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1. 下列选项中，是二元一次方程 $ 2x + y = 4 $ 的解是()
A.$ \begin{cases} x = -2, \\ y = 6 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} x = 1, \\ y = 3 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} x = 0.5, \\ y = 3 \end{cases} $
D.$ \begin{cases} x = 2, \\ y = 1 \end{cases} $
A.$ \begin{cases} x = -2, \\ y = 6 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} x = 1, \\ y = 3 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} x = 0.5, \\ y = 3 \end{cases} $
D.$ \begin{cases} x = 2, \\ y = 1 \end{cases} $
答案
C
解析
要判断哪个选项是二元一次方程 $ 2x + y = 4 $ 的解，可以将每个选项中的 $ x $ 和 $ y $ 值代入方程，验证是否满足等式。
A. 当 $ x = -2 $，$ y = 6 $ 时，$ 2 × (-2) + 6 = -4 + 6 = 2 ≠ 4$，不满足；
B. 当 $ x = 1 $，$ y = 3 $ 时，$ 2 × 1 + 3 = 2 + 3 = 5 ≠ 4$，不满足；
C. 当 $ x = 0.5 $，$ y = 3 $ 时，$ 2 × 0.5 + 3 = 1 + 3 = 4$，满足；
D. 当 $ x = 2 $，$ y = 1 $ 时，$ 2 × 2 + 1 = 4 + 1 = 5 ≠ 4$，不满足。
A. 当 $ x = -2 $，$ y = 6 $ 时，$ 2 × (-2) + 6 = -4 + 6 = 2 ≠ 4$，不满足；
B. 当 $ x = 1 $，$ y = 3 $ 时，$ 2 × 1 + 3 = 2 + 3 = 5 ≠ 4$，不满足；
C. 当 $ x = 0.5 $，$ y = 3 $ 时，$ 2 × 0.5 + 3 = 1 + 3 = 4$，满足；
D. 当 $ x = 2 $，$ y = 1 $ 时，$ 2 × 2 + 1 = 4 + 1 = 5 ≠ 4$，不满足。
2. 下列选项中，是二元一次方程的是()
A.$ x^2 + y = 1 $
B.$ x + 2y = -3 $
C.$ \frac{1}{x} + y = 2 $
D.$ 2x - 1 = 5 $
A.$ x^2 + y = 1 $
B.$ x + 2y = -3 $
C.$ \frac{1}{x} + y = 2 $
D.$ 2x - 1 = 5 $
答案
B
解析
二元一次方程需满足含有两个未知数，且未知数的最高次数为1，整式方程。A选项未知数x的次数是2，不是二元一次方程；B选项含有两个未知数x、y，次数都是1，是整式方程，符合二元一次方程定义；C选项分母含有未知数，是分式方程，不是二元一次方程；D选项只含有一个未知数x，是一元一次方程。
3. 已知关于 $ x $，$ y $ 的方程 $ (m + 1)x^{|m + 2|} + 9y = 0 $ 是二元一次方程，则 $ m = $.
答案
要使方程$(m + 1)x^{|m + 2|} + 9y = 0$是二元一次方程，需满足以下条件：
1. 未知数$x$，$y$的次数都为$1$；
2. 系数不为$0$。
对于$x$的次数：$|m + 2| = 1$，解得$m + 2 = 1$或$m + 2 = -1$，即$m = -1$或$m = -3$。
对于系数：$m + 1 ≠ 0$，即$m ≠ -1$。
综上，$m = -3$。
$-3$
1. 未知数$x$，$y$的次数都为$1$；
2. 系数不为$0$。
对于$x$的次数：$|m + 2| = 1$，解得$m + 2 = 1$或$m + 2 = -1$，即$m = -1$或$m = -3$。
对于系数：$m + 1 ≠ 0$，即$m ≠ -1$。
综上，$m = -3$。
$-3$
4. 若 $ \begin{cases}x = 3, \\ y = -2\end{cases}$ 是二元一次方程 $ ax + by = -2 $ 的一个解，则 $ 3a - 2b + 2026 $ 的值是 ______ .
答案
将$\begin{cases}x = 3, \\ y = -2\end{cases}$代入二元一次方程$ax + by = -2$，得：
$3a - 2b = -2$，
将$3a - 2b = -2$代入$3a - 2b + 2026$，得：
$3a - 2b + 2026 $
$=-2 + 2026$
$ = 2024$
故答案为：$2024$。
$3a - 2b = -2$，
将$3a - 2b = -2$代入$3a - 2b + 2026$，得：
$3a - 2b + 2026 $
$=-2 + 2026$
$ = 2024$
故答案为：$2024$。
5. (1)把下列方程写成用含 $ x $ 的代数式表示 $ y $ 的形式：
① $ 5x + y = 5 $； ② $ 5x - 2y = 3 $.
(2)把下列方程写成用含 $ y $ 的代数式表示 $ x $ 的形式：
① $ 5x + 2y - 1 = 0 $； ② $ -2x + 7y = 3 $.
① $ 5x + y = 5 $； ② $ 5x - 2y = 3 $.
(2)把下列方程写成用含 $ y $ 的代数式表示 $ x $ 的形式：
① $ 5x + 2y - 1 = 0 $； ② $ -2x + 7y = 3 $.
答案
(1)①$y=5 - 5x$；②$y=\frac{5x - 3}{2}$
(2)①$x=\frac{1 - 2y}{5}$；②$x=\frac{7y - 3}{2}$
(2)①$x=\frac{1 - 2y}{5}$；②$x=\frac{7y - 3}{2}$
6. 已知 $ \begin{cases} x = -1, \\ y = 2 \end{cases} $ 是方程 $ 3x - 2y + a = 0 $ 的解，
(1)求 $ a $ 的值；
(2)请将方程 $ 3x - 2y + a = 0 $ 变形为用含 $ x $ 的代数式表示 $ y $.
(1)求 $ a $ 的值；
(2)请将方程 $ 3x - 2y + a = 0 $ 变形为用含 $ x $ 的代数式表示 $ y $.
答案
(1)将$\begin{cases} x = -1 \\ y = 2 \end{cases}$代入方程$3x - 2y + a = 0$，得$3×(-1) - 2×2 + a = 0$，即$-3 - 4 + a = 0$，解得$a = 7$。
(2)由$3x - 2y + 7 = 0$，移项得$-2y = -3x - 7$，两边同时除以$-2$，得$y = \frac{3}{2}x + \frac{7}{2}$。
(2)由$3x - 2y + 7 = 0$，移项得$-2y = -3x - 7$，两边同时除以$-2$，得$y = \frac{3}{2}x + \frac{7}{2}$。
7. 根据下列语句，分别设出适当的未知数，列出二元一次方程(不求解).
(1)甲数的 2 倍比乙数的一半少 3；
(2)工厂加工一批机器零件，计划完成 1088 个，甲先做 3 天后乙再加入，两人共同再做 6 天刚好完成.
拓展与延伸
(1)甲数的 2 倍比乙数的一半少 3；
(2)工厂加工一批机器零件，计划完成 1088 个，甲先做 3 天后乙再加入，两人共同再做 6 天刚好完成.
拓展与延伸
答案
(1)设甲数为$x$，乙数为$y$，则$2x = \frac{1}{2}y - 3$
(2)设甲每天做$x$个零件，乙每天做$y$个零件，则$3x + 6(x + y) = 1088$
(2)设甲每天做$x$个零件，乙每天做$y$个零件，则$3x + 6(x + y) = 1088$
8. 学校组织夏令营活动，需要给 30 名男生安排宿舍，现有 4 人间和 6 人间两种规格的宿舍，在不造成资源浪费的情况下，共有几种分配方案？请列举出所有分配方案.
答案
设安排 $x$ 个 4 人间，$y$ 个 6 人间。
根据题意，得到方程：
$4x + 6y = 30$，
化简得：
$2x + 3y = 15$，
进一步解出 $x$：
$x= \frac{15 - 3y}{2}$，
$x$ 和 $y$ 为非负整数，开始枚举 $y$ 的可能值。
当 $y = 1$ 时，$x = \frac{15 - 3 × 1}{2} = 6$；
当 $y = 3$ 时，$x = \frac{15 - 3 × 3}{2} = 3$；
当 $y = 5$ 时，$x = \frac{15 - 3 × 5}{2} = 0$；
当 $y = 0, 2, 4, ...$ 或大于 5 时，$x$ 无法为整数或为负，不符合题意。
因此，有 3 种分配方案：
$4$ 人间 6 个，$6$ 人间 1 个；
$4$ 人间 3 个，$6$ 人间 3 个；
$0$ 个 $4$ 人间，$6$ 人间 5 个（或写成$4$ 人间 0个，$6$ 人间 5 个）。
根据题意，得到方程：
$4x + 6y = 30$，
化简得：
$2x + 3y = 15$，
进一步解出 $x$：
$x= \frac{15 - 3y}{2}$，
$x$ 和 $y$ 为非负整数，开始枚举 $y$ 的可能值。
当 $y = 1$ 时，$x = \frac{15 - 3 × 1}{2} = 6$；
当 $y = 3$ 时，$x = \frac{15 - 3 × 3}{2} = 3$；
当 $y = 5$ 时，$x = \frac{15 - 3 × 5}{2} = 0$；
当 $y = 0, 2, 4, ...$ 或大于 5 时，$x$ 无法为整数或为负，不符合题意。
因此，有 3 种分配方案：
$4$ 人间 6 个，$6$ 人间 1 个；
$4$ 人间 3 个，$6$ 人间 3 个；
$0$ 个 $4$ 人间，$6$ 人间 5 个（或写成$4$ 人间 0个，$6$ 人间 5 个）。
