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1. 在二次根式$\sqrt{4}$，$\sqrt{7}$，$\sqrt{8}$，$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$中，最简二次根式是.
答案
$\sqrt{7}$
解析
最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式。$\sqrt{4}=2$，不是最简二次根式；$\sqrt{7}$满足条件，是最简二次根式；$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，不是最简二次根式；$\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，不是最简二次根式。
2. 请写出一个二次根式，使它满足只含有一个字母$x$，且当$x≥ 3$时有意义：.
答案
$\sqrt{x - 3}$（答案不唯一）
解析
根据二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，要使二次根式只含有一个字母$x$且当$x≥3$时有意义，则被开方数可以是$x - 3$（当$x≥3$时，$x - 3≥0$），此时二次根式为$\sqrt{x - 3}$。
3. 若二次根式$\sqrt{3x + 1}$的值为$4$，则$x =$.
答案
5
解析
根据题意，二次根式$\sqrt{3x + 1}$的值为$4$，即：
$\sqrt{3x + 1} = 4$
两边平方得：
$3x + 1 = 16$
移项并化简：
$3x = 15$
$x = 5$
$\sqrt{3x + 1} = 4$
两边平方得：
$3x + 1 = 16$
移项并化简：
$3x = 15$
$x = 5$
4. 计算$\sqrt{8}×\sqrt{27}÷\sqrt{18}$的结果是.
答案
$2\sqrt{3}$
解析
$\sqrt{8}×\sqrt{27}÷\sqrt{18}=\sqrt{8×27÷18}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
5. 方程$\sqrt{3}x = 6$的解是.
答案
$x = 2\sqrt{3}$（（这里答案填写处按题目要求格式，只填结果相关，若题目是填空题直接填$2\sqrt{3}$对应的答案形式，本题按要求填入框内合适内容（虽无选项但按规则表述）），若设定本题为填空题答案填$2\sqrt{3}$相关规范填写内容，这里按规则）本题按要求填入$2\sqrt{3}$（在规定填空处按规范表达）。
解析
对于方程$\sqrt{3}x=6$，为了求出$x$的值，根据等式的基本性质，等式两边同时除以同一个不为$0$的数，等式仍然成立，在方程两边同时除以$\sqrt{3}$，可得$x=\frac{6}{\sqrt{3}}$，再对$\frac{6}{\sqrt{3}}$进行分母有理化，分子分母同时乘以$\sqrt{3}$，即$x=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$。
6. 如图，为打造“家门口的好去处，城市新空间”，园林部门计划将两块正方形小绿地整合成一个“口袋公园”.已知正方形$ABCD$和正方形$CEFG$的面积分别为$50\mathrm{m}^2$，$18\mathrm{m}^2$，则长方形口袋公园$ABEH$的面积为$\mathrm{m}^2$.
答案
80
解析
∵正方形ABCD面积为50m²，∴边长BC=√50=5√2 m。
∵正方形CEFG面积为18m²，∴边长CE=√18=3√2 m。
长方形ABEH的长BE=BC+CE=5√2+3√2=8√2 m，宽AB=BC=5√2 m。
面积S=AB×BE=5√2×8√2=5×8×(√2×√2)=40×2=80 m²。
7. 提升题 观察下列各式：①$\sqrt{1 + \dfrac{1}{1^2} + \dfrac{1}{2^2}} = 1 + \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2} = 1\dfrac{1}{2}$；②$\sqrt{1 + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2}} = 1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = 1\dfrac{1}{6}$；③$\sqrt{1 + \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{4^2}} = 1 + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} = 1\dfrac{1}{12}$.根据上面三个等式，计算$\sqrt{\dfrac{50}{49} + \dfrac{1}{64}}$的结果为.
答案
$1\frac{1}{56}$（或写为$\frac{57}{56}$对应的形式，若用分数形式表示答案则填对应结果）这里按分数形式理解答案应填$\frac{57}{56}$相关（若题目是填空题直接填$1\frac{1}{56}$或$\frac{57}{56}$，按本题要求填$1\frac{1}{56}$（或按规范形式）这里统一填（用文字对应形式）$1\frac{1}{56}$（实际答题根据题目要求形式） 严格按本题填空形式填$1\frac{1}{56}$
解析
由已知等式，可得规律：$\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n + 1)^{2}}}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}=1+\frac{1}{n(n + 1)}$。
因为$\frac{50}{49}+\frac{1}{64}=1+\frac{1}{49}+\frac{1}{64}=1+\frac{1}{7^{2}}+\frac{1}{8^{2}}$。
根据上述规律，此时$n = 7$，则$\sqrt{1+\frac{1}{7^{2}}+\frac{1}{8^{2}}}=1+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}=1+\frac{1}{56}=1\frac{1}{56}$（或$\frac{57}{56}$）。
因为$\frac{50}{49}+\frac{1}{64}=1+\frac{1}{49}+\frac{1}{64}=1+\frac{1}{7^{2}}+\frac{1}{8^{2}}$。
根据上述规律，此时$n = 7$，则$\sqrt{1+\frac{1}{7^{2}}+\frac{1}{8^{2}}}=1+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}=1+\frac{1}{56}=1\frac{1}{56}$（或$\frac{57}{56}$）。
8. 计算：$\sqrt{8}÷\sqrt{2}×\sqrt{12} - (\sqrt{3} + 1)^2$.
答案
$\begin{aligned}&\sqrt{8} ÷ \sqrt{2} × \sqrt{12} - (\sqrt{3} + 1)^2 \\=& \sqrt{\frac{8}{2}} × \sqrt{12} - (3 + 2\sqrt{3} + 1) \\=& \sqrt{4} × \sqrt{12} - (4 + 2\sqrt{3}) \\=& 2 × 2\sqrt{3} - 4 - 2\sqrt{3} \\=& 4\sqrt{3} - 4 - 2\sqrt{3} \\=& 2\sqrt{3} - 4\end{aligned}$
9. 计算：$(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 + \sqrt{\dfrac{1}{2}}×\sqrt{48} - \sqrt{48}÷\sqrt{3}$.
答案
1
解析
解：
$\begin{aligned}&(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 + \sqrt{\dfrac{1}{2}}×\sqrt{48} - \sqrt{48}÷\sqrt{3}\\=&(\sqrt{2})^2 - 2×\sqrt{2}×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 + \sqrt{\dfrac{1}{2}×48} - \sqrt{\dfrac{48}{3}}\\=&2 - 2\sqrt{6} + 3 + \sqrt{24} - \sqrt{16}\\=&5 - 2\sqrt{6} + 2\sqrt{6} - 4\\=&1\end{aligned}$
$\begin{aligned}&(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 + \sqrt{\dfrac{1}{2}}×\sqrt{48} - \sqrt{48}÷\sqrt{3}\\=&(\sqrt{2})^2 - 2×\sqrt{2}×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 + \sqrt{\dfrac{1}{2}×48} - \sqrt{\dfrac{48}{3}}\\=&2 - 2\sqrt{6} + 3 + \sqrt{24} - \sqrt{16}\\=&5 - 2\sqrt{6} + 2\sqrt{6} - 4\\=&1\end{aligned}$
10. 已知$x = \sqrt{3} - 2$，$y = \sqrt{3} + 2$，求下列代数式的值：
（1）$x^2 + xy + y^2$；
（2）$\dfrac{x}{y} - \dfrac{y}{x}$.
（1）$x^2 + xy + y^2$；
（2）$\dfrac{x}{y} - \dfrac{y}{x}$.
答案
（1）13；（2）$8\sqrt{3}$。
解析
（1）
∵ $x = \sqrt{3} - 2$，$y = \sqrt{3} + 2$，
∴ $x + y = (\sqrt{3} - 2) + (\sqrt{3} + 2) = 2\sqrt{3}$，
$xy = (\sqrt{3} - 2)(\sqrt{3} + 2) = (\sqrt{3})^2 - 2^2 = 3 - 4 = -1$，
$x^2 + xy + y^2 = (x + y)^2 - xy = (2\sqrt{3})^2 - (-1) = 12 + 1 = 13$。
（2）
$\dfrac{x}{y} - \dfrac{y}{x} = \dfrac{x^2 - y^2}{xy} = \dfrac{(x + y)(x - y)}{xy}$，
$x - y = (\sqrt{3} - 2) - (\sqrt{3} + 2) = -4$，
由（1）知 $x + y = 2\sqrt{3}$，$xy = -1$，
∴ 原式 $= \dfrac{2\sqrt{3} × (-4)}{-1} = 8\sqrt{3}$。
∵ $x = \sqrt{3} - 2$，$y = \sqrt{3} + 2$，
∴ $x + y = (\sqrt{3} - 2) + (\sqrt{3} + 2) = 2\sqrt{3}$，
$xy = (\sqrt{3} - 2)(\sqrt{3} + 2) = (\sqrt{3})^2 - 2^2 = 3 - 4 = -1$，
$x^2 + xy + y^2 = (x + y)^2 - xy = (2\sqrt{3})^2 - (-1) = 12 + 1 = 13$。
（2）
$\dfrac{x}{y} - \dfrac{y}{x} = \dfrac{x^2 - y^2}{xy} = \dfrac{(x + y)(x - y)}{xy}$，
$x - y = (\sqrt{3} - 2) - (\sqrt{3} + 2) = -4$，
由（1）知 $x + y = 2\sqrt{3}$，$xy = -1$，
∴ 原式 $= \dfrac{2\sqrt{3} × (-4)}{-1} = 8\sqrt{3}$。
