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1. 某超市把一种商品按成本价 $ a $ 元提高 $ 60\% $ 标价,然后再以七折优惠卖出,求这种商品的售价比成本多多少。
答案
解:这种商品的售价比成本多
a(1+60%)×0.7-a=0.12a(元).
a(1+60%)×0.7-a=0.12a(元).
解析
【分析】要解决该问题，需先明确销售问题中各量的关系：首先根据成本价和提价比例求出标价，再结合折扣求出售价，最后用售价减去成本价，就能得到售价比成本多的金额，过程中正确化简整式即可。
【解析】
第一步：求商品的标价
已知成本价为$a$元，按成本提高60%标价，因此标价为 $ a(1 + 60\%) $ 元；
第二步：求商品的售价
以七折优惠卖出，即售价是标价的70%，因此售价为 $ a(1 + 60\%) × 0.7 $ 元；
第三步：计算售价比成本多的金额
用售价减去成本价，列式得：
$ a(1 + 60\%) × 0.7 - a $
化简计算：
$ =1.6a × 0.7 - a $
$ =1.12a - a $
$ =0.12a $（元）
【答案】
0.12a元
【知识点】
列代数式、整式化简、打折销售计算
【点评】
本题是整式在实际生活中的基础应用，解题关键是理清成本、标价、售价三者的数量关系，按顺序列式计算即可，计算时注意百分数与小数的换算不要出错。
【难度系数】
0.8
【解析】
第一步：求商品的标价
已知成本价为$a$元，按成本提高60%标价，因此标价为 $ a(1 + 60\%) $ 元；
第二步：求商品的售价
以七折优惠卖出，即售价是标价的70%，因此售价为 $ a(1 + 60\%) × 0.7 $ 元；
第三步：计算售价比成本多的金额
用售价减去成本价，列式得：
$ a(1 + 60\%) × 0.7 - a $
化简计算：
$ =1.6a × 0.7 - a $
$ =1.12a - a $
$ =0.12a $（元）
【答案】
0.12a元
【知识点】
列代数式、整式化简、打折销售计算
【点评】
本题是整式在实际生活中的基础应用，解题关键是理清成本、标价、售价三者的数量关系，按顺序列式计算即可，计算时注意百分数与小数的换算不要出错。
【难度系数】
0.8
2. (2024·杭州)定义：对任意一个两位数 $ m $,如果满足个位数字与十位数字互不相同,且都不为零,那么称这个两位数为“互异数”。将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数,把这个新两位数减去原两位数后的结果与 $ 9 $ 的商记为 $ f(m) $。例如：$ m = 13 $,对调个位数字与十位数字得到新两位数 $ 31 $,新两位数与原两位数的差为 $ 31 - 13 = 18 $,与 $ 9 $ 的商为 $ 18 ÷ 9 = 2 $,所以 $ f(13) = 2 $。根据以上定义,请计算：$ f(51) = $______；若“互异数”$ m $ 的个位数字是 $ a $,十位数字是 $ b $,则 $ f(m) = $______(用含 $ a $,$ b $ 的代数式表示)。
答案
-4 a-b
解析
【分析】
首先明确题中“互异数”和f(m)的定义规则，第一问直接参照示例步骤求解：先得到51对调数位后的新数，计算新数减原数的差，再用差除以9即可得到f(51)；第二问先根据两位数的表示方法，用含a、b的代数式分别写出原互异数和对调后的新数，再按照f(m)的运算规则列式化简即可得到结果。
【解析】
1. 计算$f(51)$：
对调51的个位与十位数字，得到新两位数15，
新两位数与原两位数的差为：$15-51=-36$，
根据定义得：$f(51)=-36÷9=-4$。
2. 推导含$a$、$b$的$f(m)$表达式：
已知互异数$m$的十位数字是$b$，个位数字是$a$，因此原数可表示为$10b+a$，
对调数位后的新两位数可表示为$10a+b$，
新数与原数的差为：$(10a+b)-(10b+a)=10a+b-10b-a=9a-9b$，
将差除以9得：$(9a-9b)÷9=a-b$，即$f(m)=a-b$。
【答案】
$-4$；$a-b$
【知识点】
新定义运算，整式的加减，列代数式
【点评】
本题考查对新定义规则的理解和基础运算能力，只要准确读懂定义、按规则逐步计算，注意整式加减时的符号处理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
首先明确题中“互异数”和f(m)的定义规则，第一问直接参照示例步骤求解：先得到51对调数位后的新数，计算新数减原数的差，再用差除以9即可得到f(51)；第二问先根据两位数的表示方法，用含a、b的代数式分别写出原互异数和对调后的新数，再按照f(m)的运算规则列式化简即可得到结果。
【解析】
1. 计算$f(51)$：
对调51的个位与十位数字，得到新两位数15，
新两位数与原两位数的差为：$15-51=-36$，
根据定义得：$f(51)=-36÷9=-4$。
2. 推导含$a$、$b$的$f(m)$表达式：
已知互异数$m$的十位数字是$b$，个位数字是$a$，因此原数可表示为$10b+a$，
对调数位后的新两位数可表示为$10a+b$，
新数与原数的差为：$(10a+b)-(10b+a)=10a+b-10b-a=9a-9b$，
将差除以9得：$(9a-9b)÷9=a-b$，即$f(m)=a-b$。
【答案】
$-4$；$a-b$
【知识点】
新定义运算，整式的加减，列代数式
【点评】
本题考查对新定义规则的理解和基础运算能力，只要准确读懂定义、按规则逐步计算，注意整式加减时的符号处理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
3. 将图(1)中周长为 $ 32 $ 的长方形纸片剪成 $ 1 $ 号、$ 2 $ 号、$ 3 $ 号、$ 4 $ 号正方形和 $ 5 $ 号长方形,并将它们按如图(2)所示的方式放入周长为 $ 48 $ 的长方形中,则没有覆盖的阴影部分的周长为( )
A.$ 16 $
B.$ 24 $
C.$ 30 $
D.$ 40 $
A.$ 16 $
B.$ 24 $
C.$ 30 $
D.$ 40 $
答案
D
解析
【分析】
解题时先设1号正方形边长为$x$，2号正方形边长为$y$，根据图1中各图形的边长关系，用$x$、$y$表示出3号、4号正方形的边长，再结合图1长方形周长为32的条件，求出$x+y$的定值。接着观察图2，通过平移阴影部分的边，推导得出阴影部分周长和大长方形周长、$x+y$的关系，代入数值即可算出结果。
【解析】
设1号正方形的边长为$x$，2号正方形的边长为$y$。
由图1的边长关系可得：
3号正方形的边长为$x+y$，4号正方形的边长为$(x+y)+x=y+2x$；
图1中长方形的长为$(x+y)+(y+2x)=3x+2y$，宽为$(x+y)+y=x+2y$。
已知图1长方形周长为32，根据长方形周长公式列方程：
$2×[(3x+2y)+(x+2y)]=32$
化简得：$2×(4x+4y)=32$，即$8(x+y)=32$，解得$x+y=4$。
观察图2，将阴影部分的边进行平移，可发现阴影部分的周长等于周长为48的大长方形周长减去$2(x+y)$，代入计算：
阴影部分周长$=48-2×4=48-8=40$。
【答案】
D
【知识点】
整式加减的应用；图形周长计算；平移法求周长
【点评】
本题考查图形周长与整式运算的结合，不需要单独求出$x$、$y$的具体值，只需要求出$x+y$的整体值即可解题，体现了整体思想的应用，平移法的使用简化了阴影周长的推导过程。
【难度系数】
0.6
解题时先设1号正方形边长为$x$，2号正方形边长为$y$，根据图1中各图形的边长关系，用$x$、$y$表示出3号、4号正方形的边长，再结合图1长方形周长为32的条件，求出$x+y$的定值。接着观察图2，通过平移阴影部分的边，推导得出阴影部分周长和大长方形周长、$x+y$的关系，代入数值即可算出结果。
【解析】
设1号正方形的边长为$x$，2号正方形的边长为$y$。
由图1的边长关系可得：
3号正方形的边长为$x+y$，4号正方形的边长为$(x+y)+x=y+2x$；
图1中长方形的长为$(x+y)+(y+2x)=3x+2y$，宽为$(x+y)+y=x+2y$。
已知图1长方形周长为32，根据长方形周长公式列方程：
$2×[(3x+2y)+(x+2y)]=32$
化简得：$2×(4x+4y)=32$，即$8(x+y)=32$，解得$x+y=4$。
观察图2，将阴影部分的边进行平移，可发现阴影部分的周长等于周长为48的大长方形周长减去$2(x+y)$，代入计算：
阴影部分周长$=48-2×4=48-8=40$。
【答案】
D
【知识点】
整式加减的应用；图形周长计算；平移法求周长
【点评】
本题考查图形周长与整式运算的结合，不需要单独求出$x$、$y$的具体值，只需要求出$x+y$的整体值即可解题，体现了整体思想的应用，平移法的使用简化了阴影周长的推导过程。
【难度系数】
0.6
4. 某市为了鼓励居民节约用电,采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费。月用电量不超过 $ 200 $ 千瓦时,按 $ 0.6 $ 元/千瓦时计费；月用电量超过 $ 200 $ 千瓦时,其中的 $ 200 $ 千瓦时仍按 $ 0.6 $ 元/千瓦时计费,超过部分按 $ 0.65 $ 元/千瓦时计费。设每户家庭的月用电量为 $ x $ 千瓦时,应交电费 $ y $ 元。
(1)若该户居民 $ 2 $ 月份用电 $ 120 $ 千瓦时,则应收电费为______元；
(2)该户十月份的用电量超过 $ 200 $ 千瓦时,他家十月份应交电费多少元(用含 $ x $ 的代数式表示并化简结果)；
(3)小明家十月份交电费 $ 146 $ 元,他家十月份用电多少千瓦时。
(1)若该户居民 $ 2 $ 月份用电 $ 120 $ 千瓦时,则应收电费为______元；
(2)该户十月份的用电量超过 $ 200 $ 千瓦时,他家十月份应交电费多少元(用含 $ x $ 的代数式表示并化简结果)；
(3)小明家十月份交电费 $ 146 $ 元,他家十月份用电多少千瓦时。
答案
(1)72
(2)因为x超过200，
所以应交电费
0.6×200+0.65×(x-200)=(0.65x-10)(元).
答:该户十月份应交电费(0.65x-10)元.
(3)因为小明家十月份的电费超过了120元，
所以用电量超过了200千瓦时，
即0.65x-10=146，
解得x=240.
答:小明家十月份用电240千瓦时.
解析
【分析】
解题思路对应三个小问逐步梳理：
1. 第(1)问：先判断用电量120千瓦时小于200千瓦时，属于第一档计费范围，直接根据“总电费=用电量×对应单价”计算即可。
2. 第(2)问：用电量超过200千瓦时，电费分两段计算：第一段是200千瓦时的费用，按0.6元/千瓦时计费；第二段是超出200千瓦时的部分（即x-200），按0.65元/千瓦时计费，将两部分费用相加后化简代数式即可得到结果。
3. 第(3)问：先计算用电量为200千瓦时的临界电费为120元，对比小明家146元的电费，可知用电量超过200千瓦时，代入第(2)问得到的代数式列一元一次方程，求解即可得到实际用电量。
【解析】
(1) 因为120千瓦时＜200千瓦时，按0.6元/千瓦时计费，所以应收电费为$120×0.6=72$元。
(2) 已知月用电量$x$超过200千瓦时，总电费为两段费用之和：
$\begin{aligned}y&=0.6×200+0.65×(x-200)\\&=120+0.65x-130\\&=0.65x-10\end{aligned}$
答：该户十月份应交电费$(0.65x-10)$元。
(3) 先计算用电量为200千瓦时的电费：$200×0.6=120$元，因为$146＞120$，所以小明家十月份用电量超过200千瓦时，列方程得：
$0.65x-10=146$
移项得$0.65x=156$，解得$x=240$
答：小明家十月份用电240千瓦时。
【答案】
(1)72
(2)$(0.65x-10)$元
(3)240千瓦时
【知识点】
分段计费问题，列代数式，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活用电计费的实际场景，考查分类讨论思想的应用，解题关键是先判断用电量所属的计费区间，再对应计算，第三问需先通过临界费用确定区间后再列方程，避免因错选计费标准出错。
【难度系数】
0.7
解题思路对应三个小问逐步梳理：
1. 第(1)问：先判断用电量120千瓦时小于200千瓦时，属于第一档计费范围，直接根据“总电费=用电量×对应单价”计算即可。
2. 第(2)问：用电量超过200千瓦时，电费分两段计算：第一段是200千瓦时的费用，按0.6元/千瓦时计费；第二段是超出200千瓦时的部分（即x-200），按0.65元/千瓦时计费，将两部分费用相加后化简代数式即可得到结果。
3. 第(3)问：先计算用电量为200千瓦时的临界电费为120元，对比小明家146元的电费，可知用电量超过200千瓦时，代入第(2)问得到的代数式列一元一次方程，求解即可得到实际用电量。
【解析】
(1) 因为120千瓦时＜200千瓦时，按0.6元/千瓦时计费，所以应收电费为$120×0.6=72$元。
(2) 已知月用电量$x$超过200千瓦时，总电费为两段费用之和：
$\begin{aligned}y&=0.6×200+0.65×(x-200)\\&=120+0.65x-130\\&=0.65x-10\end{aligned}$
答：该户十月份应交电费$(0.65x-10)$元。
(3) 先计算用电量为200千瓦时的电费：$200×0.6=120$元，因为$146＞120$，所以小明家十月份用电量超过200千瓦时，列方程得：
$0.65x-10=146$
移项得$0.65x=156$，解得$x=240$
答：小明家十月份用电240千瓦时。
【答案】
(1)72
(2)$(0.65x-10)$元
(3)240千瓦时
【知识点】
分段计费问题，列代数式，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活用电计费的实际场景，考查分类讨论思想的应用，解题关键是先判断用电量所属的计费区间，再对应计算，第三问需先通过临界费用确定区间后再列方程，避免因错选计费标准出错。
【难度系数】
0.7
