 77 \mathrm{mm}$。
代入已知数值：
$ 134^2 = 77^2 + AC^2 $，
$ 17956 = 5929 + AC^2 $，
$ AC^2 = 17956 - 5929 $，
$ AC^2 = 12027 $，
$ AC = \sqrt{12027} \approx 109.7 \mathrm{mm} $。

2. 如图所示的象棋盘中,每个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发,不走重复路线,按照“马走日”的规则,走两步后的落点与出发点间的最短距离为________.

√2

设“马”的初始位置为点A，建立坐标系，设A为(0,0)。“马走日”即从(x,y)可走到(x±2,y±1)或(x±1,y±2)。第一步马有8个可能位置，以B1(2,1)为例，第二步可到(1,-1)等点。计算各落点到A的距离，其中(1,-1)、(-1,1)等点与A的距离为√(1²+1²)=√2，为最短距离。

3. 《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广,竿不知长短,横之不出四尺,从之不出二尺,邪之适出,问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿,不知其长短,横放,竿比门宽长出4尺；竖放,竿比门高长出2尺；斜放,竿与门对角线恰好相等. 问门高、宽和对角线的长各是多少？设竿长为x尺,则可列方程( )

A.$x^{2}= (x+4)^{2}+(x+2)^{2}$
B.$x^{2}= (x-4)^{2}+(x+2)^{2}$
C.$x^{2}= (x+4)^{2}+(x-2)^{2}$
D.$x^{2}= (x-4)^{2}+(x-2)^{2}$

D

设门宽为$x - 4$尺，门高为$x - 2$尺（因为横放竿比门宽长出4尺，竖放竿比门高长出2尺，竿长设为$x$尺），竿长与门对角线长相等，根据勾股定理，门对角线的平方等于门宽的平方加上门高的平方，即$x^{2}=(x - 4)^{2}+(x - 2)^{2}$。

4. 如图,一架梯子斜靠在竖直的墙上,梯子顶端距地面4 m. 若梯子的顶端沿墙下滑1 m,这时梯子的底端也右滑1 m,则梯子的长度为( )

A.5 m
B.6 m
C.3 m
D.7 m

A

设梯子长度为$x$米，梯子底端初始距墙$y$米。
由勾股定理，初始状态：$x^2 = 4^2 + y^2$。
顶端下滑1米后，顶端距地$4 - 1 = 3$米，底端右滑1米后距墙$y + 1$米，此时：$x^2 = 3^2 + (y + 1)^2$。
联立方程：$4^2 + y^2 = 3^2 + (y + 1)^2$，
展开得$16 + y^2 = 9 + y^2 + 2y + 1$，
化简得$16 = 10 + 2y$，解得$y = 3$。
代入$x^2 = 4^2 + 3^2 = 25$，则$x = 5$。