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一、选择题
1. 若$\dfrac{2}{\sqrt{x - 1}}$有意义，则$x$的取值范围是()
A. $x ≠ 1$
B. $x ＞ 1$
C. $x ＜ 1$
D. $x ≥ 1$
1. 若$\dfrac{2}{\sqrt{x - 1}}$有意义，则$x$的取值范围是()
A. $x ≠ 1$
B. $x ＞ 1$
C. $x ＜ 1$
D. $x ≥ 1$
答案
B
解析
要使$\dfrac{2}{\sqrt{x - 1}}$有意义，需满足分母不为零且被开方数非负，即$\sqrt{x - 1} ≠ 0$且$x - 1 ≥ 0$。由$x - 1 ≥ 0$得$x ≥ 1$，由$\sqrt{x - 1} ≠ 0$得$x - 1 ≠ 0$即$x ≠ 1$，综上$x ＞ 1$。
2. 下列计算正确的是()
A.$(\sqrt{2})^{2} = 2$
B.$\sqrt{(-2)^{2}} = -2$
C.$\sqrt{9} = \pm 3$
D.$(-\sqrt{3})^{2} = -3$
A.$(\sqrt{2})^{2} = 2$
B.$\sqrt{(-2)^{2}} = -2$
C.$\sqrt{9} = \pm 3$
D.$(-\sqrt{3})^{2} = -3$
答案
A
解析
对于选项A，根据二次根式的性质，$(\sqrt{a})^{2}=a(a≥0)$，所以$(\sqrt{2})^{2}=2$，该选项正确；
对于选项B，$\sqrt{(-2)^{2}}=\sqrt{4} = 2≠ - 2$，该选项错误；
对于选项C，$\sqrt{9}$表示求9的算术平方根，算术平方根是非负的，所以$\sqrt{9}=3≠\pm3$，该选项错误；
对于选项D，$(-\sqrt{3})^{2}=(-\sqrt{3})×(-\sqrt{3}) = 3≠ - 3$，该选项错误。
对于选项B，$\sqrt{(-2)^{2}}=\sqrt{4} = 2≠ - 2$，该选项错误；
对于选项C，$\sqrt{9}$表示求9的算术平方根，算术平方根是非负的，所以$\sqrt{9}=3≠\pm3$，该选项错误；
对于选项D，$(-\sqrt{3})^{2}=(-\sqrt{3})×(-\sqrt{3}) = 3≠ - 3$，该选项错误。
3. 已知实数$a$，$b$在数轴上的位置如图所示，则$\sqrt{(a + b)^{2}} - \sqrt{(a - b)^{2}} =$()
A.$2b - 2a$
B.$-2a$
C.$-2b - 2a$
D.$2a$
A.$2b - 2a$
B.$-2a$
C.$-2b - 2a$
D.$2a$
答案
D
解析
由数轴可知$a＜0＜b$，且$|a|＜|b|$，所以$a + b＞0$，$a - b＜0$。
根据$\sqrt{x^{2}}=\vert x\vert$，则$\sqrt{(a + b)^{2}}-\sqrt{(a - b)^{2}}=\vert a + b\vert-\vert a - b\vert$。
因为$a + b＞0$，所以$\vert a + b\vert=a + b$；因为$a - b＜0$，所以$\vert a - b\vert=-(a - b)=b - a$。
则$\vert a + b\vert-\vert a - b\vert=(a + b)-(b - a)=a + b - b + a = 2a$。
根据$\sqrt{x^{2}}=\vert x\vert$，则$\sqrt{(a + b)^{2}}-\sqrt{(a - b)^{2}}=\vert a + b\vert-\vert a - b\vert$。
因为$a + b＞0$，所以$\vert a + b\vert=a + b$；因为$a - b＜0$，所以$\vert a - b\vert=-(a - b)=b - a$。
则$\vert a + b\vert-\vert a - b\vert=(a + b)-(b - a)=a + b - b + a = 2a$。
4. 如图，将一根铁丝首尾相接可以围成一个长为$\sqrt{8}π$、宽为$\sqrt{2}π$的长方形. 若将这根铁丝展开重新首尾相接围成一个圆，则该圆的半径是()
A.$2\sqrt{6}$
B.$6\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{2}$
A.$2\sqrt{6}$
B.$6\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{2}$
答案
D
解析
长方形周长为$2(\sqrt{8}π+\sqrt{2}π)=2(2\sqrt{2}π+\sqrt{2}π)=2×3\sqrt{2}π=6\sqrt{2}π$。圆的周长等于长方形周长，即$2π r=6\sqrt{2}π$，解得$r=3\sqrt{2}$。
二、填空题
5. 写出一个使式子“$\sqrt{a^{2}} = -a$”成立的$a$的值，这个值可以是.
5. 写出一个使式子“$\sqrt{a^{2}} = -a$”成立的$a$的值，这个值可以是.
答案
因为式子$\sqrt{a^{2}} = -a$，根据二次根式的性质，$\sqrt{a^{2}}=|a|$，要使$\sqrt{a^{2}} = -a$成立，则$-a≥0$，即$a≤0$。
所以$a$的值可以是$0$（答案不唯一，任意非正数均可）。
答案框应填：$0$（答案不唯一）。
所以$a$的值可以是$0$（答案不唯一，任意非正数均可）。
答案框应填：$0$（答案不唯一）。
6. 计算：$\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{\dfrac{1}{3}} =$.
答案
$\frac{\sqrt{3}}{6}$（这里题目是计算题，按实际计算结果填写答案即可，若为选择题再填选项字母）。
解析
首先，将$\sqrt{\frac{1}{3}}$化为最简二次根式，$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，为了分母有理化，给分子分母同时乘以$\sqrt{3}$，得到$\frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
然后，计算$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}$，先通分，$2$和$3$的最小公倍数是$6$，则$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{6}$。
所以$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3\sqrt{3}}{6}-\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{3\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{6}$。
然后，计算$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}$，先通分，$2$和$3$的最小公倍数是$6$，则$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{6}$。
所以$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3\sqrt{3}}{6}-\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{3\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{6}$。
7. 若$A = \sqrt{12} × \sqrt{n}$，其中$\sqrt{n}$为最简二次根式，$A$为有理数，则$n =$.
答案
3
解析
$A=\sqrt{12}×\sqrt{n}=2\sqrt{3}×\sqrt{n}=2\sqrt{3n}$，因为$A$为有理数，所以$\sqrt{3n}$为有理数，又因为$\sqrt{n}$是最简二次根式，所以$3n$是完全平方数，且$n$不含能开得尽方的因数，故$n=3$。
8. 若$x + \dfrac{1}{x} = 3$，则$\sqrt{x} + \dfrac{1}{\sqrt{x}} =$.
答案
$\sqrt{5}$
解析
设$\sqrt{x} + \dfrac{1}{\sqrt{x}} = t$，则$t ＞ 0$，两边平方得$t^2 = x + 2 + \dfrac{1}{x}$。因为$x + \dfrac{1}{x} = 3$，所以$t^2 = 3 + 2 = 5$，解得$t = \sqrt{5}$。
9. 海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为$w_{p} = \dfrac{v^{2}}{1600}$，其中$w_{p}$为风压(单位：kPa)，$v$为风速(单位：m/s). 当风压为$0.25$kPa 时，风速大约为m/s.
答案
20
解析
根据题意，风压公式为$ w_{p} = \dfrac{v^{2}}{1600}$，已知$ w_{p} = 0.25 kPa$，代入公式得：
$0.25 = \dfrac{v^{2}}{1600} $两边同时乘以 1600：$ v^{2} = 0.25 × 1600 = 400 $
取正平方根（风速为正数）：
$v = \sqrt{400} = 20 $
三、解答题
10. 计算：
（1）$(2\sqrt{2} + \sqrt{5}) - 2(\sqrt{2} + \sqrt{5})$；
（2）$\dfrac{3}{4}\sqrt{3} × \sqrt{2} ÷ \dfrac{3}{2}\sqrt{3} × \sqrt{2}$；
（3）$(2 + \sqrt{3})^{2} - \sqrt{6} × \sqrt{\dfrac{2}{3}}$.
10. 计算：
（1）$(2\sqrt{2} + \sqrt{5}) - 2(\sqrt{2} + \sqrt{5})$；
（2）$\dfrac{3}{4}\sqrt{3} × \sqrt{2} ÷ \dfrac{3}{2}\sqrt{3} × \sqrt{2}$；
（3）$(2 + \sqrt{3})^{2} - \sqrt{6} × \sqrt{\dfrac{2}{3}}$.
答案
（1）原式$=2\sqrt{2}+\sqrt{5}-2\sqrt{2}-2\sqrt{5}=(2\sqrt{2}-2\sqrt{2})+(\sqrt{5}-2\sqrt{5})=-\sqrt{5}$
（2）原式$=\dfrac{3}{4}\sqrt{3}×\sqrt{2}×\dfrac{2}{3\sqrt{3}}×\sqrt{2}=(\dfrac{3}{4}×\dfrac{2}{3})×(\sqrt{3}×\dfrac{1}{\sqrt{3}})×(\sqrt{2}×\sqrt{2})=\dfrac{1}{2}×1×2=1$
（3）原式$=4 + 4\sqrt{3} + 3 - \sqrt{6×\dfrac{2}{3}}=7 + 4\sqrt{3} - \sqrt{4}=7 + 4\sqrt{3} - 2=5 + 4\sqrt{3}$
（2）原式$=\dfrac{3}{4}\sqrt{3}×\sqrt{2}×\dfrac{2}{3\sqrt{3}}×\sqrt{2}=(\dfrac{3}{4}×\dfrac{2}{3})×(\sqrt{3}×\dfrac{1}{\sqrt{3}})×(\sqrt{2}×\sqrt{2})=\dfrac{1}{2}×1×2=1$
（3）原式$=4 + 4\sqrt{3} + 3 - \sqrt{6×\dfrac{2}{3}}=7 + 4\sqrt{3} - \sqrt{4}=7 + 4\sqrt{3} - 2=5 + 4\sqrt{3}$
