1. 观察图(1)月历中“阶梯框”中的数字规律,回答问题.
(1) 若像这样在任何一个月历中用“阶梯框”圈出6个数,请根据规律补全图(2)的“阶梯框”；
(2) 图(2)中6个数的和是多少(用含$a$的代数式表示)?
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1.解:
(1)观察规律，补全题图
(2)的“阶梯框”如图所示.
　　　　　　　　　
(2)$a - 7 + a - 6 + a - 1 + a + a + 5 + a + 6 = 6a - 3$.
　所以题图
(2)中6个数的和是$6a - 3$.

【分析】
解题前先明确月历的数字排布规律：同一行中相邻两个数，右边的数比左边大1；同一列中相邻两个数，下方的数比上方大7。
解决第(1)问时，以a为基准数推导其余5个数：①a正上方的数和a同列，比a小7，得到a-7；②a-7右侧的数和它同行，比它大1，得到a-6；③a左侧的数和它同行，比a小1，得到a-1；④a-1正下方的数和它同列，比它大7，得到a+6；⑤a+6左侧的数和它同行，比它小1，得到a+5，即可补全阶梯框。
解决第(2)问时，将6个含a的代数式相加，合并同类项化简就能得到6个数的和。
【解析】
(1) 根据月历数字规律，以a为基准推导各位置数字：
a正上方的数：$a-7$，$a-7$右侧的数：$a-7+1=a-6$；
a左侧的数：$a-1$；
$a-1$正下方的数：$a-1+7=a+6$，$a+6$左侧的数：$a+6-1=a+5$。
补全后的阶梯框如下：

(2) 计算6个数的和，将6个代数式相加：
$\begin{aligned}&(a-7)+(a-6)+(a-1)+a+(a+5)+(a+6)\\=&a-7+a-6+a-1+a+a+5+a+6\\=&(a+a+a+a+a+a)+(-7-6-1+5+6)\\=&6a-3\end{aligned}$
【答案】
(1)
(2) 6个数的和为$\boldsymbol{6a-3}$
【知识点】
月历中的数字规律、列代数式、整式的加减
【点评】
本题侧重考查规律探究能力，需要学生先掌握月历数字的排布特点，再结合整式加减的运算规则求解，是规律探究类问题的基础题型，掌握规律后很容易得出结果。
【难度系数】
0.7

2. 如图所示的是某月的月历,回答下列问题.
(1) 带阴影的十字框中的5个数的和与十字框中间的数有什么关系?
(2) 若将十字框上下左右移动,但一定要框住月历中的5个数,设中间的数为$a$.
① 用含$a的式子表示b$,$c$,$d$,$e$；
② (1)中结论对于任何一个十字框都成立吗？说明理由.
| 日 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 |
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| 28 | 29 | 30 | 31 | | | |

2.解:
(1)$9 + 15 + 16 + 17 + 23 = 80 = 16×5$,
　则带阴影的十字框中的5个数的和是十字框中间的数的5倍
(2)①$b = a + 1$,$c = a + 7$,$d = a - 1$,$e = a - 7$.
　②成立.理由如下:
　　　　　　　　　　
　如图所示，设十字框中间的数为$x$，则左面的数是$x - 1$，右面的数是$x + 1$，上面的数是$x - 7$，下面的数是$x + 7$，
　$(x - 1) + (x + 1) + x + (x - 7) + (x + 7) = 5x$.
　即十字框中的5个数的和是十字框中间的数的5倍.

【分析】
解决本题首先要明确月历的数字排列规律：同一行中相邻两数相差1，同一列中相邻两数相差7。
(1)问先计算阴影十字框内5个数的总和，再将总和与中间数对比，即可得出二者的数量关系；
(2)①问结合月历的数字规律，以中间数a为基准，即可推出上下左右四个数的代数式；
(2)②问将任意十字框的五个数都用含中间数的代数式表示，再合并求和，验证和与中间数的倍数关系，就能判断结论是否通用。
【解析】
(1) 计算带阴影的十字框中5个数的和：$9 + 15 + 16 + 17 + 23 = 80$，其中十字框中间的数为16，$80=16×5$，即可得到二者的关系。
(2) ① 根据月历规律：同一行右侧数比左侧大1，同一列下侧数比上侧大7。中间数为a时，右侧的b比a大1，即$b=a+1$；下侧的c比a大7，即$c=a+7$；左侧的d比a小1，即$d=a-1$；上侧的e比a小7，即$e=a-7$。
② 设任意十字框中间的数为x，则它左面的数为$x-1$，右面的数为$x+1$，上面的数为$x-7$，下面的数为$x+7$，对五个数求和：
$\begin{aligned}&(x - 1) + (x + 1) + x + (x - 7) + (x + 7)\\=&x-1+x+1+x+x-7+x+7\\=&5x\end{aligned}$
因此五个数的和始终是中间数的5倍，结论成立。
【答案】
(1) 带阴影的十字框中的5个数的和是十字框中间的数的5倍
(2) ① $b = a + 1$，$c = a + 7$，$d = a - 1$，$e = a - 7$
② 成立。理由如下：

如图所示，设十字框中间的数为$x$，则左面的数是$x - 1$，右面的数是$x + 1$，上面的数是$x - 7$，下面的数是$x + 7$，
$(x - 1) + (x + 1) + x + (x - 7) + (x + 7) = 5x$。
即十字框中的5个数的和是十字框中间的数的5倍。
【知识点】
月历数字规律，列代数式，整式加减
【点评】
本题结合生活中常见的月历设计问题，既考查了对数字排列规律的观察能力，又考查了用代数式表示数量关系、通过整式运算验证规律的能力，体现了从特殊到一般的数学思想。
【难度系数】
0.75

一般设位于中间的数为$x$,根据月历中上下相邻、左右相邻的数之间的数量关系,表示出各个数是解题的关键.

答题（以下为示例题目：在月历中，竖列相邻的三个数之和为 60，求这三个数）
设中间的数为$x$，则上面的数为$x - 7$，下面的数为$x + 7$。
由已知得$(x - 7)+x+(x + 7)=60$
$3x = 60$
$x = 20$
$x - 7 = 13$
$x + 7 = 27$
答：这三个数是13、20、27。

【分析】
解决月历竖列相邻数求和问题，首先要明确月历的排列规律：每周有7天，因此同一竖列中，上面的数比相邻的下面的数小7。我们选择设中间的数为x，这样上下两个数都可以用含x的式子表示，且两个差刚好互为相反数，能简化后续计算，再根据三个数的和为60的等量关系列一元一次方程，解方程后即可求出三个数。
【解析】
解：设竖列中间的数为$x$，则竖列上相邻的上面的数为$x-7$，下面的数为$x+7$。
根据三个数之和为60，列方程得：
$(x - 7)+x+(x + 7)=60$
合并同类项得：$3x=60$
系数化为1得：$x=20$
则上面的数：$x-7=20-7=13$
下面的数：$x+7=20+7=27$
答：这三个数分别是13、20、27。
【答案】
13、20、27
【知识点】
一元一次方程的应用；月历数字规律
【点评】
本题是规律类方程应用题的典型题型，解题关键是找准月历中数字的排列规律，合理设未知数简化计算，能帮助学生理解方程在解决实际规律问题中的作用。
【难度系数】
0.8