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1. 如图，直线 $ m // n $，若 $ ∠ 1 = 105° $，则 $ ∠ 2 $ 的度数为(
A.$ 55° $
B.$ 65° $
C.$ 75° $
D.$ 105° $
C
)A.$ 55° $
B.$ 65° $
C.$ 75° $
D.$ 105° $
答案
1.C
解析
【分析】
首先观察图形，直线$m// n$，$∠1$和$∠2$是同旁内角。根据平行线的性质，两直线平行时同旁内角互补，即$∠1$与$∠2$的和为$180°$。已知$∠1$的度数，只需用$180°$减去$∠1$的度数，就能求出$∠2$的度数，进而选出正确选项。
【解析】
因为直线$ m // n $，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得：
$ ∠1 + ∠2 = 180° $
已知$ ∠1 = 105° $，代入得：
$ ∠2 = 180° - 105° = 75° $
所以答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质（同旁内角互补）
【点评】
本题考查平行线的基本性质，属于基础题型，解题关键是熟练掌握“两直线平行，同旁内角互补”这一性质，准确识别图中的同旁内角。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，直线$m// n$，$∠1$和$∠2$是同旁内角。根据平行线的性质，两直线平行时同旁内角互补，即$∠1$与$∠2$的和为$180°$。已知$∠1$的度数，只需用$180°$减去$∠1$的度数，就能求出$∠2$的度数，进而选出正确选项。
【解析】
因为直线$ m // n $，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得：
$ ∠1 + ∠2 = 180° $
已知$ ∠1 = 105° $，代入得：
$ ∠2 = 180° - 105° = 75° $
所以答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质（同旁内角互补）
【点评】
本题考查平行线的基本性质，属于基础题型，解题关键是熟练掌握“两直线平行，同旁内角互补”这一性质，准确识别图中的同旁内角。
【难度系数】
0.8
2. 下列图形中，由 $ AB // CD $ 能得到 $ ∠ 1 = ∠ 2 $ 的是(
]
B
)]答案
2.B
解析
【分析】
要判断由$AB// CD$能否得到$∠1=∠2$，需结合平行线的性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），对每个选项逐一分析：
1. 先明确每个选项中$∠1$和$∠2$的位置关系；
2. 再根据平行线的性质判断两角是否相等，若涉及对顶角，需结合对顶角相等的性质推导。
【解析】
选项A：当$AB// CD$时，$∠1$与$∠2$是同旁内角，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可知$∠1+∠2=180°$，无法得出$∠1=∠2$，故A不符合要求；
选项B：当$AB// CD$时，$∠1$的对顶角与$∠2$是同位角，由“两直线平行，同位角相等”可得$∠1$的对顶角$=∠2$，又因为对顶角相等，所以$∠1=∠2$，故B符合要求；
选项C：当$AB// CD$时，仅能推出$∠BAD=∠ADC$，无法直接得到$∠1=∠2$，故C不符合要求；
选项D：当$AB// CD$时，$∠1$与$∠2$是同旁内角，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可知$∠1+∠2=180°$，无法得出$∠1=∠2$，故D不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质、对顶角相等
【点评】
本题考查平行线性质的应用，解题的关键是准确识别图中$∠1$与$∠2$的位置关系，结合平行线的性质和对顶角的性质进行判断，需注意区分同位角、内错角、同旁内角的不同性质。
【难度系数】
0.7
要判断由$AB// CD$能否得到$∠1=∠2$，需结合平行线的性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），对每个选项逐一分析：
1. 先明确每个选项中$∠1$和$∠2$的位置关系；
2. 再根据平行线的性质判断两角是否相等，若涉及对顶角，需结合对顶角相等的性质推导。
【解析】
选项A：当$AB// CD$时，$∠1$与$∠2$是同旁内角，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可知$∠1+∠2=180°$，无法得出$∠1=∠2$，故A不符合要求；
选项B：当$AB// CD$时，$∠1$的对顶角与$∠2$是同位角，由“两直线平行，同位角相等”可得$∠1$的对顶角$=∠2$，又因为对顶角相等，所以$∠1=∠2$，故B符合要求；
选项C：当$AB// CD$时，仅能推出$∠BAD=∠ADC$，无法直接得到$∠1=∠2$，故C不符合要求；
选项D：当$AB// CD$时，$∠1$与$∠2$是同旁内角，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可知$∠1+∠2=180°$，无法得出$∠1=∠2$，故D不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质、对顶角相等
【点评】
本题考查平行线性质的应用，解题的关键是准确识别图中$∠1$与$∠2$的位置关系，结合平行线的性质和对顶角的性质进行判断，需注意区分同位角、内错角、同旁内角的不同性质。
【难度系数】
0.7
3. 如图，将直尺和含 $ 45° $ 角的三角尺叠放在一起，若 $ ∠ 1 = 23° $，则 $ ∠ 2 $ 的度数为(
A.$ 58° $
B.$ 68° $
C.$ 78° $
D.$ 88° $
B
)A.$ 58° $
B.$ 68° $
C.$ 78° $
D.$ 88° $
答案
3.B
解析
【分析】
首先观察图形可知直尺的上下两边互相平行，根据平行线的内错角相等的性质，∠2的度数等于三角尺的45°锐角与∠1的度数之和。我们先明确三角尺的锐角为45°，再结合已知∠1=23°，通过角度和的计算即可求出∠2的度数。
【解析】
因为直尺的对边互相平行，根据平行线的内错角相等，可得∠2 = ∠1 + 45°。
已知∠1=23°，代入得：∠2=23°+45°=68°。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，角的和差计算
【点评】
本题主要考查平行线性质与三角尺角度特征的结合应用，需要准确识别图形中的平行线关系和角的组成，侧重对基础几何知识点的运用，解题思路较为直观。
【难度系数】
0.7
首先观察图形可知直尺的上下两边互相平行，根据平行线的内错角相等的性质，∠2的度数等于三角尺的45°锐角与∠1的度数之和。我们先明确三角尺的锐角为45°，再结合已知∠1=23°，通过角度和的计算即可求出∠2的度数。
【解析】
因为直尺的对边互相平行，根据平行线的内错角相等，可得∠2 = ∠1 + 45°。
已知∠1=23°，代入得：∠2=23°+45°=68°。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，角的和差计算
【点评】
本题主要考查平行线性质与三角尺角度特征的结合应用，需要准确识别图形中的平行线关系和角的组成，侧重对基础几何知识点的运用，解题思路较为直观。
【难度系数】
0.7
4. 一束平行光线经过水面后折射的光线也是平行的。如图，若杯底与水面平行，$ ∠ 1 = 105° $，则 $ ∠ 2 $ 的度数为(
A.$ 55° $
B.$ 65° $
C.$ 75° $
D.$ 85° $
C
)A.$ 55° $
B.$ 65° $
C.$ 75° $
D.$ 85° $
答案
4.C
解析
【分析】
首先，题目给出平行光线经水面折射后仍平行，且杯底与水面平行，我们需要结合平行线的性质和角的关系来求解∠2的度数。首先观察∠1，它与入射光线和水面的夹角互为邻补角，可先算出这个夹角；再根据“两边分别平行的两个角相等或互补”，结合光的折射情境，判断∠2与该夹角相等，进而求出∠2的度数。
【解析】
1. 计算入射光线与水面的夹角：
因为∠1与入射光线和水面的夹角互为邻补角，所以该夹角为 $180° - ∠1 = 180° - 105° = 75°$。
2. 分析∠2与上述夹角的关系：
由于入射光线平行、折射光线平行，且水面与杯底平行，根据“两边分别平行的两个角相等”（结合光的折射的实际情境，此处两角为相等关系），可得∠2等于入射光线与水面的夹角，即 $∠2 = 75°$。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，光的折射规律
【点评】
本题将光学中的光的折射规律与几何中的平行线性质相结合，考查知识的综合应用能力。解题关键是识别出角之间的邻补角关系，以及利用“两边分别平行的角的关系”进行推导，需要学生具备跨知识模块的综合分析能力。
【难度系数】
0.6
首先，题目给出平行光线经水面折射后仍平行，且杯底与水面平行，我们需要结合平行线的性质和角的关系来求解∠2的度数。首先观察∠1，它与入射光线和水面的夹角互为邻补角，可先算出这个夹角；再根据“两边分别平行的两个角相等或互补”，结合光的折射情境，判断∠2与该夹角相等，进而求出∠2的度数。
【解析】
1. 计算入射光线与水面的夹角：
因为∠1与入射光线和水面的夹角互为邻补角，所以该夹角为 $180° - ∠1 = 180° - 105° = 75°$。
2. 分析∠2与上述夹角的关系：
由于入射光线平行、折射光线平行，且水面与杯底平行，根据“两边分别平行的两个角相等”（结合光的折射的实际情境，此处两角为相等关系），可得∠2等于入射光线与水面的夹角，即 $∠2 = 75°$。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，光的折射规律
【点评】
本题将光学中的光的折射规律与几何中的平行线性质相结合，考查知识的综合应用能力。解题关键是识别出角之间的邻补角关系，以及利用“两边分别平行的角的关系”进行推导，需要学生具备跨知识模块的综合分析能力。
【难度系数】
0.6
5. 如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点 $ E $，$ D $，$ B $，$ F $ 在同一条直线上。若 $ ∠ ADE = 125° $，则 $ ∠ DBC $ 的度数为(
A.$ 55° $
B.$ 65° $
C.$ 75° $
D.$ 125° $
A
)A.$ 55° $
B.$ 65° $
C.$ 75° $
D.$ 125° $
答案
5.A
解析
【分析】
首先，观察图形可知长方形直尺的对边AD与BC平行，这是解题的关键依据。已知∠ADE=125°，由于点E、D、B、F共线，∠ADE与∠ADB互为邻补角，可先求出∠ADB的度数；再根据平行线的性质，两直线平行内错角相等，∠DBC与∠ADB是内错角，从而得出∠DBC的度数。
【解析】
1. 计算∠ADB的度数：
因为∠ADE=125°，且∠ADE + ∠ADB = 180°（邻补角的定义），
所以∠ADB = 180° - 125° = 55°。
2. 利用平行线性质求∠DBC：
由于长方形直尺的对边平行，即AD//BC，
根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠DBC = ∠ADB = 55°。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；邻补角的定义；长方形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，主要考查长方形对边平行的性质、邻补角的定义以及平行线的性质，解题思路清晰，只需结合图形特征，逐步推导即可得出结果，有助于巩固基础几何知识。
【难度系数】
0.8
首先，观察图形可知长方形直尺的对边AD与BC平行，这是解题的关键依据。已知∠ADE=125°，由于点E、D、B、F共线，∠ADE与∠ADB互为邻补角，可先求出∠ADB的度数；再根据平行线的性质，两直线平行内错角相等，∠DBC与∠ADB是内错角，从而得出∠DBC的度数。
【解析】
1. 计算∠ADB的度数：
因为∠ADE=125°，且∠ADE + ∠ADB = 180°（邻补角的定义），
所以∠ADB = 180° - 125° = 55°。
2. 利用平行线性质求∠DBC：
由于长方形直尺的对边平行，即AD//BC，
根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠DBC = ∠ADB = 55°。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；邻补角的定义；长方形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，主要考查长方形对边平行的性质、邻补角的定义以及平行线的性质，解题思路清晰，只需结合图形特征，逐步推导即可得出结果，有助于巩固基础几何知识。
【难度系数】
0.8
6. 如图，这是一杆古秤在称物体时的状态，已知 $ ∠ 2 = 100° $，则 $ ∠ 1 $ 的度数是
$80°$
。答案
6. $80°$
解析
【分析】
首先观察图形，古秤的两根横杆互相平行，悬挂物体和秤砣的线均为竖直方向，属于平行线的截线。根据图形中的角度关系，∠1与∠2的邻补角是同位角，二者相等。解题思路为先利用邻补角的定义求出∠2的邻补角，再结合平行线的性质得到∠1的度数。
【解析】
1. 求∠2的邻补角：
根据邻补角的定义，互为邻补角的两个角之和为$180°$，已知$∠2=100°$，则∠2的邻补角为：
$180° - 100° = 80°$
2. 结合平行线性质求∠1：
古秤的两根横杆互相平行，悬挂线为截线，∠1与∠2的邻补角是同位角，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠1=80°$。
【答案】
$80°$
【知识点】
平行线的性质；邻补角的定义
【点评】
本题是几何知识在实际生活中的应用，解题关键是准确识别图形中的平行线与邻补角关系，将实际场景转化为几何角度计算问题，考查对基础几何概念的理解与应用能力。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，古秤的两根横杆互相平行，悬挂物体和秤砣的线均为竖直方向，属于平行线的截线。根据图形中的角度关系，∠1与∠2的邻补角是同位角，二者相等。解题思路为先利用邻补角的定义求出∠2的邻补角，再结合平行线的性质得到∠1的度数。
【解析】
1. 求∠2的邻补角：
根据邻补角的定义，互为邻补角的两个角之和为$180°$，已知$∠2=100°$，则∠2的邻补角为：
$180° - 100° = 80°$
2. 结合平行线性质求∠1：
古秤的两根横杆互相平行，悬挂线为截线，∠1与∠2的邻补角是同位角，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠1=80°$。
【答案】
$80°$
【知识点】
平行线的性质；邻补角的定义
【点评】
本题是几何知识在实际生活中的应用，解题关键是准确识别图形中的平行线与邻补角关系，将实际场景转化为几何角度计算问题，考查对基础几何概念的理解与应用能力。
【难度系数】
0.8
7. 如图，$ ∠ A = 106° $，$ ∠ ABC = 74° $，$ BD ⊥ CD $ 于点 $ D $，$ EF ⊥ CD $ 于点 $ F $。$ ∠ 1 $ 与 $ ∠ 2 $ 有怎样的数量关系，请说明理由。
答案
7.解：$∠ 1=∠ 2$。理由如下：
因为$∠ A = 106°$，$∠ ABC = 74°$，
所以$∠ A+∠ ABC = 180°$。
所以$AD// BC$。所以$∠ 1=∠ DBC$。
因为$BD⊥ CD$，$EF⊥ CD$，
所以$∠ BDF=∠ EFC = 90°$。
所以$BD// EF$。所以$∠ 2=∠ DBC$。所以$∠ 1=∠ 2$。
因为$∠ A = 106°$，$∠ ABC = 74°$，
所以$∠ A+∠ ABC = 180°$。
所以$AD// BC$。所以$∠ 1=∠ DBC$。
因为$BD⊥ CD$，$EF⊥ CD$，
所以$∠ BDF=∠ EFC = 90°$。
所以$BD// EF$。所以$∠ 2=∠ DBC$。所以$∠ 1=∠ 2$。
解析
【分析】
要判断∠1与∠2的数量关系，可通过平行线的判定与性质逐步推导：首先根据已知的∠A和∠ABC的度数，计算出两者之和为180°，利用同旁内角互补判定AD//BC，得到∠1=∠DBC；再结合BD和EF都垂直于CD的条件，判定BD//EF，得到∠2=∠DBC；最后通过等量代换即可得出∠1与∠2的关系。
【解析】
$∠ 1=∠ 2$。理由如下：
因为$∠ A = 106°$，$∠ ABC = 74°$，
所以$∠ A+∠ ABC = 106°+74°=180°$。
根据同旁内角互补，两直线平行，可得$AD// BC$，
所以$∠ 1=∠ DBC$（两直线平行，内错角相等）。
因为$BD⊥ CD$，$EF⊥ CD$，
所以$∠ BDF=∠ EFC = 90°$。
根据垂直于同一直线的两直线平行，可得$BD// EF$，
所以$∠ 2=∠ DBC$（两直线平行，同位角相等）。
因此$∠ 1=∠ 2$。
【答案】
$∠1=∠2$
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、垂直的性质
【点评】
本题是对平行线判定与性质的综合考查，解题需先通过角度关系判定平行线，再利用平行线性质转化角的关系，同时结合垂直性质判定平行线，逻辑清晰，能有效锻炼学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
要判断∠1与∠2的数量关系，可通过平行线的判定与性质逐步推导：首先根据已知的∠A和∠ABC的度数，计算出两者之和为180°，利用同旁内角互补判定AD//BC，得到∠1=∠DBC；再结合BD和EF都垂直于CD的条件，判定BD//EF，得到∠2=∠DBC；最后通过等量代换即可得出∠1与∠2的关系。
【解析】
$∠ 1=∠ 2$。理由如下：
因为$∠ A = 106°$，$∠ ABC = 74°$，
所以$∠ A+∠ ABC = 106°+74°=180°$。
根据同旁内角互补，两直线平行，可得$AD// BC$，
所以$∠ 1=∠ DBC$（两直线平行，内错角相等）。
因为$BD⊥ CD$，$EF⊥ CD$，
所以$∠ BDF=∠ EFC = 90°$。
根据垂直于同一直线的两直线平行，可得$BD// EF$，
所以$∠ 2=∠ DBC$（两直线平行，同位角相等）。
因此$∠ 1=∠ 2$。
【答案】
$∠1=∠2$
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、垂直的性质
【点评】
本题是对平行线判定与性质的综合考查，解题需先通过角度关系判定平行线，再利用平行线性质转化角的关系，同时结合垂直性质判定平行线，逻辑清晰，能有效锻炼学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
