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3. 已知$△ ABC$中，$∠ ABC = 45^{\circ}$，$F$是高$AD$和$BE$的交点，$CD = 4$，则线段$DF$的长度为(
A.$2\sqrt{2}$
B.$4$
C.$3\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{2}$
B
)A.$2\sqrt{2}$
B.$4$
C.$3\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{2}$
答案
3. B
4. 在如图所示的$4×4$正方形网格中，$∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4+∠ 5+∠ 6+∠ 7=$(
A.$330^{\circ}$
B.$315^{\circ}$
C.$310^{\circ}$
D.$320^{\circ}$
B
)A.$330^{\circ}$
B.$315^{\circ}$
C.$310^{\circ}$
D.$320^{\circ}$
答案
4. B
5. 直线$l$上有三个正方形$a$，$b$，$c$，若$a$，$c$的面积分别为$5$和$11$，则$b$的面积为(
A.$4$
B.$6$
C.$16$
D.$55$
C
)A.$4$
B.$6$
C.$16$
D.$55$
答案
5. C
6. 过正方形$ABCD$的顶点$B$作直线$a$，过点$A$，$C$作$a$的垂线，垂足分别为点$E$，$F$，若$AE = 1$，$CF = 3$，则$AB$的长度为
$ \sqrt{10} $
。答案
6. $ \sqrt{10} $
7. 已知线段$a$，$b$。求作$Rt△ ABC$，使$∠ C = 90^{\circ}$，$AB = a$，$BC = b$。
答案
7. 解: 即 $ △ ACB $ 是所求作的图形.
1. 在$△ ABC$中，$AB = CB$，$∠ ABC = 90^{\circ}$，$F$为$AB$延长线上一点，点$E$在$BC$上，且$AE = CF$。
（1）求证：$Rt△ ABE≌ Rt△ CBF$；
（2）若$∠ CAE = 30^{\circ}$，求$∠ ACF$的度数。
（1）求证：$Rt△ ABE≌ Rt△ CBF$；
（2）若$∠ CAE = 30^{\circ}$，求$∠ ACF$的度数。
答案
1. (1) 证明: $ \because ∠ ABC = 90° $
$ \therefore ∠ FBC = ∠ EBA = 90° $
在 $ \mathrm{Rt} △ FBC $ 和 $ \mathrm{Rt} △ EBA $ 中
$ \begin{cases} CB = AB \mathrm{ (已知)} \\ FC = EA \mathrm{ (已知)} \end{cases} $
$ \therefore \mathrm{Rt} △ FBC ≌ \mathrm{Rt} △ EBA (HL) $
(2) $ \because \mathrm{Rt} △ FBC ≌ \mathrm{Rt} △ EBA $
$ \therefore CB = AB $ $ \therefore ∠ BCA = ∠ BAC = 45° $
$ \because ∠ CAE = 30° $ (已知)
$ \therefore ∠ EAB = ∠ CAB - ∠ CAE = 15° $
$ \therefore ∠ FCB = ∠ EAB = 15° $
$ \therefore ∠ ACF = ∠ ACB + ∠ FCB = 60° $
$ \therefore ∠ FBC = ∠ EBA = 90° $
在 $ \mathrm{Rt} △ FBC $ 和 $ \mathrm{Rt} △ EBA $ 中
$ \begin{cases} CB = AB \mathrm{ (已知)} \\ FC = EA \mathrm{ (已知)} \end{cases} $
$ \therefore \mathrm{Rt} △ FBC ≌ \mathrm{Rt} △ EBA (HL) $
(2) $ \because \mathrm{Rt} △ FBC ≌ \mathrm{Rt} △ EBA $
$ \therefore CB = AB $ $ \therefore ∠ BCA = ∠ BAC = 45° $
$ \because ∠ CAE = 30° $ (已知)
$ \therefore ∠ EAB = ∠ CAB - ∠ CAE = 15° $
$ \therefore ∠ FCB = ∠ EAB = 15° $
$ \therefore ∠ ACF = ∠ ACB + ∠ FCB = 60° $
2. 如图①，$E$，$F$分别为线段$AC$上的两个动点，且$DE⊥ AC$于$E$点，$BF⊥ AC$于$F$点，若$AB = CD$，$AF = CE$，$BD$交$AC$于点$G$。
（1）求证：$GB = GD$，$GF = GE$。
（2）当$EF$两点移动至如图②的位置，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明。
（1）求证：$GB = GD$，$GF = GE$。
（2）当$EF$两点移动至如图②的位置，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明。
答案
2. 证明: (1) 在 $ \mathrm{Rt} △ AFB $ 和 $ \mathrm{Rt} △ CED $ 中
$ \begin{cases} AB = CD \mathrm{ (已知)} \\ AF = CE \mathrm{ (已知)} \end{cases} $
$ \therefore \mathrm{Rt} △ AFB ≌ \mathrm{Rt} △ CED (HL) $ $ \therefore BF = DE $
在 $ \mathrm{Rt} △ BFG $ 和 $ \mathrm{Rt} △ DEG $ 中
$ \begin{cases} ∠ BFG = ∠ DEG = 90° \mathrm{ (已知)} \\ ∠ BGF = ∠ DGE \mathrm{ (对顶角相等)} \\ BF = DE \mathrm{ (已证)} \end{cases} $
$ \therefore \mathrm{Rt} △ BFG ≌ \mathrm{Rt} △ DEG (AAS) $
$ \therefore GB = GD $ $ GF = GE $
(2) 成立
证明: $ \mathrm{Rt} △ AFB ≌ \mathrm{Rt} △ CED (HL) $
$ \therefore BF = DE $ $ \mathrm{Rt} △ BFG ≌ \mathrm{Rt} DEG (AAS) $
$ \therefore GB = GD $ $ GF = GE $
$ \begin{cases} AB = CD \mathrm{ (已知)} \\ AF = CE \mathrm{ (已知)} \end{cases} $
$ \therefore \mathrm{Rt} △ AFB ≌ \mathrm{Rt} △ CED (HL) $ $ \therefore BF = DE $
在 $ \mathrm{Rt} △ BFG $ 和 $ \mathrm{Rt} △ DEG $ 中
$ \begin{cases} ∠ BFG = ∠ DEG = 90° \mathrm{ (已知)} \\ ∠ BGF = ∠ DGE \mathrm{ (对顶角相等)} \\ BF = DE \mathrm{ (已证)} \end{cases} $
$ \therefore \mathrm{Rt} △ BFG ≌ \mathrm{Rt} △ DEG (AAS) $
$ \therefore GB = GD $ $ GF = GE $
(2) 成立
证明: $ \mathrm{Rt} △ AFB ≌ \mathrm{Rt} △ CED (HL) $
$ \therefore BF = DE $ $ \mathrm{Rt} △ BFG ≌ \mathrm{Rt} DEG (AAS) $
$ \therefore GB = GD $ $ GF = GE $
