(教材例题)求$\frac {1}{2}x - 2(x - \frac {1}{3}y^{2}) + (-\frac {3}{2}x + \frac {1}{3}y^{2})$的值,其中$x = - 2$,$y = \frac {2}{3}$.

解：$\frac{1}{2}x - 2\left(x - \frac{1}{3}y^{2}\right)+\left(-\frac{3}{2}x+\frac{1}{3}y^{2}\right)$
$=\frac{1}{2}x - 2x+\frac{2}{3}y^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{1}{3}y^{2}$
$=-3x + y^{2}$.
当$x=-2,y = \frac{2}{3}$时，
原式$=-3×(-2)+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=6+\frac{4}{9}=6\frac{4}{9}$.

【分析】
本题属于整式化简求值类题目，遵循“先化简、再求值”的原则解题，能减少计算量、降低出错概率。解题思路如下：第一步先去括号，注意括号前的系数和符号：若括号前是负系数，乘括号内每一项时都要变号，且不能漏乘括号内的项；若括号前是正号，去括号后各项符号不变。第二步合并同类项，将含x的项、含$y^2$的项分别合并，得到最简整式。第三步将x、y的取值代入最简整式，按有理数运算规则计算结果即可。
【解析】
先对原式去括号、合并同类项化简：
$\begin{aligned}&\frac{1}{2}x - 2(x - \frac{1}{3}y^{2}) + (-\frac{3}{2}x + \frac{1}{3}y^{2})\\=&\frac{1}{2}x - 2x + \frac{2}{3}y^{2} - \frac{3}{2}x + \frac{1}{3}y^{2}\\=&(\frac{1}{2}x - 2x - \frac{3}{2}x) + (\frac{2}{3}y^{2} + \frac{1}{3}y^{2})\\=&-3x + y^{2}\end{aligned}$
再将$x=-2$，$y=\frac{2}{3}$代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}原式&=-3×(-2) + (\frac{2}{3})^{2}\\&=6 + \frac{4}{9}\\&=6\frac{4}{9}\end{aligned}$
【答案】
$6\frac{4}{9}$
【知识点】
去括号法则、合并同类项、整式化简求值
【点评】
本题是整式化简求值的基础题型，重点考察整式运算的基础规则，解题时要注意去括号时的符号变化和系数分配，不要漏乘括号内的项，养成先化简再求值的习惯可大幅提升计算准确率。
【难度系数】
0.8

1. 已知$A = x^{2} - xy + y^{2}$,$B = x^{2} + xy + 3y^{2}$,其中$x = \frac {2}{3}$,$y = \frac {3}{2}$.求$A + (B - 2A)$的值.

1. 解：$A+(B - 2A)=A + B-2A=B - A$.
因为$A=x^{2}-xy + y^{2},B=x^{2}+xy + 3y^{2}$，
所以$B - A=x^{2}+xy + 3y^{2}-\left(x^{2}-xy + y^{2}\right)$
$=x^{2}+xy + 3y^{2}-x^{2}+xy - y^{2}$
$=2xy + 2y^{2}$，
当$x=\frac{2}{3},y=\frac{3}{2}$时，
原式$=2×\frac{2}{3}×\frac{3}{2}+2×\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=2+\frac{9}{2}=\frac{13}{2}$.

【分析】
本题属于整式化简求值类题目，解题时不要直接将x、y的值或A、B的表达式直接代入原式计算，那样计算量较大易出错。正确思路是先对所求式子$A+(B-2A)$进行去括号、合并同类项化简，再代入A、B的表达式，再次合并同类项得到只含x、y的最简整式，最后代入x、y的数值计算结果即可，能有效简化计算过程。
【解析】
解：先化简所求式子：
$A+(B - 2A)=A + B-2A=B - A$
将$A=x^{2}-xy + y^{2}$，$B = x^{2} + xy + 3y^{2}$代入上式：
$B - A=x^{2}+xy + 3y^{2}-(x^{2}-xy + y^{2})$
去括号得：
$=x^{2}+xy + 3y^{2}-x^{2}+xy - y^{2}$
合并同类项得：
$=2xy + 2y^{2}$
再将$x=\frac{2}{3}$，$y=\frac{3}{2}$代入化简后的式子：
原式$=2×\frac{2}{3}×\frac{3}{2}+2×(\frac{3}{2})^{2}$
$=2 + 2×\frac{9}{4}$
$=2+\frac{9}{2}$
$=\frac{13}{2}$
【答案】
$\frac{13}{2}$
【知识点】
整式的加减，去括号法则，代数式求值
【点评】
本题是整式化简求值的常规题型，核心是遵循“先化简、再求值”的原则，能大幅减少计算量，解题时需特别注意去括号时的符号变化，避免因符号错误导致失分。
【难度系数】
0.8

2. (开放性题)设$A = -\frac {1}{2}x - 4(x - \frac {1}{3}y + \frac {3}{4}) + (-\frac {3}{2}x + \frac {2}{3}y)$.
(1)当$x = -\frac {1}{3}$,$y = 1$时,求$A$的值；
(2)若$y - 3x = 3$,求$A$的值；
(3)若使得的$A$的值与(1)中的结果相同,则给出的$x$,$y$的条件还可以是______(写出一个符合条件的即可)；
(4)对于$A$中给出的数：$-\frac {1}{2}$,$-4$,$1$,$-\frac {1}{3}$,$\frac {3}{4}$,$-\frac {3}{2}$,$\frac {2}{3}$,请你尝试改变其中的一个数,使得改变后的整式与$x$的取值无关；
(5)对于$A$中给出的数：$-\frac {1}{2}$,$-4$,$1$,$-\frac {1}{3}$,$\frac {3}{4}$,$-\frac {3}{2}$,$\frac {2}{3}$,请你尝试改变其中的两个数,使得改变后的整式不需要给出任何条件就可以求值.

2. 解：
(1)$A=-\frac{1}{2}x - 4\left(x-\frac{1}{3}y+\frac{3}{4}\right)+\left(-\frac{3}{2}x+\frac{2}{3}y\right)$
$=-\frac{1}{2}x-4x+\frac{4}{3}y - 3-\frac{3}{2}x+\frac{2}{3}y$
$=-6x + 2y-3$，
当$x=-\frac{1}{3},y = 1$时，
$A=-6×\left(-\frac{1}{3}\right)+2×1-3=1$.
(2)$A=-6x + 2y-3=2(y - 3x)-3=3$.
(3)$-3x + y=2$（答案不唯一）
(4)由
(1)$A=-6x + 2y-3$可知，只要使得$x$的系数为0就可满足要求.
可把-4改为2（答案不唯一）.
(5)由
(1)，得$A=-6x + 2y-3$，可知，只要使得$x,y$的系数分别为0就可满足要求.
可把$-\frac{3}{2}$改为$\frac{9}{2},\frac{2}{3}$改为$-\frac{4}{3}$（答案不唯一）.

【分析】
解决本题的核心思路是先对整式A进行化简，通过去括号、合并同类项得到最简形式，再根据各小问要求分别求解：
1. 第(1)问化简完成后直接将x、y的取值代入最简式计算即可；
2. 第(2)问观察最简式和已知条件$y-3x=3$的关系，采用整体代入的方法计算，无需单独求x、y的值；
3. 第(3)问令A的值等于(1)的结果1，整理得到x、y满足的等量关系即可，答案不唯一；
4. 第(4)问要让整式的值与x无关，只需令化简后x的系数为0，调整原式中对应的一个系数即可；
5. 第(5)问要不需要条件就能求值，说明整式的值为常数，需令化简后x和y的系数都为0，调整原式中对应的两个系数即可。
【解析】
首先化简整式A：
$A = -\frac{1}{2}x - 4(x - \frac{1}{3}y + \frac{3}{4}) + (-\frac{3}{2}x + \frac{2}{3}y)$
去括号得：
$A = -\frac{1}{2}x - 4x + \frac{4}{3}y - 3 - \frac{3}{2}x + \frac{2}{3}y$
合并同类项得：
$A = (- \frac{1}{2}x - 4x - \frac{3}{2}x) + (\frac{4}{3}y + \frac{2}{3}y) - 3 = -6x + 2y - 3$
(1) 把$x = -\frac{1}{3}$，$y = 1$代入化简后的式子：
$A = -6×(-\frac{1}{3}) + 2×1 - 3 = 2 + 2 - 3 = 1$
(2) 已知$y - 3x = 3$，将A变形为含$y-3x$的形式：
$A = -6x + 2y - 3 = 2(y - 3x) - 3$
代入$y - 3x = 3$得：
$A = 2×3 - 3 = 6 - 3 = 3$
(3) 令$A = 1$，即$-6x + 2y - 3 = 1$，整理得：
$2y - 6x = 4$，两边同时除以2可得$-3x + y = 2$（答案不唯一，等价等式均可）
(4) 要使整式的值与x的取值无关，只需x的系数为0。当前x的系数是-6，调整原式中的某个系数使得合并后x的系数为0即可，例如将原式中的-4改为2，此时合并x的项：$-\frac{1}{2}x + 2x - \frac{3}{2}x = 0$，整式变为$2y - 3$，值与x无关（答案不唯一）
(5) 要使整式不需要任何条件即可求值，即整式为常数，需x和y的系数都为0。例如把原式中的$-\frac{3}{2}$改为$\frac{9}{2}$，此时x的系数：$-\frac{1}{2}x -4x + \frac{9}{2}x = 0$；再把$\frac{2}{3}$改为$-\frac{4}{3}$，此时y的系数：$\frac{4}{3}y - \frac{4}{3}y = 0$，整式的值恒为-3，不需要条件即可求值（答案不唯一）
【答案】
(1) $\boxed{1}$
(2) $\boxed{3}$
(3) $\boxed{-3x + y = 2}$（答案不唯一）
(4) 把-4改为2（答案不唯一）
(5) 把$-\frac{3}{2}$改为$\frac{9}{2}$，$\frac{2}{3}$改为$-\frac{4}{3}$（答案不唯一）
【知识点】
整式的化简，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题围绕整式化简求值展开，难度分层递进，既考查了去括号、合并同类项等基础运算能力，又考查了整体代入的数学思想，后半部分的开放性问题能有效锻炼知识灵活应用能力，帮助加深对整式系数与取值关系的理解。
【难度系数】
0.6