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11. 已知：实数$a$，$b$在数轴上的位置如图所示.
化简：$\sqrt{(a + 1)^2} + 2\sqrt{(b - 1)^2} - |a - b|$.
化简：$\sqrt{(a + 1)^2} + 2\sqrt{(b - 1)^2} - |a - b|$.
答案
由数轴可知：$-2 ＜ a ＜ -1$，$1 ＜ b ＜ 2$。
1. 化简$\sqrt{(a + 1)^2}$：
因为$a + 1 ＜ 0$，所以$\sqrt{(a + 1)^2} = |a + 1| = - (a + 1) = -a - 1$。
2. 化简$2\sqrt{(b - 1)^2}$：
因为$b - 1 ＞ 0$，所以$\sqrt{(b - 1)^2} = |b - 1| = b - 1$，则$2\sqrt{(b - 1)^2} = 2(b - 1) = 2b - 2$。
3. 化简$|a - b|$：
因为$a ＜ b$，所以$a - b ＜ 0$，则$|a - b| = -(a - b) = -a + b$。
4. 原式合并计算：
$\sqrt{(a + 1)^2} + 2\sqrt{(b - 1)^2} - |a - b| = (-a - 1) + (2b - 2) - (-a + b) = -a - 1 + 2b - 2 + a - b = b - 3$。
结论：$b - 3$
1. 化简$\sqrt{(a + 1)^2}$：
因为$a + 1 ＜ 0$，所以$\sqrt{(a + 1)^2} = |a + 1| = - (a + 1) = -a - 1$。
2. 化简$2\sqrt{(b - 1)^2}$：
因为$b - 1 ＞ 0$，所以$\sqrt{(b - 1)^2} = |b - 1| = b - 1$，则$2\sqrt{(b - 1)^2} = 2(b - 1) = 2b - 2$。
3. 化简$|a - b|$：
因为$a ＜ b$，所以$a - b ＜ 0$，则$|a - b| = -(a - b) = -a + b$。
4. 原式合并计算：
$\sqrt{(a + 1)^2} + 2\sqrt{(b - 1)^2} - |a - b| = (-a - 1) + (2b - 2) - (-a + b) = -a - 1 + 2b - 2 + a - b = b - 3$。
结论：$b - 3$
12. 提升题 课代表小明发现有同学常出现类似“$\sqrt{3} + \sqrt{7} = \sqrt{10}$”的错误计算.小明深知不能简单强调“不是同类二次根式不能合并”，而是要同学们深刻理解$\sqrt{a} + \sqrt{b}$与$\sqrt{a + b}(a≥ 0,b≥ 0)$的大小关系才能解决这个问题.他与几名同学讨论后，选择了“从特殊到一般”的数学转化思想作为解决问题的思路，具体如下：
【知识再现】一般地，已知两个正数$a$和$b$，如果$a≥ b$，那么$\sqrt{a}≥\sqrt{b}$，反之，如果$\sqrt{a}≥\sqrt{b}$，那么$a≥ b$.
【知识应用】$\because (\sqrt{3} + \sqrt{7})^2 =$，$(\sqrt{3 + 7})^2 =$，
$\therefore (\sqrt{3} + \sqrt{7})^2$（填“$＞$”“$＜$”“$=$”“$≥$”或“$≤$”）$(\sqrt{3 + 7})^2$.
又$\because \sqrt{3} + \sqrt{7} ＞ 0$，$\sqrt{3 + 7} ＞ 0$，
$\therefore \sqrt{3} + \sqrt{7}$(填“$＞$”“$＜$”“$=$”“$≥$”或“$≤$”)$\sqrt{3 + 7}$.
【猜想证明】判断$\sqrt{a} + \sqrt{b}$与$\sqrt{a + b}(a≥ 0,b≥ 0)$的大小关系，并证明.
【拓展应用】为了更好地开展劳动教育，学校计划将农场用篱笆重新分区.将原来面积为$10\mathrm{m}^2$的正方形地块的篱笆收集下来(不考虑损耗)，这些篱笆围成两个面积和为$10\mathrm{m}^2$的小正方形地块(填“刚刚好”“尚不足”或“有富余”).
【知识再现】一般地，已知两个正数$a$和$b$，如果$a≥ b$，那么$\sqrt{a}≥\sqrt{b}$，反之，如果$\sqrt{a}≥\sqrt{b}$，那么$a≥ b$.
【知识应用】$\because (\sqrt{3} + \sqrt{7})^2 =$，$(\sqrt{3 + 7})^2 =$，
$\therefore (\sqrt{3} + \sqrt{7})^2$（填“$＞$”“$＜$”“$=$”“$≥$”或“$≤$”）$(\sqrt{3 + 7})^2$.
又$\because \sqrt{3} + \sqrt{7} ＞ 0$，$\sqrt{3 + 7} ＞ 0$，
$\therefore \sqrt{3} + \sqrt{7}$(填“$＞$”“$＜$”“$=$”“$≥$”或“$≤$”)$\sqrt{3 + 7}$.
【猜想证明】判断$\sqrt{a} + \sqrt{b}$与$\sqrt{a + b}(a≥ 0,b≥ 0)$的大小关系，并证明.
【拓展应用】为了更好地开展劳动教育，学校计划将农场用篱笆重新分区.将原来面积为$10\mathrm{m}^2$的正方形地块的篱笆收集下来(不考虑损耗)，这些篱笆围成两个面积和为$10\mathrm{m}^2$的小正方形地块(填“刚刚好”“尚不足”或“有富余”).
答案
10 + 2√21；10；＞；＞；尚不足
解析
知识应用
$(\sqrt{3} + \sqrt{7})^2 = 3 + 2\sqrt{21} + 7 = 10 + 2\sqrt{21}$
$(\sqrt{3+7})^2 = (\sqrt{10})^2 = 10$
$\because 10 + 2\sqrt{21} ＞ 10$，$\therefore (\sqrt{3} + \sqrt{7})^2 ＞ (\sqrt{3+7})^2$
$\because \sqrt{3} + \sqrt{7} ＞ 0$，$\sqrt{3+7} ＞ 0$，$\therefore \sqrt{3} + \sqrt{7} ＞ \sqrt{3+7}$
猜想证明
结论：$\sqrt{a} + \sqrt{b} ≥ \sqrt{a+b}$（$a ≥ 0$，$b ≥ 0$）
证明：
$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b$，$(\sqrt{a+b})^2 = a + b$
$\because a ≥ 0$，$b ≥ 0$，$\therefore 2\sqrt{ab} ≥ 0$
$\therefore a + 2\sqrt{ab} + b ≥ a + b$，即$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 ≥ (\sqrt{a+b})^2$
$\because \sqrt{a} + \sqrt{b} ≥ 0$，$\sqrt{a+b} ≥ 0$，$\therefore \sqrt{a} + \sqrt{b} ≥ \sqrt{a+b}$
拓展应用
设两个小正方形边长分别为$x$，$y$（$x ＞ 0$，$y ＞ 0$），则$x^2 + y^2 = 10$
原正方形篱笆总长：$4\sqrt{10}$
两个小正方形篱笆总长：$4(x + y)$
由猜想结论：$x + y = \sqrt{x^2} + \sqrt{y^2} ＞ \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{10}$（$x ＞ 0$，$y ＞ 0$，等号不成立）
$\therefore 4(x + y) ＞ 4\sqrt{10}$，即篱笆尚不足
$(\sqrt{3} + \sqrt{7})^2 = 3 + 2\sqrt{21} + 7 = 10 + 2\sqrt{21}$
$(\sqrt{3+7})^2 = (\sqrt{10})^2 = 10$
$\because 10 + 2\sqrt{21} ＞ 10$，$\therefore (\sqrt{3} + \sqrt{7})^2 ＞ (\sqrt{3+7})^2$
$\because \sqrt{3} + \sqrt{7} ＞ 0$，$\sqrt{3+7} ＞ 0$，$\therefore \sqrt{3} + \sqrt{7} ＞ \sqrt{3+7}$
猜想证明
结论：$\sqrt{a} + \sqrt{b} ≥ \sqrt{a+b}$（$a ≥ 0$，$b ≥ 0$）
证明：
$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b$，$(\sqrt{a+b})^2 = a + b$
$\because a ≥ 0$，$b ≥ 0$，$\therefore 2\sqrt{ab} ≥ 0$
$\therefore a + 2\sqrt{ab} + b ≥ a + b$，即$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 ≥ (\sqrt{a+b})^2$
$\because \sqrt{a} + \sqrt{b} ≥ 0$，$\sqrt{a+b} ≥ 0$，$\therefore \sqrt{a} + \sqrt{b} ≥ \sqrt{a+b}$
拓展应用
设两个小正方形边长分别为$x$，$y$（$x ＞ 0$，$y ＞ 0$），则$x^2 + y^2 = 10$
原正方形篱笆总长：$4\sqrt{10}$
两个小正方形篱笆总长：$4(x + y)$
由猜想结论：$x + y = \sqrt{x^2} + \sqrt{y^2} ＞ \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{10}$（$x ＞ 0$，$y ＞ 0$，等号不成立）
$\therefore 4(x + y) ＞ 4\sqrt{10}$，即篱笆尚不足
