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7. 如图，$∠B = ∠D = ∠E$，那么图形中的平行线有
CD//EF
。答案
7.CD//EF
解析
【分析】
要判断图形中的平行线，需结合平行线的判定定理分析：首先观察角的位置关系，已知$∠D=∠E$，这两个角是直线$CD$、$EF$被直线$DE$所截形成的内错角，根据内错角相等，两直线平行，可判定$CD$与$EF$平行；而题目仅给出$∠B=∠D=∠E$，无$∠B=∠C$的相关条件，无法判定$AB$与$CD$平行。
【解析】
已知$∠D = ∠E$，根据“内错角相等，两直线平行”，可得$CD// EF$；
由于没有条件证明$∠B = ∠C$，因此无法判定$AB// CD$。
综上，图形中的平行线是$CD// EF$。
【答案】
$CD// EF$
【知识点】
平行线的判定（内错角相等，两直线平行）
【点评】
本题考查平行线的判定，关键是准确识别内错角，严格依据已知的角相等条件进行判断，避免误判无明确依据的直线平行关系。
【难度系数】
0.8
要判断图形中的平行线，需结合平行线的判定定理分析：首先观察角的位置关系，已知$∠D=∠E$，这两个角是直线$CD$、$EF$被直线$DE$所截形成的内错角，根据内错角相等，两直线平行，可判定$CD$与$EF$平行；而题目仅给出$∠B=∠D=∠E$，无$∠B=∠C$的相关条件，无法判定$AB$与$CD$平行。
【解析】
已知$∠D = ∠E$，根据“内错角相等，两直线平行”，可得$CD// EF$；
由于没有条件证明$∠B = ∠C$，因此无法判定$AB// CD$。
综上，图形中的平行线是$CD// EF$。
【答案】
$CD// EF$
【知识点】
平行线的判定（内错角相等，两直线平行）
【点评】
本题考查平行线的判定，关键是准确识别内错角，严格依据已知的角相等条件进行判断，避免误判无明确依据的直线平行关系。
【难度系数】
0.8
8. 如图，已知$CB$平分$∠ACD$，且$∠1 = ∠2$。判断$AB$与$CD$是否平行，并说明理由。
答案
8.解:AB//CD。理由如下:
因为CB平分∠ACD,所以∠1=∠BCD。
因为∠1=∠2,所以∠2=∠BCD。
所以AB//CD。
因为CB平分∠ACD,所以∠1=∠BCD。
因为∠1=∠2,所以∠2=∠BCD。
所以AB//CD。
解析
【分析】
要判断AB与CD是否平行，我们可以结合平行线的判定定理来推导。首先根据角平分线的定义，由CB平分∠ACD可得出∠1=∠BCD；再结合已知的∠1=∠2，通过等量代换得到∠2=∠BCD，而∠2与∠BCD是内错角，根据“内错角相等，两直线平行”的判定定理，就能得出AB与CD平行的结论。
【解析】
解：$AB// CD$。理由如下：
因为$CB$平分$∠ ACD$，根据角平分线的定义，所以$∠ 1 = ∠ BCD$。
又因为$∠ 1 = ∠ 2$，通过等量代换可得$∠ 2 = ∠ BCD$。
根据“内错角相等，两直线平行”，所以$AB// CD$。
【答案】
$AB// CD$
【知识点】
角平分线的定义；平行线的判定（内错角相等，两直线平行）
【点评】
本题主要考查角平分线定义与平行线判定定理的综合运用，解题核心是通过等量代换找到能判定直线平行的内错角，属于基础题型，侧重对基础知识点的理解与运用。
【难度系数】
0.8
要判断AB与CD是否平行，我们可以结合平行线的判定定理来推导。首先根据角平分线的定义，由CB平分∠ACD可得出∠1=∠BCD；再结合已知的∠1=∠2，通过等量代换得到∠2=∠BCD，而∠2与∠BCD是内错角，根据“内错角相等，两直线平行”的判定定理，就能得出AB与CD平行的结论。
【解析】
解：$AB// CD$。理由如下：
因为$CB$平分$∠ ACD$，根据角平分线的定义，所以$∠ 1 = ∠ BCD$。
又因为$∠ 1 = ∠ 2$，通过等量代换可得$∠ 2 = ∠ BCD$。
根据“内错角相等，两直线平行”，所以$AB// CD$。
【答案】
$AB// CD$
【知识点】
角平分线的定义；平行线的判定（内错角相等，两直线平行）
【点评】
本题主要考查角平分线定义与平行线判定定理的综合运用，解题核心是通过等量代换找到能判定直线平行的内错角，属于基础题型，侧重对基础知识点的理解与运用。
【难度系数】
0.8
9. 下列各图是由含$30°$或$45°$角的直角三角板组
A.图 1、图 3
B.图 2、图 4
C.图 1、图 2、图 4
D.图 2、图 3、图 4
合
而成，其中利用“内错角相等”画出$AB// CD$的有(B
)A.图 1、图 3
B.图 2、图 4
C.图 1、图 2、图 4
D.图 2、图 3、图 4
答案
9.B
解析
【分析】
要解决这道题，关键是明确“内错角相等，两直线平行”的判定定理，先回忆内错角的定义：两条直线被第三条直线所截，位于截线两侧且夹在两条被截直线之间的角是内错角。然后逐个分析每个图形：
1. 图1：观察角的位置，是同位角相等得到$AB// CD$，不符合“内错角相等”的判定；
2. 图2：$AB$和$CD$被$AD$所截，形成的内错角相等，依据“内错角相等，两直线平行”可判定$AB// CD$，符合要求；
3. 图3：是利用同位角相等（或同旁内角互补）得到$AB// CD$，并非内错角相等，不符合；
4. 图4：$AB$和$CD$被$BC$所截，形成的内错角相等，依据“内错角相等，两直线平行”可判定$AB// CD$，符合要求。
综上，符合条件的是图2、图4，对应选项B。
【解析】
逐个分析各图：
图1：通过同位角相等判定$AB// CD$，未利用内错角相等，不符合；
图2：$AB$与$CD$被$AD$所截，内错角相等，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定$AB// CD$，符合要求；
图3：通过同位角相等（或同旁内角互补）判定$AB// CD$，未利用内错角相等，不符合；
图4：$AB$与$CD$被$BC$所截，内错角相等，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定$AB// CD$，符合要求。
因此利用“内错角相等”画出$AB// CD$的是图2、图4，故选B。
【答案】
B
【知识点】
内错角的定义；平行线的判定
【点评】
本题主要考查平行线的判定定理的应用，解题的关键是准确识别内错角、同位角的位置关系，区分不同判定定理的适用场景，避免混淆不同角的位置关系导致错误。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，关键是明确“内错角相等，两直线平行”的判定定理，先回忆内错角的定义：两条直线被第三条直线所截，位于截线两侧且夹在两条被截直线之间的角是内错角。然后逐个分析每个图形：
1. 图1：观察角的位置，是同位角相等得到$AB// CD$，不符合“内错角相等”的判定；
2. 图2：$AB$和$CD$被$AD$所截，形成的内错角相等，依据“内错角相等，两直线平行”可判定$AB// CD$，符合要求；
3. 图3：是利用同位角相等（或同旁内角互补）得到$AB// CD$，并非内错角相等，不符合；
4. 图4：$AB$和$CD$被$BC$所截，形成的内错角相等，依据“内错角相等，两直线平行”可判定$AB// CD$，符合要求。
综上，符合条件的是图2、图4，对应选项B。
【解析】
逐个分析各图：
图1：通过同位角相等判定$AB// CD$，未利用内错角相等，不符合；
图2：$AB$与$CD$被$AD$所截，内错角相等，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定$AB// CD$，符合要求；
图3：通过同位角相等（或同旁内角互补）判定$AB// CD$，未利用内错角相等，不符合；
图4：$AB$与$CD$被$BC$所截，内错角相等，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定$AB// CD$，符合要求。
因此利用“内错角相等”画出$AB// CD$的是图2、图4，故选B。
【答案】
B
【知识点】
内错角的定义；平行线的判定
【点评】
本题主要考查平行线的判定定理的应用，解题的关键是准确识别内错角、同位角的位置关系，区分不同判定定理的适用场景，避免混淆不同角的位置关系导致错误。
【难度系数】
0.6
10. 某市为了方便市民绿色出行，推出了如图 1 所示的某品牌共享单车，图 2 是其示意图，其中$AB$，$CD$都与地面$l$平行，$∠ABC = 62°$，$∠BAC = 53°$，则当$∠MAC$为
A.62
B.65
C.75
D.115
65
度时，$AM$与$CB$平行。(B
)A.62
B.65
C.75
D.115
答案
10.B
解析
【分析】
要确定∠MAC的度数使$AM// CB$，可从平行线的性质入手分析：
1. 思路一：利用平行线同旁内角互补的性质，当$AM// CB$时，以AB为截线，∠MAB与∠ABC互补；而∠MAB=∠MAC+∠BAC，结合已知的∠BAC、∠ABC的度数，即可计算出∠MAC。
2. 思路二：先通过三角形内角和定理算出△ABC中∠ACB的度数，再利用平行线内错角相等的性质，当$AM// CB$时，∠MAC与∠ACB相等，从而得到结果。
【解析】
方法一：
当$AM// CB$时，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得：
$∠ MAB + ∠ ABC = 180°$
因为$∠ MAB = ∠ MAC + ∠ BAC$，且$∠ BAC = 53°$，$∠ ABC = 62°$，代入得：
$∠ MAC + 53° + 62° = 180°$
解得：$∠ MAC = 180° - 53° - 62° = 65°$
方法二：
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ACB = 180° - ∠ BAC - ∠ ABC = 180° - 53° - 62° = 65°$
当$AM// CB$时，根据“两直线平行，内错角相等”，可得：
$∠ MAC = ∠ ACB = 65°$
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质与判定，三角形内角和定理
【点评】
本题结合实际场景考查平行线的性质与判定、三角形内角和定理的综合运用，解题的关键是准确识别平行线被截线所形成的角的关系，将几何定理与已知条件结合进行角度计算，难度适中，有助于提升学生的几何推理能力。
【难度系数】
0.6
要确定∠MAC的度数使$AM// CB$，可从平行线的性质入手分析：
1. 思路一：利用平行线同旁内角互补的性质，当$AM// CB$时，以AB为截线，∠MAB与∠ABC互补；而∠MAB=∠MAC+∠BAC，结合已知的∠BAC、∠ABC的度数，即可计算出∠MAC。
2. 思路二：先通过三角形内角和定理算出△ABC中∠ACB的度数，再利用平行线内错角相等的性质，当$AM// CB$时，∠MAC与∠ACB相等，从而得到结果。
【解析】
方法一：
当$AM// CB$时，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得：
$∠ MAB + ∠ ABC = 180°$
因为$∠ MAB = ∠ MAC + ∠ BAC$，且$∠ BAC = 53°$，$∠ ABC = 62°$，代入得：
$∠ MAC + 53° + 62° = 180°$
解得：$∠ MAC = 180° - 53° - 62° = 65°$
方法二：
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ACB = 180° - ∠ BAC - ∠ ABC = 180° - 53° - 62° = 65°$
当$AM// CB$时，根据“两直线平行，内错角相等”，可得：
$∠ MAC = ∠ ACB = 65°$
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质与判定，三角形内角和定理
【点评】
本题结合实际场景考查平行线的性质与判定、三角形内角和定理的综合运用，解题的关键是准确识别平行线被截线所形成的角的关系，将几何定理与已知条件结合进行角度计算，难度适中，有助于提升学生的几何推理能力。
【难度系数】
0.6
11. 光线从空气射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气也会产生折射现象。如图，光线$a$从空气射入水中，再从水中射入空气，形成光线$b$，根据光学知识有$∠1 = ∠2$，$∠3 = ∠4$，请判断光线$a$与光线$b$是否平行，并说明理由。
答案
11.解:平行。理由如下:
如图，因为∠1=∠2,所以180°−∠1=180°−∠2,
即∠5=∠6。
因为∠3=∠4,
所以∠3+∠5=∠4+∠6。
所以a//b。
解析
【分析】
要判断光线$a$与光线$b$是否平行，需依据平行线的判定定理寻找角的等量关系。已知$∠1 = ∠2$，$∠3 = ∠4$，首先利用邻补角的性质，由$∠1=∠2$可推出它们的邻补角相等；再结合$∠3=∠4$，通过等式性质得到$a$、$b$被截线所截形成的同位角相等，进而判定两直线平行。
【解析】
光线$a$与光线$b$平行，理由如下：
如图，因为$∠1 = ∠2$，所以$180° - ∠1 = 180° - ∠2$，即$∠5 = ∠6$。
因为$∠3 = ∠4$，所以$∠3 + ∠5 = ∠4 + ∠6$。
根据“同位角相等，两直线平行”，可得$a// b$。
【答案】
光线$a$与光线$b$平行。
【知识点】
平行线的判定，邻补角的性质，等式的性质
【点评】
本题考查平行线判定定理的实际应用，需要结合邻补角性质和等式性质对已知角的关系进行转化，从而得到能判定平行的角的条件，锻炼逻辑推理与知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
要判断光线$a$与光线$b$是否平行，需依据平行线的判定定理寻找角的等量关系。已知$∠1 = ∠2$，$∠3 = ∠4$，首先利用邻补角的性质，由$∠1=∠2$可推出它们的邻补角相等；再结合$∠3=∠4$，通过等式性质得到$a$、$b$被截线所截形成的同位角相等，进而判定两直线平行。
【解析】
光线$a$与光线$b$平行，理由如下：
如图，因为$∠1 = ∠2$，所以$180° - ∠1 = 180° - ∠2$，即$∠5 = ∠6$。
因为$∠3 = ∠4$，所以$∠3 + ∠5 = ∠4 + ∠6$。
根据“同位角相等，两直线平行”，可得$a// b$。
【答案】
光线$a$与光线$b$平行。
【知识点】
平行线的判定，邻补角的性质，等式的性质
【点评】
本题考查平行线判定定理的实际应用，需要结合邻补角性质和等式性质对已知角的关系进行转化，从而得到能判定平行的角的条件，锻炼逻辑推理与知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
12. 将一副三角板中的两个直角顶点$C$叠放在一起（如图），其中$∠A = 30°$，$∠B = 60°$，$∠D = ∠E = 45°$。
(1) 若$∠BCD = 150°$，求$∠ACE$的度数。
(2) 若按住三角板$ABC$不动，绕顶点$C$转动三角板$DCE$，试探究$∠BCD$等于多少度时，$CD// AB$，并说明理由。
(1) 若$∠BCD = 150°$，求$∠ACE$的度数。
(2) 若按住三角板$ABC$不动，绕顶点$C$转动三角板$DCE$，试探究$∠BCD$等于多少度时，$CD// AB$，并说明理由。
答案
12.解:(1)因为∠BCA=∠ECD=90°,∠BCD=150°,所以∠DCA=∠BCD−∠BCA=150°−90°=60°,所以∠ACE=∠ECD−∠DCA=90°−60°=30°。
(2)当∠BCD=120°或60°时,CD//AB。
如图1,根据“同旁内角互补，两直线平行”知，
当∠B+∠BCD=180°时,CD//AB,
此时∠BCD=180°−∠B=180°−60°=120°。
如图2,根据“内错角相等,两直线平行”知,
当∠BCD=∠B=60°时,CD//AB。
综上所述，当∠BCD=120°或60°时,CD//AB。
解析
【分析】
(1) 要求$∠ACE$的度数，已知两个三角板的直角顶点$C$叠放，即$∠BCA=∠ECD=90°$，可先通过$∠BCD$与$∠BCA$的差求出$∠DCA$，再利用$∠ECD$与$∠DCA$的差得到$∠ACE$，借助角的和差关系逐步推导。
(2) 探究$CD// AB$时$∠BCD$的度数，需分两种情况讨论：一是$CD$在$AB$外侧，利用“同旁内角互补，两直线平行”结合$∠B=60°$计算；二是$CD$在$AB$内侧，利用“内错角相等，两直线平行”结合$∠B=60°$计算，最后综合两种情况得出结论。
【解析】
(1) 因为$∠BCA = ∠ECD = 90°$，$∠BCD = 150°$，
所以$∠DCA = ∠BCD - ∠BCA = 150° - 90° = 60°$，
因此$∠ACE = ∠ECD - ∠DCA = 90° - 60° = 30°$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$CD$在$AB$外侧时：
根据“同旁内角互补，两直线平行”，当$∠B + ∠BCD = 180°$时，$CD// AB$，
此时$∠BCD = 180° - ∠B = 180° - 60° = 120°$。
② 当$CD$在$AB$内侧时：
根据“内错角相等，两直线平行”，当$∠BCD = ∠B = 60°$时，$CD// AB$。
综上所述，当$∠BCD = 120°$或$60°$时，$CD// AB$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{30°}$；(2) $\boldsymbol{120°}$或$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
平行线的判定、角的和差运算
【点评】
本题考查角的和差计算与平行线的判定，解题关键是熟练运用角的和差关系与平行线判定定理，同时注意第二问需分情况讨论，避免漏解，培养分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.6
(1) 要求$∠ACE$的度数，已知两个三角板的直角顶点$C$叠放，即$∠BCA=∠ECD=90°$，可先通过$∠BCD$与$∠BCA$的差求出$∠DCA$，再利用$∠ECD$与$∠DCA$的差得到$∠ACE$，借助角的和差关系逐步推导。
(2) 探究$CD// AB$时$∠BCD$的度数，需分两种情况讨论：一是$CD$在$AB$外侧，利用“同旁内角互补，两直线平行”结合$∠B=60°$计算；二是$CD$在$AB$内侧，利用“内错角相等，两直线平行”结合$∠B=60°$计算，最后综合两种情况得出结论。
【解析】
(1) 因为$∠BCA = ∠ECD = 90°$，$∠BCD = 150°$，
所以$∠DCA = ∠BCD - ∠BCA = 150° - 90° = 60°$，
因此$∠ACE = ∠ECD - ∠DCA = 90° - 60° = 30°$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$CD$在$AB$外侧时：
根据“同旁内角互补，两直线平行”，当$∠B + ∠BCD = 180°$时，$CD// AB$，
此时$∠BCD = 180° - ∠B = 180° - 60° = 120°$。
② 当$CD$在$AB$内侧时：
根据“内错角相等，两直线平行”，当$∠BCD = ∠B = 60°$时，$CD// AB$。
综上所述，当$∠BCD = 120°$或$60°$时，$CD// AB$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{30°}$；(2) $\boldsymbol{120°}$或$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
平行线的判定、角的和差运算
【点评】
本题考查角的和差计算与平行线的判定，解题关键是熟练运用角的和差关系与平行线判定定理，同时注意第二问需分情况讨论，避免漏解，培养分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.6
