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1. (2024·牡丹江)如图所示的是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形,第1个图有4个三角形,第2个图有7个三角形,第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去,第674个图中三角形的个数是( )
A.2022
B.2023
C.2024
D.2025
A.2022
B.2023
C.2024
D.2025
答案
B
解析
【分析】
解决这类规律探究题，首先整理已知条件：第1个图有4个三角形，第2个有7个，第3个有10个。先观察相邻两个图形的三角形数量差：$7-4=3$，$10-7=3$，差是固定值3，说明三角形个数和图形序号$n$成一次函数关系。接下来推导通用公式：将序号代入验证，第1个：$3×1+1=4$，第2个：$3×2+1=7$，第3个：$3×3+1=10$，可得出第$n$个图的三角形个数为$3n+1$，最后将$n=674$代入公式计算即可得到结果。
【解析】
观察已知图形的三角形数量：
第1个图形：$3×1 + 1 = 4$（个）
第2个图形：$3×2 + 1 = 7$（个）
第3个图形：$3×3 + 1 = 10$（个）
由此可归纳规律：第$n$个图形中三角形的个数为$3n+1$。
当$n=674$时，三角形的个数为：
$3×674 + 1 = 2022 + 1 = 2023$
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究；列代数式；代数式求值
【点评】
本题属于典型的图形类规律探究基础题，解题核心是通过对比前几个图形的数量，找到数量与图形序号的通用规律，再代入指定序号计算即可，掌握“找相邻差值推导通项”的方法就能快速求解这类问题。
【难度系数】
0.7
解决这类规律探究题，首先整理已知条件：第1个图有4个三角形，第2个有7个，第3个有10个。先观察相邻两个图形的三角形数量差：$7-4=3$，$10-7=3$，差是固定值3，说明三角形个数和图形序号$n$成一次函数关系。接下来推导通用公式：将序号代入验证，第1个：$3×1+1=4$，第2个：$3×2+1=7$，第3个：$3×3+1=10$，可得出第$n$个图的三角形个数为$3n+1$，最后将$n=674$代入公式计算即可得到结果。
【解析】
观察已知图形的三角形数量：
第1个图形：$3×1 + 1 = 4$（个）
第2个图形：$3×2 + 1 = 7$（个）
第3个图形：$3×3 + 1 = 10$（个）
由此可归纳规律：第$n$个图形中三角形的个数为$3n+1$。
当$n=674$时，三角形的个数为：
$3×674 + 1 = 2022 + 1 = 2023$
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究；列代数式；代数式求值
【点评】
本题属于典型的图形类规律探究基础题，解题核心是通过对比前几个图形的数量，找到数量与图形序号的通用规律，再代入指定序号计算即可，掌握“找相邻差值推导通项”的方法就能快速求解这类问题。
【难度系数】
0.7
2. (2024·长春)如图所示,图(1)表示1张餐桌和6把椅子(三角形表示餐桌,每个小圆表示1把椅子),图(2)表示2张餐桌和8把椅子,图(3)表示3张餐桌和10把椅子……若按这种方式摆放25张餐桌,则需要的椅子把数是( )
A.25
B.50
C.54
D.150
A.25
B.50
C.54
D.150
答案
C
解析
【分析】
本题是图形规律探究题，解题思路如下：首先整理已知条件中餐桌数量和对应椅子数量的关系：1张餐桌配6把椅子，2张配8把，3张配10把；接着观察变化规律：每多1张餐桌，椅子数量增加2把；然后推导通用公式：n张餐桌对应的椅子数可以表示为初始的6把加上额外(n-1)张餐桌增加的椅子数，化简得到通用代数式；最后将n=25代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
观察图形的对应数量：
当有1张餐桌时，椅子数为$6 = 2×1 + 4$；
当有2张餐桌时，椅子数为$8 = 2×2 + 4$；
当有3张餐桌时，椅子数为$10 = 2×3 + 4$；
由此可归纳规律：$n$张餐桌需要的椅子数为$2n + 4$（$n$为正整数）。
当摆放25张餐桌时，即$n=25$，代入代数式得：
$2×25 + 4 = 50 + 4 = 54$
因此需要54把椅子。
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究；列代数式；代数式求值
【点评】
本题属于基础的规律探究类题型，解题核心是通过观察已知的几组对应数据，归纳出变量之间的通用数量关系，再代入数值计算即可，侧重考查学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
本题是图形规律探究题，解题思路如下：首先整理已知条件中餐桌数量和对应椅子数量的关系：1张餐桌配6把椅子，2张配8把，3张配10把；接着观察变化规律：每多1张餐桌，椅子数量增加2把；然后推导通用公式：n张餐桌对应的椅子数可以表示为初始的6把加上额外(n-1)张餐桌增加的椅子数，化简得到通用代数式；最后将n=25代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
观察图形的对应数量：
当有1张餐桌时，椅子数为$6 = 2×1 + 4$；
当有2张餐桌时，椅子数为$8 = 2×2 + 4$；
当有3张餐桌时，椅子数为$10 = 2×3 + 4$；
由此可归纳规律：$n$张餐桌需要的椅子数为$2n + 4$（$n$为正整数）。
当摆放25张餐桌时，即$n=25$，代入代数式得：
$2×25 + 4 = 50 + 4 = 54$
因此需要54把椅子。
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究；列代数式；代数式求值
【点评】
本题属于基础的规律探究类题型，解题核心是通过观察已知的几组对应数据，归纳出变量之间的通用数量关系，再代入数值计算即可，侧重考查学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
3. 观察图形并思考：当小梯形的个数为n时,所拼成的图形的周长为______.
答案
3na+2a
解析
【分析】
要解决这道规律探究题，我们可以从简单情况入手推导：先计算小梯形个数为1、2、3时拼成图形的周长，观察周长随小梯形个数增加的变化规律，再推导n个小梯形时的周长公式。也可以直接观察拼接后图形的结构：拼接后的图形两腰始终为各长a的两条边，上下底的总长随小梯形个数增加呈规律性变化，据此计算总周长即可。
【解析】
我们通过列举分析规律：
1. 当$n=1$（只有1个小梯形）时：
小梯形上底长$a$，下底长$2a$，两腰各长$a$，周长$=a+2a+a+a=5a$，符合$3×1× a+2a=5a$。
2. 当$n=2$（2个小梯形拼接）时：
拼接后图形上底总长为$a+a=2a$，下底总长为$2a+2a=4a$，两腰仍各长$a$，周长$=2a+4a+a+a=8a$，符合$3×2× a+2a=8a$。
3. 当$n=3$（3个小梯形拼接）时：
上底总长为$3a$，下底总长为$6a$，周长$=3a+6a+a+a=11a$，符合$3×3× a+2a=11a$。
总结规律：$n$个小梯形拼接时，上底总长为$na$，下底总长为$2na$，两腰总长为$a+a=2a$，因此总周长$=na+2na+2a=3na+2a$。
【答案】
$3na+2a$
【知识点】
图形规律探究，列代数式，周长计算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是先从简单个例入手分析变化量，找到每增加一个小梯形时周长的增量，也可以直接分析拼接后图形的固定部分（两腰长）和变化部分（上下底总长），两种思路都能快速推导得到通用公式，计算时注意拼接处重合的边不计入总周长，避免出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道规律探究题，我们可以从简单情况入手推导：先计算小梯形个数为1、2、3时拼成图形的周长，观察周长随小梯形个数增加的变化规律，再推导n个小梯形时的周长公式。也可以直接观察拼接后图形的结构：拼接后的图形两腰始终为各长a的两条边，上下底的总长随小梯形个数增加呈规律性变化，据此计算总周长即可。
【解析】
我们通过列举分析规律：
1. 当$n=1$（只有1个小梯形）时：
小梯形上底长$a$，下底长$2a$，两腰各长$a$，周长$=a+2a+a+a=5a$，符合$3×1× a+2a=5a$。
2. 当$n=2$（2个小梯形拼接）时：
拼接后图形上底总长为$a+a=2a$，下底总长为$2a+2a=4a$，两腰仍各长$a$，周长$=2a+4a+a+a=8a$，符合$3×2× a+2a=8a$。
3. 当$n=3$（3个小梯形拼接）时：
上底总长为$3a$，下底总长为$6a$，周长$=3a+6a+a+a=11a$，符合$3×3× a+2a=11a$。
总结规律：$n$个小梯形拼接时，上底总长为$na$，下底总长为$2na$，两腰总长为$a+a=2a$，因此总周长$=na+2na+2a=3na+2a$。
【答案】
$3na+2a$
【知识点】
图形规律探究，列代数式，周长计算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是先从简单个例入手分析变化量，找到每增加一个小梯形时周长的增量，也可以直接分析拼接后图形的固定部分（两腰长）和变化部分（上下底总长），两种思路都能快速推导得到通用公式，计算时注意拼接处重合的边不计入总周长，避免出错。
【难度系数】
0.7
4. 把一根起点为0的数轴弯折成如图所示的样子,虚线最下面第1个数字是0,往上第2个数字是6,第3个数字是21……则第23个数字是______.
答案
4.2 211 解析:根据题意，
第2个数字是6，
第3个数字是21，
第4个数字是45，
……
总结规律,得第n个数字是
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+3(n-1),
所以虚线上第23个数字是
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+3×(23-1)
=1+2+3+4+…+66
=(1+66)×66/2
=2 211.
第2个数字是6，
第3个数字是21，
第4个数字是45，
……
总结规律,得第n个数字是
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+3(n-1),
所以虚线上第23个数字是
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+3×(23-1)
=1+2+3+4+…+66
=(1+66)×66/2
=2 211.
解析
【分析】
我们先整理题目给出的虚线上的数字：第1个数字是0，第2个是6，第3个是21。先观察这几个数的构成：第2个数字6=1+2+3，末尾的加数是3=3×(2-1)；第3个数字21=1+2+3+4+5+6，末尾的加数是6=3×(3-1)；验证第4个数字，按规律末尾加数是3×(4-1)=9，1+2+…+9=45，符合规律。由此可归纳出：第n个虚线上的数就是从1开始连续加到3(n-1)的和，再用高斯求和公式（首项+末项）×项数÷2计算即可得到第23个数字。
【解析】
解：根据题意整理已知条件：
第1个数字：0
第2个数字：$6 = 1+2+3$，其中末尾加数$3=3×(2-1)$
第3个数字：$21 = 1+2+3+4+5+6$，其中末尾加数$6=3×(3-1)$
第4个数字：$45 = 1+2+\dots+9$，其中末尾加数$9=3×(4-1)$
……
可得规律：第$n$个数字是从1连续加到$3(n-1)$的和。
当求第23个数字时，$n=23$，末尾加数为$3×(23-1)=66$，即求和：
$1+2+3+\dots+66$
根据高斯求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2，代入得：
$=\frac{(1+66)×66}{2}$
$=67×33$
$=2211$
【答案】
2211
【知识点】
数字规律探究；有理数加法；高斯求和
【点评】
本题是典型的数列规律探究题，需要先通过已知的几组对应值归纳出通用规律，再运用求和公式计算结果，对学生的归纳推理能力和运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
我们先整理题目给出的虚线上的数字：第1个数字是0，第2个是6，第3个是21。先观察这几个数的构成：第2个数字6=1+2+3，末尾的加数是3=3×(2-1)；第3个数字21=1+2+3+4+5+6，末尾的加数是6=3×(3-1)；验证第4个数字，按规律末尾加数是3×(4-1)=9，1+2+…+9=45，符合规律。由此可归纳出：第n个虚线上的数就是从1开始连续加到3(n-1)的和，再用高斯求和公式（首项+末项）×项数÷2计算即可得到第23个数字。
【解析】
解：根据题意整理已知条件：
第1个数字：0
第2个数字：$6 = 1+2+3$，其中末尾加数$3=3×(2-1)$
第3个数字：$21 = 1+2+3+4+5+6$，其中末尾加数$6=3×(3-1)$
第4个数字：$45 = 1+2+\dots+9$，其中末尾加数$9=3×(4-1)$
……
可得规律：第$n$个数字是从1连续加到$3(n-1)$的和。
当求第23个数字时，$n=23$，末尾加数为$3×(23-1)=66$，即求和：
$1+2+3+\dots+66$
根据高斯求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2，代入得：
$=\frac{(1+66)×66}{2}$
$=67×33$
$=2211$
【答案】
2211
【知识点】
数字规律探究；有理数加法；高斯求和
【点评】
本题是典型的数列规律探究题，需要先通过已知的几组对应值归纳出通用规律，再运用求和公式计算结果，对学生的归纳推理能力和运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
5. 观察：有下列代数式：
①$3^{2}-4×1^{2}$,②$5^{2}-4×2^{2}$,③$7^{2}-4×3^{2}$,….
尝试：请你按照前3个算式的规律写出第4个、第5个代数式；
发现：请你用这个规律表示出第n个代数式；
应用：计算$n = 2023$时代数式的值.
①$3^{2}-4×1^{2}$,②$5^{2}-4×2^{2}$,③$7^{2}-4×3^{2}$,….
尝试：请你按照前3个算式的规律写出第4个、第5个代数式；
发现：请你用这个规律表示出第n个代数式；
应用：计算$n = 2023$时代数式的值.
答案
5.解:尝试:第4个代数式为9²-4×4²,
第5个代数式为11²-4×5².
发现:第n个代数式为(2n+1)²-4×n²;
应用:n=2 023时,(2n+1)²-4×n²=8 093.
第5个代数式为11²-4×5².
发现:第n个代数式为(2n+1)²-4×n²;
应用:n=2 023时,(2n+1)²-4×n²=8 093.
解析
【分析】
解题时先分部分观察已知的3个代数式和对应序号的关系：①减号左侧的底数：第1个为3=2×1+1，第2个为5=2×2+1，第3个为7=2×3+1，即第k个式子左侧底数为2k+1；②减号右侧均为4乘某个数的平方，第1个乘1²，第2个乘2²，第3个乘3²，即第k个式子右侧为4×k²。按照该规律，写第4、5个代数式只需将k替换为4、5；写第n个代数式将k替换为n即可；求值时可先化简代数式简化计算，再代入n=2023即可得到结果。
【解析】
尝试：
观察前3个代数式的规律：
第1个：$3^2-4×1^2=(2×1+1)^2 -4×1^2$
第2个：$5^2-4×2^2=(2×2+1)^2 -4×2^2$
第3个：$7^2-4×3^2=(2×3+1)^2 -4×3^2$
因此第4个代数式为$(2×4+1)^2 -4×4^2=9^2-4×4^2$
第5个代数式为$(2×5+1)^2 -4×5^2=11^2-4×5^2$
发现：
根据上述规律，第n个代数式为$(2n+1)^2 -4n^2$
应用：
先化简代数式：
$(2n+1)^2 -4n^2 = 4n^2 +4n +1 -4n^2 =4n+1$
当$n=2023$时，原式$=4×2023 +1=8092+1=8093$
【答案】
尝试：第4个代数式为$9^2-4×4^2$，第5个代数式为$11^2-4×5^2$；
发现：第n个代数式为$(2n+1)^2-4×n^2$；
应用：$n=2023$时，代数式的值为$8093$。
【知识点】
数字规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题是基础的规律探究题，核心是观察式子各部分与序号的对应关系归纳通用规律，化简后代入求值可降低计算难度，主要考查学生的观察归纳能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
解题时先分部分观察已知的3个代数式和对应序号的关系：①减号左侧的底数：第1个为3=2×1+1，第2个为5=2×2+1，第3个为7=2×3+1，即第k个式子左侧底数为2k+1；②减号右侧均为4乘某个数的平方，第1个乘1²，第2个乘2²，第3个乘3²，即第k个式子右侧为4×k²。按照该规律，写第4、5个代数式只需将k替换为4、5；写第n个代数式将k替换为n即可；求值时可先化简代数式简化计算，再代入n=2023即可得到结果。
【解析】
尝试：
观察前3个代数式的规律：
第1个：$3^2-4×1^2=(2×1+1)^2 -4×1^2$
第2个：$5^2-4×2^2=(2×2+1)^2 -4×2^2$
第3个：$7^2-4×3^2=(2×3+1)^2 -4×3^2$
因此第4个代数式为$(2×4+1)^2 -4×4^2=9^2-4×4^2$
第5个代数式为$(2×5+1)^2 -4×5^2=11^2-4×5^2$
发现：
根据上述规律，第n个代数式为$(2n+1)^2 -4n^2$
应用：
先化简代数式：
$(2n+1)^2 -4n^2 = 4n^2 +4n +1 -4n^2 =4n+1$
当$n=2023$时，原式$=4×2023 +1=8092+1=8093$
【答案】
尝试：第4个代数式为$9^2-4×4^2$，第5个代数式为$11^2-4×5^2$；
发现：第n个代数式为$(2n+1)^2-4×n^2$；
应用：$n=2023$时，代数式的值为$8093$。
【知识点】
数字规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题是基础的规律探究题，核心是观察式子各部分与序号的对应关系归纳通用规律，化简后代入求值可降低计算难度，主要考查学生的观察归纳能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
6. 观察下列等式：$\frac{1}{1×2}= 1-\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2×3}= \frac{1}{2}-\frac{1}{3}$,$\frac{1}{3×4}= \frac{1}{3}-\frac{1}{4}$,….
(1)猜想并写出：$\frac{1}{n(n + 1)}= $______；
(2)求出下面式子的计算结果：
$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n(n + 1)}$.
(1)猜想并写出：$\frac{1}{n(n + 1)}= $______；
(2)求出下面式子的计算结果：
$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n(n + 1)}$.
答案
1. （1）
观察已知等式：$\frac{1}{1×2}=1 - \frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，$\cdots$。
可以猜想$\frac{1}{n(n + 1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$。
2. （2）
解：
对于$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\cdots+\frac{1}{n(n + 1)}$。
由（1）可知$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，$\cdots$，$\frac{1}{n(n + 1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$。
则原式$=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\cdots+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1})$。
去括号得：$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$。
可以发现从第二项起，每一项与后一项都可以相互抵消，即$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$，$-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=0$，$\cdots$，$-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}=0$。
所以原式$=1-\frac{1}{n + 1}$。
通分计算：$1-\frac{1}{n + 1}=\frac{n + 1}{n + 1}-\frac{1}{n + 1}=\frac{n+1 - 1}{n + 1}=\frac{n}{n + 1}$。
综上，（1）$\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$；（2）$\frac{n}{n + 1}$。
观察已知等式：$\frac{1}{1×2}=1 - \frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，$\cdots$。
可以猜想$\frac{1}{n(n + 1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$。
2. （2）
解：
对于$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\cdots+\frac{1}{n(n + 1)}$。
由（1）可知$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，$\cdots$，$\frac{1}{n(n + 1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$。
则原式$=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\cdots+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1})$。
去括号得：$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$。
可以发现从第二项起，每一项与后一项都可以相互抵消，即$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$，$-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=0$，$\cdots$，$-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}=0$。
所以原式$=1-\frac{1}{n + 1}$。
通分计算：$1-\frac{1}{n + 1}=\frac{n + 1}{n + 1}-\frac{1}{n + 1}=\frac{n+1 - 1}{n + 1}=\frac{n}{n + 1}$。
综上，（1）$\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$；（2）$\frac{n}{n + 1}$。
解析
【分析】
（1）观察给出的等式可发现，左侧均为分子为1、分母是两个连续正整数乘积的分数，右侧是分别以这两个连续正整数为分母、分子为1的分数的差，按照该规律即可推导$\frac{1}{n(n+1)}$的拆分形式。
（2）求解求和式子时，利用第（1）问得到的拆分规律，把每一项都拆成两个分数的差，去括号后中间的相邻项会相互抵消，只剩下首项和末项，再进行通分计算就能得到最终结果。
【解析】
（1）观察已知等式：$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，可总结规律：分母为两个连续正整数$n$、$n+1$的乘积、分子为1的分数，可拆分为$\frac{1}{n}$减去$\frac{1}{n+1}$，因此$\frac{1}{n(n + 1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$。
（2）计算$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n(n + 1)}$：
根据（1）的规律拆分每一项，原式改写为：
$(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+···+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1})$
去括号得：
$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+···+\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$
观察式子可知，从第二项开始，每一项与后一项互为相反数，相加和为0，中间项全部抵消后仅剩首项1和末项$-\frac{1}{n+1}$，因此：
$原式=1-\frac{1}{n + 1}$
通分计算得：
$1-\frac{1}{n + 1}=\frac{n+1}{n+1}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1-1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$
【答案】
（1）$\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$；（2）$\frac{n}{n + 1}$
【知识点】
裂项相消法，规律探究，分数加减运算
【点评】
本题是典型的裂项类规律探究题，重点考查观察归纳能力和简便运算能力，解题关键是准确总结出分数拆分的规律，利用中间项抵消简化计算，该方法在分式简便运算中应用非常广泛。
【难度系数】
0.8
（1）观察给出的等式可发现，左侧均为分子为1、分母是两个连续正整数乘积的分数，右侧是分别以这两个连续正整数为分母、分子为1的分数的差，按照该规律即可推导$\frac{1}{n(n+1)}$的拆分形式。
（2）求解求和式子时，利用第（1）问得到的拆分规律，把每一项都拆成两个分数的差，去括号后中间的相邻项会相互抵消，只剩下首项和末项，再进行通分计算就能得到最终结果。
【解析】
（1）观察已知等式：$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，可总结规律：分母为两个连续正整数$n$、$n+1$的乘积、分子为1的分数，可拆分为$\frac{1}{n}$减去$\frac{1}{n+1}$，因此$\frac{1}{n(n + 1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$。
（2）计算$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n(n + 1)}$：
根据（1）的规律拆分每一项，原式改写为：
$(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+···+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1})$
去括号得：
$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+···+\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$
观察式子可知，从第二项开始，每一项与后一项互为相反数，相加和为0，中间项全部抵消后仅剩首项1和末项$-\frac{1}{n+1}$，因此：
$原式=1-\frac{1}{n + 1}$
通分计算得：
$1-\frac{1}{n + 1}=\frac{n+1}{n+1}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1-1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$
【答案】
（1）$\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$；（2）$\frac{n}{n + 1}$
【知识点】
裂项相消法，规律探究，分数加减运算
【点评】
本题是典型的裂项类规律探究题，重点考查观察归纳能力和简便运算能力，解题关键是准确总结出分数拆分的规律，利用中间项抵消简化计算，该方法在分式简便运算中应用非常广泛。
【难度系数】
0.8
