19. (6 分)若 $ (x - 3m)(x^2 + x - \frac{1}{3}n) $ 的计算结果中不含 $ x^2 $ 与 $ x $ 项。
(1) 求 $ m $，$ n $ 的值；
(2) 求代数式 $ (3m - n)^2 + m^{100} · n^{101} $ 的值。

(1) 展开原式：
$\begin{aligned}&(x - 3m)(x^2 + x - \frac{1}{3}n)\\=&x^3 + x^2 - \frac{1}{3}nx - 3mx^2 - 3mx + mn\\=&x^3 + (1 - 3m)x^2 + (-\frac{1}{3}n - 3m)x + mn\end{aligned}$
由题意不含$x^2$与$x$项，得：
$\begin{cases}1 - 3m = 0\\ -\frac{1}{3}n - 3m = 0\end{cases}$
解得$m = \frac{1}{3}$，代入第二个方程：$-\frac{1}{3}n - 3×\frac{1}{3} = 0$，得$n = -3$。
(2) 代入$m = \frac{1}{3}$，$n = -3$：
$\begin{aligned}&(3m - n)^2 + m^{100} · n^{101}\\=&(3×\frac{1}{3} - (-3))^2 + (\frac{1}{3})^{100} · (-3)^{101}\\=&(1 + 3)^2 + (\frac{1}{3} × (-3))^{100} · (-3)\\=&16 + (-1)^{100} · (-3)\\=&16 - 3\\=&13\end{aligned}$
(1) $m = \frac{1}{3}$，$n = -3$；(2) $13$

20. (6 分)如图，方格纸中每个小正方形的边长均为 1，$ △ ABC $ 的顶点都在格点上。
(1) 画出将 $ △ ABC $ 沿直线 $ l $ 翻折后得到的 $ △ A_1B_1C_1 $；
(2) 画出将 $ △ ABC $ 绕点 $ B $ 按顺时针方向旋转 $ 90° $ 后得到的 $ △ A_2B_2C_2 $；
(3) 取 $ AC $ 的中点 $ D $，连接 $ BD $，求 $ △ ABD $ 的面积。

(1)
通过观察图形，点$A$关于直线$l$对称的点$A_1$，点$B$关于直线$l$对称的点$B_1$（$B$本身在直线$l$上，对称后还是本身），点$C$关于直线$l$对称的点$C_1$，依次连接$A_1$，$B_1$，$C_1$得到$△ A_1B_1C_1$。
(2)
将$△ ABC$绕点$B$按顺时针方向旋转$90^{\circ}$，点$A$的对应点$A_2$，点$C$的对应点$C_2$，依次连接$A_2$，$B$，$C_2$得到$△ A_2BC_2$（$B_2$与$B$重合）。
(3)
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$（这里$a$为底，$h$为高），
以$AB$为底，$AB = \sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$，
$AB$边上的高为$2$，$D$为$AC$中点，
$△ ABD$与$△ BCD$等底（$AD = CD$）同高（$B$到$AC$的距离），
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×2 = 4$，
所以$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}= 2$。
综上，(1)(2)按上述方法画图；(3)$△ ABD$的面积是$2$。

21. (6 分)如果 $ a^c = b $，那么我们规定 $ (a, b) = c $。例如：因为 $ 2^3 = 8 $，所以 $ (2, 8) = 3 $。
(1) 根据上述规定，填空：
$ (3, 9) = $，$ (4, 1) = $，$ (2, \frac{1}{8}) = $；
(2) 若记 $ (3, 4) = a $，$ (3, 7) = b $，$ (3, 28) = c $，求证：$ a + b = c $。

(1) 2；0；-3
(2) 证明：
∵$(3,4)=a$，∴$3^a=4$，
∵$(3,7)=b$，∴$3^b=7$，
∵$(3,28)=c$，∴$3^c=28$，
∵$4×7=28$，∴$3^a×3^b=3^c$，
即$3^{a+b}=3^c$，
∴$a+b=c$。