例 1 下列方程组中，是二元一次方程组的是()

A.$\begin{cases}x + y = - 2,\\x - z = - 1\end{cases}$
B.$\begin{cases}m + n = 2,\\mn = 1\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y = 3,\\x^{2} - y = 8\end{cases}$
D.$\begin{cases}m + n = 2025,\\m - n = - 2026\end{cases}$

D

二元一次方程组需要满足以下条件：
1. 含有两个未知数；
2. 每个方程均为整式方程；
3. 每个方程中未知数的次数均为1次；
4. 至少有两个不同的方程。
选项A包含三个未知数$x, y, z$，不满足条件1；
选项B中方程$mn = 1$的未知数次数为2次，不满足条件3；
选项C中方程$x^2 - y = 8$的未知数次数为2次，不满足条件3；
选项D满足所有条件，是二元一次方程组。

例 2 2023 年甲、乙两个班植树时，甲班比乙班多种 50 棵树.2024 年植树时，甲班比 2023 年多种了 12%，乙班比 2023 年多种了 15%，甲班比乙班多种 50 棵.设 2023 年甲、乙两班分别种树 $ x $ 棵、$ y $ 棵，下列方程组正确的是()

A.$\begin{cases}x - y = 50,\\15\%x - 12\%y = 50\end{cases}$
B.$\begin{cases}x - y = 50,\\(1 + 12\%)x - (1 + 15\%)y = 50\end{cases}$
C.$\begin{cases}x - y = 50,\\(1 + 15\%)x - (1 + 12\%)y = 50\end{cases}$
D.$\begin{cases}x - y = 50,\\12\%x - 15\%y = 50\end{cases}$

B

2023年甲班种树$x$棵，乙班种树$y$棵，甲班比乙班多种50棵，可得$x - y = 50$。2024年甲班比2023年多种12%，则甲班2024年种树$(1 + 12\%)x$棵；乙班比2023年多种15%，则乙班2024年种树$(1 + 15\%)y$棵，此时甲班比乙班仍多种50棵，可得$(1 + 12\%)x - (1 + 15\%)y = 50$。所以方程组为$\begin{cases}x - y = 50\\(1 + 12\%)x - (1 + 15\%)y = 50\end{cases}$

例 3 已知关于 $ x $，$ y $ 的方程组 $\begin{cases}ax + 3y = 5,①\\3x - by = - 11,②\end{cases}$ 甲看错了方程①中的 $ a $ 得到方程组的解为 $\begin{cases}x = - 2,\\y = 1.\end{cases}$ 乙看错了方程②中的 $ b $ 得到方程组的解为 $\begin{cases}x = 4,\\y = - 1.\end{cases}$ 求 $ ab $ 的值.

答题卡作答：
将$\begin{cases}x = - 2, \\ y = 1.\end{cases} $代入方程②得：
$3× (-2)-b×1=-11$，
$-6-b=-11$，
$-b=-11+6$，
$-b=-5$，
$b = 5$，
将$\begin{cases}x = 4, \\ y = - 1.\end{cases} $代入方程①得：
$4a+3× (-1)=5$，
$4a-3=5$，
$4a=5+3$，
$4a=8$，
$a = 2$，
所以$ab =2×5=10$。

1. 方程组 $\begin{cases}x + y = 5,\\3x - 2y = 0\end{cases}$ 的解是( )

A.$\begin{cases}x = 3,\\y = 2\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 1,\\y = 4\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 2,\\y = 3\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = 4,\\y = 1\end{cases}$

C

已知方程组：
$\begin{cases} x + y = 5 \quad (1) \\ 3x - 2y = 0 \quad (2) \end{cases}$
由方程(1)得 $y = 5 - x$，代入方程(2)：
$3x - 2(5 - x) = 0 \implies 3x - 10 + 2x = 0 \implies 5x = 10 \implies x = 2$
将 $x = 2$ 代入 $y = 5 - x$ 得 $y = 3$，故解为 $x = 2, y = 3$。

2. 若二元一次方程组 $\begin{cases}x + y = 4,\\□ = 2\end{cases}$ 的解为 $\begin{cases}x = 3,\\y = 1,\end{cases}$ 则“$□$”可以表示为( )

A.$ x $
B.$ x^{2} - 3y $
C.$ y - x $
D.$ x - y $

D

将解$x = 3, y = 1$代入各选项，检验是否等于2：
A. $x = 3 ≠ 2$；
B. $x^{2} - 3y = 3^{2} - 3 × 1 = 9 - 3 = 6 ≠ 2$；
C. $y - x = 1 - 3 = -2 ≠ 2$；
D. $x - y = 3 - 1 = 2$，符合条件。
故“$□$”可以表示为$x - y$。