登录
1. 了解二元一次方程组及其解的基本概念.
答案
二元一次方程组：由两个含有两个未知数的一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
二元一次方程组的解：使二元一次方程组中两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
二元一次方程组的解：使二元一次方程组中两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
2. 会用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，通过探索二元一次方程组的解法，经历把“二元”转化为“一元”的过程，体会消元思想，认识把“未知”转化为“已知”，把复杂问题转化为简单问题的化归思想.
答案
假设题目为：解方程组$\begin{cases}3x + 2y = 8, \\2x - y = 3.\end{cases}$
代入消元法：
由$2x - y = 3$，可得$y = 2x - 3$。
把$y = 2x - 3$代入$3x + 2y = 8$，得$3x + 2(2x - 3) = 8$。
展开得$3x + 4x - 6 = 8$。
移项合并得$7x = 14$。
解得$x = 2$。
把$x = 2$代入$y = 2x - 3$，得$y = 2×2 - 3 = 1$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 2, \\y = 1.\end{cases}$
加减消元法：
将$2x - y = 3$两边乘以$2$，得$4x - 2y = 6$。
将$3x + 2y = 8$与$4x - 2y = 6$相加，得$7x = 14$。
解得$x = 2$。
把$x = 2$代入$2x - y = 3$，得$4 - y = 3$，解得$y = 1$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 2, \\y = 1.\end{cases}$
代入消元法：
由$2x - y = 3$，可得$y = 2x - 3$。
把$y = 2x - 3$代入$3x + 2y = 8$，得$3x + 2(2x - 3) = 8$。
展开得$3x + 4x - 6 = 8$。
移项合并得$7x = 14$。
解得$x = 2$。
把$x = 2$代入$y = 2x - 3$，得$y = 2×2 - 3 = 1$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 2, \\y = 1.\end{cases}$
加减消元法：
将$2x - y = 3$两边乘以$2$，得$4x - 2y = 6$。
将$3x + 2y = 8$与$4x - 2y = 6$相加，得$7x = 14$。
解得$x = 2$。
把$x = 2$代入$2x - y = 3$，得$4 - y = 3$，解得$y = 1$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 2, \\y = 1.\end{cases}$
3. 能够根据具体问题中的数量关系，列出二元一次方程组，体会二元一次方程组是刻画现实世界的有效数学模型.
答案
假设题目为：已知甲、乙两数的和为15，甲数的2倍与乙数的3倍的和为39，求甲、乙两数各是多少？
设甲数为$x$，乙数为$y$。
根据题意，可以列出以下二元一次方程组：
$\begin{cases}x + y = 15, \\2x + 3y = 39.\end{cases}$
由$x + y = 15$，可以得到 $x = 15 - y$。
将$x = 15 - y$代入$2x + 3y = 39$中，得到：
$2(15 - y) + 3y = 39$，
$30 - 2y + 3y = 39$，
$y = 9$。
将$y = 9$代入$x = 15 - y$，得到：
$x = 15 - 9 = 6$，
因此，甲数为6，乙数为9。
设甲数为$x$，乙数为$y$。
根据题意，可以列出以下二元一次方程组：
$\begin{cases}x + y = 15, \\2x + 3y = 39.\end{cases}$
由$x + y = 15$，可以得到 $x = 15 - y$。
将$x = 15 - y$代入$2x + 3y = 39$中，得到：
$2(15 - y) + 3y = 39$，
$30 - 2y + 3y = 39$，
$y = 9$。
将$y = 9$代入$x = 15 - y$，得到：
$x = 15 - 9 = 6$，
因此，甲数为6，乙数为9。
例 1 在方程 $ 2x - y = 1 $，$ 2x + \frac{3}{y} = -2 $，$ x = y $，$ \frac{x}{2} - 3y = 4 $，$ 2x + 3y - z = 5 $，$ x^2 - y = 1 $ 中，二元一次方程有()
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
C
解析
根据二元一次方程定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程。
$2x - y = 1$：含两个未知数，次数都是1，整式方程，是二元一次方程。
$2x + \frac{3}{y} = -2$：$\frac{3}{y}$是分式，不是整式方程，不是。
$x = y$：含两个未知数，次数都是1，整式方程，是二元一次方程。
$\frac{x}{2} - 3y = 4$：含两个未知数，次数都是1，整式方程，是二元一次方程。
$2x + 3y - z = 5$：含三个未知数，不是。
$x^2 - y = 1$：$x^2$次数是2，不是。
综上，二元一次方程有3个。
$2x - y = 1$：含两个未知数，次数都是1，整式方程，是二元一次方程。
$2x + \frac{3}{y} = -2$：$\frac{3}{y}$是分式，不是整式方程，不是。
$x = y$：含两个未知数，次数都是1，整式方程，是二元一次方程。
$\frac{x}{2} - 3y = 4$：含两个未知数，次数都是1，整式方程，是二元一次方程。
$2x + 3y - z = 5$：含三个未知数，不是。
$x^2 - y = 1$：$x^2$次数是2，不是。
综上，二元一次方程有3个。
例 2 已知 $ \begin{cases} x = 1, \\ y = 1 \end{cases} $ 是二元一次方程 $ ax + by = -1 $ 的解.
(1)求 $ a + b $ 的值.
(2)解是 $ \begin{cases} x = 1, \\ y = 1 \end{cases} $ 的二元一次方程唯一吗？如果唯一，请直接回答；如果不唯一，请再写出另一个满足条件的二元一次方程.
(1)求 $ a + b $ 的值.
(2)解是 $ \begin{cases} x = 1, \\ y = 1 \end{cases} $ 的二元一次方程唯一吗？如果唯一，请直接回答；如果不唯一，请再写出另一个满足条件的二元一次方程.
答案
(1)
因为$\begin{cases}x = 1\\y = 1\end{cases}$是二元一次方程$ax + by = -1$的解，将$x = 1$，$y = 1$代入方程得：
$a×1 + b×1 = -1$，即$a + b = -1$。
(2)
不唯一。
另一个满足条件的二元一次方程可以为$2x+3y = 5$（答案不唯一）。
因为$\begin{cases}x = 1\\y = 1\end{cases}$是二元一次方程$ax + by = -1$的解，将$x = 1$，$y = 1$代入方程得：
$a×1 + b×1 = -1$，即$a + b = -1$。
(2)
不唯一。
另一个满足条件的二元一次方程可以为$2x+3y = 5$（答案不唯一）。
例 3 请写出所有满足二元一次方程 $ 2x + 3y = 14 $ 的正整数解：.
训练与提高
训练与提高
答案
要找到二元一次方程 $2x + 3y = 14$ 的正整数解，步骤如下：
1. 用含$y$的式子表示$x$：
$2x = 14 - 3y$
$x = \frac{14 - 3y}{2}$
2. 确定$y$的取值范围：
因为$x$、$y$为正整数，所以：
$14 - 3y ＞ 0$ 且 $14 - 3y$ 为偶数。
解得 $y ＜ \frac{14}{3} \approx 4.67$，故$y$可取1，2，3，4。
3. 验证并求解：
当$y = 1$时，$x = \frac{14 - 3×1}{2} = \frac{11}{2}$（非整数，舍去）；
当$y = 2$时，$x = \frac{14 - 3×2}{2} = 4$（整数，符合）；
当$y = 3$时，$x = \frac{14 - 3×3}{2} = \frac{5}{2}$（非整数，舍去）；
当$y = 4$时，$x = \frac{14 - 3×4}{2} = 1$（整数，符合）。
正整数解为：
$\begin{cases} x=4 \\ y=2 \end{cases}$，$\begin{cases} x=1 \\ y=4 \end{cases}$
1. 用含$y$的式子表示$x$：
$2x = 14 - 3y$
$x = \frac{14 - 3y}{2}$
2. 确定$y$的取值范围：
因为$x$、$y$为正整数，所以：
$14 - 3y ＞ 0$ 且 $14 - 3y$ 为偶数。
解得 $y ＜ \frac{14}{3} \approx 4.67$，故$y$可取1，2，3，4。
3. 验证并求解：
当$y = 1$时，$x = \frac{14 - 3×1}{2} = \frac{11}{2}$（非整数，舍去）；
当$y = 2$时，$x = \frac{14 - 3×2}{2} = 4$（整数，符合）；
当$y = 3$时，$x = \frac{14 - 3×3}{2} = \frac{5}{2}$（非整数，舍去）；
当$y = 4$时，$x = \frac{14 - 3×4}{2} = 1$（整数，符合）。
正整数解为：
$\begin{cases} x=4 \\ y=2 \end{cases}$，$\begin{cases} x=1 \\ y=4 \end{cases}$
